重难点专训1-3 集合与常用逻辑用语期中期末真题精选（易错60题8个考点专练）-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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考点一 元素与集合关系的判断
1．（2022•杭州期末）若数集，满足，，其中亦是数集，判断下列说法正确的是
A．若，，则存在，使得
B．若，，则存在，使得
C．若，，则存在，使得
D．若，，则存在，使得
【解析】当，3，5，，，4，6，时，
满足，，则存在，使得，
故选：．
2．（2022秋•张家口期中）若，，则实数的值为
A．1B．C．0D．1或
【解析】，，
或，
解得或，
当时，，故不成立，
故；
故选：．
3．（2022秋•浙江期末）设集合，，，若，则
A．或或2B．或C．或2D．或2
【解析】因为集合，，，，
当时，，且，满足题意；
当时，或，若，则，与元素的互异性矛盾，舍去；
若，则，满足元素的互异性；
综上，的值为或2．
故选：．
4．【多选】（2022秋•南昌期中）已知集合，，，则下列选项中正确的是
A．B．C．D．
【解析】当，时，
，
故，
故选项正确；
当，时，
，
故，
故选项错误；
当，时，
，
故，
故选项正确；
当，时，
，
故，
故选项正确；
故选：．
5．（2022秋•浦东新区校级期中）已知非空集合同时满足下列条件：①，，；②若，则，则符合条件的集合共有 个．
【解析】，，，3，，2，，1，，
，则，
与3同时在或不在中；
与2同时在或不在中；
与1同时在或不在中；
又，3，，2，，1，，
相当于是一个4元素集合的非空子集，
故符合条件的集合共有个，
故答案为：15．
6．【多选】已知集合，，，0，1，，，，表示平面上的点，则下列说法中正确的有
A．可表示平面上36个不同的点
B．可表示平面上6个第二象限的点
C．可表示30个不在直线上的点
D．可表示10个在坐标轴上的点
【解析】对于，共可以表示个平面内不同的点，故正确；
对于，由题意得，，故共有个不同的第二象限的点，故正确；
对于，落在直线上，说明，即，，，共6个点，所以不在直线上的点为个，故正确；
对于，落在坐标轴上的点为，，，，，，以及，，，，共11个，故错误．
故选：．
7．（2022秋•桃城区校级期末）已知集合，．
（1）若对任意，都有，求的取值范围；
（2）若的所有元素中恰有100个整数，求的取值范围．
【解析】（1）集合，；
当，即时，，满足对任意，都有；
当，即时，，令，解得，此时的值不存在；
综上，的取值范围是；
（2）若的所有元素中恰有100个整数，则，所以，
所以，这100个整数为0，1，2，，99；
所以，解得，
所以的取值范围是．
考点二 集合的包含关系判断及应用
8．设集合，8，，，且，求值．
【解析】，
或，且，
解得．
9．（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知集合，集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为集合，
集合；
若，
则当时，，解得：．
当时，或，
解得或，
所以的取值范围是，，．
（2）因为，所以，
解得或，
所以实数的取值范围是，，．
10．（2022秋•厦门期末）已知全集，集合，集合，集合．
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
【解析】解不等式可得：，所以集合，；
解不等式可得：，所以集合，
（1）；
（2）因为，则当时，，解得满足题意，
当时，只需，解得，
综上，实数的范围为，．
11．【多选】（2022秋•辽宁期中）设集合，，若，则实数的值可以为
A．B．0C．3D．
【解析】，
，
又，，
或或或，（舍去）；
①当时，
方程无解，故；
②当时，
方程的解为3，故；
③当时，
方程的解为4，故；
综上所述，
实数的值可以为0，，．
故选：．
12．（2022秋•山东期末）已知，，且，求实数的取值范围．
【解析】，，
，
，或；
①当时，
方程无解，
即△，
故；
②当时，
方程有两个相同的解，
故△，
且，，
解得；
③当时，
方程有两个相同的解4，
故△，
且，，
无解；
综上所述，实数的取值范围为，．
13．【多选】（2022秋•河池期末）已知下列四组陈述句，其中是的必要不充分条件的是
①：集合，：集合．
②：集合，：集合．
③，，，．
④，．
A．①B．②C．③D．④
【解析】若，则，
故是的必要条件，
若，，，
则，但；
故是的不充分条件，
故是的必要不充分条件，
故选项符合题意；
若集合，
则集合，，
则，
同理可得，
故，
故是的充分条件，
故选项不符合题意；
，表示了所有奇数构成的集合，
，，，
且，，，，
，，，
故是的必要不充分条件，
故选项符合题意；
令，，
故，
故是的充分不必要条件，
