上海高一下期中真题精选（常考60题专练）（范围：第6章三角~8.2向量的数量积）-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二）

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A．充分不必要条件B．必要不充分条
C．充分条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由“x＝2kπ+（k∈z）”⇒“sinx＝”，反之不成立，即可得出．
【解答】解：由“x＝2kπ+（k∈z）”⇒“sinx＝”，
反之，由“sinx＝”⇒“x＝2kπ+或（k∈z）”．
综上可知：“x＝2kπ+（k∈z）”是“sinx＝”成立的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数方程的解法、充分必要条件，属于基础题．
2．（2022春•徐汇区校级期中）若sinx＜0，且sin（csx）＞0，则角x是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【分析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．
【解答】解：∵﹣1≤csx≤1，且sin（csx）＞0，
∴0＜csx≤1，
又sinx＜0，
∴角x为第四象限角，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数角象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．
3．（2022春•闵行区期中）在下列函数中，既是上的增函数，又是以π为最小正周期的偶函数的函数是（ ）
A．y＝sin2xB．y＝cs2xC．y＝|sinx|D．y＝|sin2x|
【分析】利用三角函数的单调性、周期性和排除A、B、D，从而得到C正确．
【解答】解：由y＝sin2x在 上不具有单调性，故排除A．
由于y＝cs2x在 上是减函数，故排除 B．
由于y＝|sinx|的周期等于π，且在 上是增函数，故C满足条件．
由于y＝|sin2x|的周期等于，故不满足条件，故排除D．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．
4．（2022春•奉贤区校级期中）已知函数y＝tanΩx在上是减函数，则（ ）
A．0＜Ω≤1B．﹣1≤Ω＜0C．Ω≥1D．Ω≤﹣1
【分析】先根据函数f（x）在上是减函数可得Ω＜0且T≥π，可得答案．
【解答】解：由题知Ω＜0，且周期，∴|Ω|≤1，即﹣Ω≤1，∴﹣1≤Ω＜0．
故选：B．
【点评】本题主要考查正切函数的单调性问题．属基础题．
5．（2022春•浦东新区校级期中）函数f（x）＝sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的，那么所得图象的函数表达式为（ ）
A．y＝sinxB．y＝sin（x+）
C．y＝sin（4x+）D．y＝sin（4x+）
【分析】由条件利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：把函数f（x）＝sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得y＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+）的图象，
再将图象上各点的横坐标压缩为原来的，那么所得图象的函数表达式为y＝sin（4x+），
故选：D．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
6．（2022春•奉贤区校级期中）已知AM是△ABC的BC边上的中线，若、，则等于（ ）
A．（﹣）B．﹣（﹣）C．（+）D．﹣（+）
【分析】先利用因为AM是△ABC的BC边上的中线得到＝，再结合向量的三角形法则，即可求出结论．
【解答】解：因为AM是△ABC的BC边上的中线，∴＝
又∵＝①
②
①+②：2＝
∴＝（+）．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量的三角形法则的应用．在平时的学习中，应把本题作为结论来记．
7．（2022春•长宁区校级期中）在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据，∴A是正确的，同理B也正确，再由D答案可变形为，通过等积变换判断为正确，从而得到答案．
【解答】解：∵，∴A是正确的，同理B也正确，
对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积的定义．要会巧妙变形和等积变换．
8．（2022春•杨浦区校级期中）已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC的关系为（ ）
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上
D．P是AC边的一个三等分点
【分析】利用向量的运算法则将等式变形，得到，据三点共线的充要条件得出结论．
【解答】解：∵，
∴，∴，
∴P是AC边的一个三等分点．
故选：D．
【点评】本题考查向量的运算法则及三点共线的充要条件．
9．（2022春•徐汇区校级期中）在△ABC中，若且，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【分析】通过向量的运算律：分配律得到，据向量的运算法则得三角形的三边对应的向量和为0即，代入得向量的平方相等，据向量的平方等于向量模的平方得出三角形的三边相等．
【解答】解：因均为非零向量，
且，
得⇒，
又⇒，
∴[﹣（）]•（）＝0⇒，得||＝||，