故选项不符合题意；
故选：．
考点三 子集与真子集
14．（2022秋•桂林期末）求集合的子集和真子集．
【解析】解方程得，
或，
故，，
故集合的子集为，，，，；
真子集为：，，．
15．已知、、、，集合，，， 的所有子集的元素之和为128（注：只有一个元素的集合的元素和是它本身，空集的元素和为，则的最大值为 ．
【解析】集合中有4个元素，所以集合有16个子集．
当子集有0个元素时，元素之和为0；
当子集有1个元素时，共有4个子集，此时所有子集个元素的子集）的元素和为；
当子集有2个元素时，共有6个子集，此时所有子集个元素的子集）的元素和为；
当子集有3个元素时，共有4个子集，此时所有子集个元素的子集）的元素和为；
当子集有4个元素时，共有1个子集，此时所有子集个元素的子集）的元素和为．
故集合的所有子集的元素和为，
所以，
则，
欲求的最大值，需令和越小越好，
因为和不相等，且都是正整数，所以和一个等于1一个等于2时，最大，
因为，所以此时，
所以，
即当时，求的最大值，
且、、、互不相等且都是正整数，又和一个等于1一个等于2，
所以当时，取最大值10，
此时的最大值为39，
即的最大值为39．
故填：39．
16．（2022秋•虎丘区校级期末）已知集合，2，3，4，5，，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘以再求和，例如，3，，可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和为 ．
【解析】因为集合，2，3，4，5，，
所以中所有非空子集共有个，在这些非空子集中元素1，2，3，4，5，6都出现了次，
且集合，2，3，4，5，的和为：
，
所以这些和的总和为．
故答案为：96．
考点四 交集及其运算
17．（2022秋•浦东新区校级期末）设集合，，，，，，则集合中元素的个数为 ．
【解析】解得，或或或，
的元素个数为4．
故答案为：4．
18．（2022秋•湖北期中）设集合，，则 ．
【解析】，
，
故，
，
，
故，
故；
故答案为：．
19．（2022秋•徐汇区校级期中）集合，，则 ．
【解析】或，
，
所以且，，．
故答案为：，，．
20．（2022秋•浦东新区校级期中）设集合，．若，求实数的取值范围．
【解析】因为集合，
且，所以，
又因为集合，其中；
所以，解得；
所以实数的取值范围是．
21．（2022秋•银川校级期末）已知集合，或．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
【解析】（1），
，解得，
的取值范围为；
（2），
，
或，
或，
的取值范围为或．
22．（2022秋•裕华区校级期末）已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，求的非空真子集；
（3）若不存在实数，使，同时成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为，所以，
又因为，，
所以当时，，得；
当时，则，结合数轴法得，解得，故；
综上知，，所以实数的取值范围是，．
（2）因为，，所以，2，，
所以集合的非空真子集为，，，，，，，，．
（3）因为不存在实数，使，同时成立，所以，
又因为，，
当时，由（1）得；
当时，则，有或，解得或，故；
综上：或，所以实数的取值范围是，．
考点五 交、并、补集的混合运算
23．已知集合，．
（1）求；
（2）若集合，且，求实数的取值范围．
【解析】（1）或，或，
或．
（2），且，分和来讨论：
当时，，；
当时，，，解得，
综上，实数的取值范围为．
24．（2022秋•崇川区校级期末）已知集合，，定义且，则下列说法正确的有
A．若，2，，，，则，，
B．
C．
D．若，则
【解析】对于，当，2，，，时，，，，选项正确；
对于，因为没有中的元素，没有中的元素，所以，选项正确；
对于，由选项知，，2，，选项错误；
对于，当时，由的定义知，，选项正确．
故选：．
25．（2019秋•武邑县校级期末）已知全集，2，3，4，5，6，，，4，，，．
（1）求：，，；
（2）若集合满足：，，，求集合．
【解析】（1），2，3，4，5，6，，，4，，，，
，2，6，，
，2，3，5，，
，2，，
，，
，2，4，6，；
（2），，
，
，5，，
，2，4，．
26．（2022秋•福田区校级期中）设全集是实数集，，．
（1）当时，求和；
（2）若，求实数的取值范围．
【解析】（1），
时；
所以，
；
（2）因为，所以或，
又，当时，，满足；
当时，，
令，解得，所以；
综上知，实数的取值范围是．
27．（2022秋•北京期末）已知集合，．
（Ⅰ）求集合中的所有整数；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ），
集合中的所有整数为0，1，2；