同理||＝||，
∴||＝||＝||，
得△ABC为正三角形．
故选：D．
【点评】本题考查向量的运算律；向量的运算法则；及向量的平方等于向量模的平方．
10．（2022春•长宁区校级期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A＝2B，则等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知及三角形内角和定理，诱导公式可得＝＝＝，再结合正弦定理即可得解．
【解答】解：∵A+B+C＝π，A＝2B，
∴＝＝＝．
再结合正弦定理得：．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键，属于基础题．
11．（2022春•浦东新区校级期中）在平面直角坐标系中，若角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴，终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ）
A．B．C．sin（π+α）D．cs（π+α）
【分析】由已知可得sinα＞0，csα＜0，利用诱导公式化简各个选项即可得解．
【解答】解：因为角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴，终边在第二象限，
所以sinα＞0，csα＜0，
所以sin（α+）＝csα＜0，
cs（α+）＝﹣sinα＜0，
sin（π+α）＝﹣sinα＜0，
cs（π+α）＝﹣csα＞0．
故选：D．
【点评】本题考查了诱导公式，任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题．
12．（2022春•浦东新区校级期中）已知非零向量，，，则“•＝•”是“＝”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】分别从充分性和必要性进行判断，由充分条件与必要条件的定义，即可得到答案．
【解答】解：当且，则＝0，但与不一定相等，
故不能推出，
则“•＝•”是“＝”的不充分条件；
由，可得，
则，即，
所以可以推出，
故“•＝•”是“＝”的必要条件．
综上所述，“•＝•”是“＝”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握平面向量的基本概念和基本运算，属于基础题．
13．（2022春•杨浦区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O交于点P（x0，y0），若cs（）＝，则x0＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得csα＝x0，由题意利用同角三角函数基本关系式可求sin（）的值，进而根据两角差的余弦公式即可得解．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O交于点P（x0，y0），
∴csα＝x0，
∵α∈（﹣，0），∈（﹣，），
又cs（）＝＜，
∴∈（﹣，0），
∴sin（）＝﹣，
∴x0＝csα＝cs[（）﹣]＝cs（）cs+sin（）sin＝﹣＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
14．（2022春•浦东新区校级期中）对于函数f（x）＝sin（2x+），下列命题：
①函数图象关于直线x＝﹣对称；
②函数图象关于点（，0）对称；
③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位而得到；
④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的．
（纵坐标不变）而得到；其中正确的命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】①把x＝﹣代入函数的表达式，函数是否取得最大值，即可判定正误；
②把x＝，代入函数，函数值是否为0，即可判定正误；
③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位，推出函数的表达式是否相同，即可判定；
④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的表达式是否相同，即可判定正误．
【解答】解：①把x＝﹣代入函数f（x）＝sin（2x+）＝0，所以，①不正确；
②把x＝，代入函数f（x）＝sin（2x+）＝0，函数值为0，所以②正确；
③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位得到函数为f（x）＝sin（2x+），所以不正确；
④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数f（x）＝sin（2x+），正确；
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，常考题型．
15．（2022春•浦东新区校级期中）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为s＝2sin（ωt+φ），其中ω＞0，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为s0（﹣2＜s0＜2）的时间分别为t1，t2，t3，且t3﹣t1＝2，则ω＝（ ）
A．B．πC．D．2π
【分析】利用正弦型函数的性质画出函数图象，并确定连续三次位移为s0的时间t1，t2，t3，即可得T＝t3﹣t1，可求参数ω的值．
【解答】解：由正弦型函数的性质，函数示意图如下：
所以T＝t3﹣t1＝2，则＝2，