（Ⅱ），
，
①当，即时，
，成立；
②当，即时，
，
解得，
综上所述，
实数的取值范围为或．
28．（2022秋•洛阳期中）已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【解析】，
，
解得或，
故或；
（1）当时，
，
或，
故或，
或；
（2），
，
或，
解得或，
故实数的取值范围为或．
29．（2022秋•青羊区校级期中）已知集合，不等式的解集为．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【解析】（1）时，集合，
不等式可化为，
即，解得或，
所以不等式的解集为或．
所以或，
又因为或，
所以或；
（2）若，则，当，即时，，满足；
当时，令或，解得或，即或，
综上知，实数的取值范围是或．
考点六 Venn图表达集合的关系及运算
30．（2022秋•渝中区校级期末）定义：且，则图中的阴影部分可以表示为_____，请用阴影部分表示．
【解析】根据，且可得表示集合中除去中所有元素，
所以阴影部分表示除，公共元素之外的元素给成的集合；
所以，如图阴影部分所示．
31．（2022秋•南关区校级期末）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是15，11，9．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是
A．5B．6C．7D．8
【解析】设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为，，，集合，，中元素个数分别为（A），（B），（C），
则（A），（B），（C），，
因为（A）（B）（C），
且，，，
所以，即，
所以这三天都开车上班的职工人数的最大值是7．
故选：．
考点七 充分条件与必要条件
32．（2022秋•京口区校级期末）设，，则“”的充要条件是
A．，都为B．，不都为
C．，中至少有一个为D．，都不为0
【解析】因为，，，所以，
解得或，
所以或．
所以，中至少有一个为．
故选：．
33．（2022春•碑林区校级期末）已知，，则“且”是“”的 条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【解析】充分性：若，，则，充分性成立；
必要性：若，令，，满足条件，但不能得出，，必要性不成立；
综上知，“，”是“”的充分不必要条件．
故选：．
34．（2022秋•皇姑区校级期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】由已知得：，
所以，解得．
故选：．
35．（2022秋•碑林区校级期末）设为任一实数，表示不超过的最大整数，表示不小于的最小整数，例如，，，，那么“”是“”的
A．充分条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解析】设，由和的定义得：，，
所以，即，充分性成立；
当，时，，，，必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
36．（2021秋•腾冲市期末）下列命题是真命题的是
A．命题“，使得”的否定是“，均有”
B．如果，那么
C．“”是“”的充要条件
D．，
【解析】对于：命题“，使得”的否定是：“，均有”，故错误；
对于：如果，则，故，故正确；
对于：由可得或，故“”是“”的必要不充分条件，故错误；
对于：当时，，故错误．
故选：．
37．（2022秋•长安区校级期末）命题“，”是假命题的一个必要不充分条件是
A．B．C．D．
【解析】由已知得：原命题的否定即，”为真命题，
即在，上有解，显然时，，
故，即时，“，”是假命题，
结合选项可知，只有，，，故正确，错误．
故选：．
38．集合，，，，则“点 “是“点 “的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】因为中的点坐标都满足，故点“”是“点 “的的充分条件，
反之，在中取点，故“”是“点”的不必要条件，
故“点 “是“点 “的充分不必要条件．
故选：．
39．（2022秋•新华区校级期末）设，，下列说法中错误的是
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“，”是“，”的充要条件
D．“”是“”的既不充分也不必要条件
【解析】对于，因为的解集为，，，所以“”是“”的充分不必要条件，选项正确；
对于，“”时，“”不一定成立，反之“”成立时，“”一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，选项正确；
对于，“，”时，“，”一定成立，反之“，”成立时，，不一定成立，如，，所以“，”是“，”的充分不必要条件，选项错误；