可得ω＝π．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．
16．（2022春•杨浦区校级期中）已知向量，，则＝（ ）
A．B．C．D．5
【分析】根据向量的线性运算的坐标表示求出+2＝（1，2），再求其模即可．
【解答】解：∵，，
∴+2＝（1，2），
∴＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了向量的线性运算的坐标表示以及向量的模，属于基础题．
17．（2022春•浦东新区校级期中）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A．（）2＝||2B．（）（）＝22
C．||≤||•||D．||≤|||﹣|||
【分析】通过向量的数量积，以及向量的运算法则，判断选项的正误即可．
【解答】解：因为，所以（）2＝||2正确，所以A正确；
（）（）＝22，满足向量的运算法则，所以B正确；
||＝||•||cs≤||•||，所以C正确；
如果两个向量是相反向量，||≤|||﹣|||，不正确，所以D不正确；
故选：D．
【点评】本题考查向量的数量积以及向量的运算法则的判断，是基本知识的考查．
18．（2022春•宝山区校级期中）在△OAB中，＝，＝，OD是AB边上的高，若，则实数λ等于（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据向量的线性运算法则，算出＝λ（﹣），再由OD⊥AB得＝0，由此建立关于、和λ的式子，解之即可得到实数λ的值．
【解答】解：∵＝λ，＝﹣＝﹣，
∴＝λ（﹣），
∴＝+＝+λ（﹣），
∵OD是AB边上的高，可得，
∴＝0，
即[+λ（﹣）]•λ（﹣）＝0，
解得λ＝
故选：B．
【点评】本题给出三角形的高，求边AC在AB边上的投影λ的值．着重考查了平面向量线性运算法则、向量数量积及其运算性质等知识，属于中档题．
19．（2022春•浦东新区校级期中）我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y＝2020相交于A，B两点，且|AB|＝2，则＝（ ）
A．B．C．D．﹣
【分析】根据平行于横轴的直线与平行曲线截得的线段长度相等，得到|AB|＝2是周期，
利用周期公式求得ω的值，再求f（）的值．
【解答】解：由题意知，T＝|AB|＝2，
所以＝2，解得ω＝；
所以f（x）＝tan（x+），
所以f（）＝tan（+）＝tan＝．
故选：A．
【点评】本题考查了正切函数的周期性与三角函数值计算问题，解题的关键是准确理解给定的信息，得出该函数的周期．
二．填空题（共30小题）
20．（2022春•黄浦区校级期中）函数y＝sinxcsx的最小正周期T＝ π ．
【分析】根据二倍角的正弦公式，化简可得y＝sin2x，再由三角函数的周期公式即可算出函数y的最小正周期．
【解答】解：∵sin2x＝2sinxcsx
∴y＝sinxcsx＝sin2x，
因此，函数y的最小正周期T＝＝π
故答案为：π
【点评】本题给出三角函数式，求函数的周期，着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识，属于基础题．
21．（2022春•浦东新区校级期中）函数f（x）＝sinxcsx的最大值是 ．
【分析】利用二倍角的正弦函数公式将函数解析式变形，根据正弦函数的值域，即可得到函数f（x）的最大值．
【解答】解：f（x）＝sinxcsx＝sin2x，
∵﹣1≤sin2x≤1，
∴﹣≤sin2x≤，
则f（x）的最大值为．
故答案为：
【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．
22．（2022春•闵行区校级期中）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为 ﹣1 ．
【分析】根据投影的定义，应用公式向量在向量方向上的投影为：||cs＜，＞＝，代值计算即可
【解答】解：向量＝（1，﹣2），＝（3，4），则向量在向量方向上的投影为：||cs＜，＞＝＝＝﹣1．
故答案为：﹣1
【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．
23．（2022春•杨浦区校级期中）已知正方形ABCD的边长为，，则＝ 4 ．
【分析】由正方形的边长为，可得正方形的对角线的长为2，而＝＝可得，从而可求
【解答】解：∵正方形的边长为
∴正方形的对角线的长为2
∵＝＝
∴＝4
故答案为：4
【点评】本题主要考查了向量数量积的基本运算性质，属于基础性试题
24．（2022春•杨浦区校级期中）已知tan（x+）＝2，则tanx的值为 ．
【分析】根据已知的条件，利用两角和的正切公式可得 ＝2，解方程求得 tanx的值．
【解答】解：∵已知tan（x+）＝2，∴＝2，解得 tanx＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
25．（2022春•闵行区期中）已知sinα+csα＝，则sin2α＝ ﹣ ．
【分析】由已知两边同时平方，结合二倍角公式可求解．
【解答】解：由sinα+csα＝两边平方得1+2sinαcsα＝，
则sin2α＝．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了同角平方关系及二倍角公式，属于基础题．
26．（2022春•浦东新区校级期中）已知，且，则＝ ．
【分析】先利用同角三角函数基本关系求得sinα的值，在利用诱导公式对原式化简整理，把csα和sinα的值代入即可求得答案．
【解答】解：∵
∴sinα＝﹣＝﹣
∴原式＝＝＝﹣2
故答案为：﹣2
【点评】本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．解题时注意三角函数的正负．
27．（2022春•徐汇区校级期中）函数的值域是 ．