对于，当，时，满足“”，但不满足“”；当，时，满足“”，但不满足“”，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，选项正确．
故选：．
40．（2022秋•北京期末）王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问到达“奇伟、瑰怪，非常之观”是“有志”的
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件D．必要不充分条件
【解析】“非有志者不能至也”，可得能够到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必须“有志”，充分性成立；
“而人之所罕至焉”，即“有志”者也未必到达“奇伟、瑰怪，非常之观”，必要性不成立．
所以到达“奇伟、瑰怪，非常之观”是“有志”的充分不必要条件．
故选：．
41．【多选】（2022秋•东安区校级期末）下列命题正确的是
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“能被4整除的数也能被2整除”的否定是“存在能被4整除的数不能被2整除”
C．设，，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设，，则“”是“”的必要而不充分条件
【解析】对于，时，，充分性成立，时，，得，解得或，必要性不成立，是充分不必要条件，选项正确；
对于，全称量词命题：“能被4整除的数也能被2整除”，它的否定是存在量词命题：“存在能被4整除的数不能被2整除”，选项正确；
对于，且时，，充分性成立，时，不能得出且，必要性不成立，是充分不必要条件，选项错误；
对于，时，不能得出，充分性不成立，时，一定有，必要性成立，是必要不充分条件，选项正确．
故选：．
42．【多选】（2022秋•揭阳校级期末）下列选项中，是的充要条件的是
A．，，
B．，
C．或，
D．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直平分
【解析】对于，时，有，或，所以不是的充分条件，即不是的充要条件；
对于，时，，充分性成立，时，，必要性成立，所以是的充要条件；
对于，或时，，充分性成立，时，或，必要性成立，所以是的充要条件；
对于，四边形是正方形时，四边形的对角线互相垂直平分，充分性成立，
四边形的对角线互相垂直平分时，四边形不一定的正方形，所以不是的充要条件．
故选：．
43．（2022秋•浠水县校级期末）命题，为真命题的一个充分条件是 ．
【解析】时，不等式可化为，
因为，所以，当且仅当，即时取“”，
所以，
所以；
所以命题，为真命题的一个充分条件是集合的子集即可．
故答案为：集合的子集即可．
44．（2022秋•阜南县校级期末）已知集合或，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为集合，
若，则，解得，
所以实数的取值范围是，；
（2）因为集合或，，
是的必要不充分条件，所以，
①若，则，解得，
②若，则，解得，
综上，实数的取值范围是，．
45．（2022秋•南岗区校级期末）设全集．集合，集合．
（1）若“”是“ “的充分条件，求实数的取值范围；
（2）若“”是“ “的充分条件，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为集合，集合，且“”是“ “的充分条件，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是，；
（2）若“”是“ “的充分条件，则；
当，即时，，满足；
当时，应满足，解得，此时；
综上知，实数的取值范围是．
46．（2022秋•香洲区校级期末）已知命题“，不等式”成立是假命题．
（1）求实数的取值集合；
（2）设，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为命题“，不等式”成立是假命题，
所以它的否定“，不等式”是真命题，
所以△，解得，
所以集合．
（2）因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，
又因为，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
47．（2022秋•凌河区校级期中）已知；．
（1）若，则是的什么条件？
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【解析】（1）由，解不等式得：；
当时，，
因为，
所以是的充分不必要条件．
（2）因为是的必要不充分条件，所以．
①当时，，解得；
②当时，，解得；
所以的取值范围是．
48．（2022秋•朝阳区期末）在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若 ，求实数的取值范围．
【解析】（1）时，，，
所以．
（2）选择①，，则，
因为，所以，解得，
所以实数的取值范围是．
选择②，由“”是“”的充分不必要条件，可得，
所以，解得，所以实数的取值范围是．
选择③，，则或，解得或，
所以实数的取值范围是，，．
49．（2022秋•从化区校级期末）已知，集合或，．
（1）当时，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为集合或，时，或，
所以或；
（2）因为时，集合或，
若是的充分不必要条件，则；
所以或，解得或；
所以实数的取值范围是，．
50．（2022秋•贵阳期末）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是．
【解答】证明：当时，，代入方程，得，解得，充分性成立；
当时，一元二次方程化为，必要性成立；
所以是一元二次方程的一个根的充要条件是．
51．（2022秋•沛县期末）集合，非空集合．
（1）当，求；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
【解析】（1）集合，
时，集合，所以；
（2）若“”是“”的必要条件，即；
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
52．（2022秋•崇川区校级期末）已知，，命题，命题．
（1）当时，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【解析】（1）如，则，
即，所以，
故的范围为；
（2）由得，或，故，或，
由解得，故，
故，或，
因为是的充分不必要条件，所以，
得，即，
故的范围是．
53．（2022秋•仁寿县校级期末）已知集合，，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若是的充分条件，求的取值范围．
【解析】（1）因为集合，，，且，
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围是，；
（2）若是的充分条件，则，
所以，解得，
所以的取值范围是，．
54．（2022秋•河北区校级期中）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【解析】因为“”是“”的必要不充分条件，
所以不等式“”的解集是“”解集的真子集；
解不等式，得或，
不等式可化为，
当时，不等式的解集为，，，不满足题意；
当时，不等式的解集为，，，应满足，解得；
当时，不等式的解集为，，，应满足，解得；
综上知，实数的取值范围是，，．
55．（2022秋•浠水县校级期末）已知集合，．
（1）若集合，求实数的值；
（2）已知，．若是的充分条件，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为集合，
所以和1是方程的解，
由根与系数的关系知，解得；
（2）因为集合，
；
又，，且是的充分条件，
所以，当时，不合题意；
当时，，
所以，解得；
当时，，
所以，解得；
综上知，实数的取值范围是，，．
56．已知条件；条件，．若是的充分不必要条件，求数的取值范围．
【解析】由是的充分不必要条件，可知，但，
由一个命题与它的逆否命题等价，可知但，
因为条件；条件，；
所以可知，；
所以或，
解得或，
所以的取值范围是，．
57．（2022秋•浦北县校级期中）下面命题为真命题的是
A．设，，则“”是“”的必要不充分条件
B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“为单元素集”的充分不必要条件
【解析】，且，是的必要不充分条件，正确，
，二次方程有一正根一负根，
则，，
是二次方程有一正根一负根的充要条件，正确，
，，，，是的必要不充分条件，错误，
，当时，，符合题意，
当时，，符合题意．正确，
故选：．
58．（2022秋•三水区校级期末）已知集合，，全集，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【解析】若是成立的充分不必要条件，则，
①当时，即，解得，此时；
②当时，只需，解得，
综上，的取值范围是，．
考点八 全称命题的否定
59．（2022秋•连云港期末）设命题，，则为
A．B．
C．，D．，
【解析】由，，
得为：，．
故选：．
60．（2021秋•水磨沟区校级期中）写出下列命题的否定：并判断真假
（1）：一切分数都是有理数；
（2）：有些三角形是锐角三角形；
（3），
（4），
【解析】（1）：有些分数不是有理数，假命题；
（2）：所有的三角形都不是锐角三角形，假命题；
（3），，真命题；
（4），，假命题．