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，＝，由正弦函数的性质可得，代入函数可求函数的值域．
【解答】解：∵
＝
＝
＝
＝
又∵
∴
故答案为：
【点评】本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式的综合运用，把不同名的三角函数化简为y＝Asin（ωx+φ）的形式，利用正弦函数的性质研究y＝Asin（ωx+φ）的性质．
28．（2022春•杨浦区校级期中）函数y＝sin2x+2csx在区间[﹣，α]上的值域为[﹣，2]，则α的取值范围是 [0，] ．
【分析】应用同角三角函数基本关系式，函数可以化为关于csx的解析式，令t＝csx，则原函数可化为y＝﹣（t﹣1）2+2，即转化为二次函数的最值问题，含参数的问题的求解．
【解答】解：由已知得，y＝1﹣cs2x+2csx＝﹣（csx﹣1）2+2，令t＝csx，得到：y＝﹣（t﹣1）2+2，显然当t＝cs（﹣）＝﹣时，y＝﹣，当t＝1时，y＝2，又由x∈[﹣，α]可知csx∈[﹣，1]，可使函数的值域为[﹣，2]，所以有a≥0，且a≤，从而可得a的取值范围是：0≤a≤．
故答案为：[0，]．
【点评】本题考查三角函数的值域问题，换元法与转化化归的数学思想，含参数的求解策略问题．
29．（2022春•浦东新区校级期中）函数的定义域为 ．
【分析】利用正切函数的定义域，直接求出函数的定义域即可．
【解答】解|：函数的有意义，必有，所以函数的定义域．
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查正切函数的定义域的求法，结果必须写成集合的形式，考查计算能力．
30．（2022春•杨浦区校级期中）函数的单调增区间为 ．
【分析】通过tanx的单调增区间，进而求出的单调增区间．
【解答】解：∵tanx的单调增区间为（kπ﹣，kπ+）
∴函数的单调增区间为kπ﹣＜x+＜kπ+，即kπ＜x＜kπ（k∈Z）
故答案为（kπ，kπ）
【点评】本题主要考查了正切函数的单调性．属基础题．
31．（2022春•黄浦区校级期中）已知，则tanα＝ 2 ．
【分析】将已知等式去分母，化简整理得sinα＝2csα，再由同角三角函数的基本关系，可算出tanα的值．
【解答】解：∵，
∴去分母，得sinα+csα＝3（sinα﹣csα）
解之得sinα＝2csα，可得tanα＝＝2
故答案为：2
【点评】本题给出α的正弦、余弦的等式，求α的正切之值．着重考查了同角三角函数的基本关系的知识，属于基础题．
32．（2022春•闵行区期中）已知sinα＝，且α是第二象限角，那么tanα的值是 ﹣ ．
【分析】先利用α所在的象限判断出csα的正负，然后利用同角三角函数的基本关系，根据sinα的值求得csα的值，进而求得tanα．
【解答】解：∵α是第二象限角
∴csα＝﹣＝﹣
∴tanα＝＝﹣
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系．注重了对学生基础知识的掌握．
33．（2022春•杨浦区校级期中）若θ∈[，]，sin2θ＝，则sinθ＝ ．
【分析】由θ的范围求出2θ的范围，再由平方关系求出cs2θ，根据倍角的余弦公式变形求出sinθ的值．
【解答】解：由得，，
∴＝﹣＝，
∵cs2θ＝1﹣2sin2θ，sinθ＞0
∴sinθ＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平方关系和倍角的余弦公式的应用，注意角的范围确定，以及三角函数值的符号问题．
34．（2022春•徐汇区校级期中）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝ ．
【分析】利用向量平行的条件直接求解．
【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，
∴λ+＝t（+2）＝，
∴，解得实数λ＝．
故答案为：．
【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
35．（2022春•徐汇区校级期中）若向量，满足且与的夹角为，则＝ ．
【分析】要求两个向量的和的模长，首先求两个向量的和的平方再开方，根据多项式运算的性质，代入所给的模长和夹角，求出结果，注意最后结果要开方．
【解答】解：∵且与的夹角为，
∴＝＝＝，
故答案为：
【点评】本题考查向量的和的模长运算，考查两个向量的数量积，本题是一个基础题，在解题时最后不要忽略开方运算，是一个送分题目．这种题目会在高考卷中出现．
36．（2022春•黄浦区校级期中）设，为单位向量，且|+|＝，则|﹣|＝ 1 ．
【分析】根据条件对两边平方即可求出，然后根据即可求出答案．
【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点评】本题考查了向量数量积的运算，单位向量的定义，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
37．（2022春•浦东新区校级期中）已知向量＝（2，﹣6），＝（3，m），若|+|＝|﹣|，则m＝ 1 ．
【分析】由题意可得•＝0，再利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出m的值．
【解答】解：∵向量，，若，则•＝0，
即 2×3﹣6m＝0，则m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．
38．（2022春•闵行区校级期中）已知向量＝（2，1），•＝10，|+|＝5，则||＝ 5 ．
【分析】设＝（x，y），则有 2x+y＝10，且 ＝5，解方程组求得x、y的值，即可求得||的值．
【解答】解：∵向量＝（2，1），＝10，||＝5，
设＝（x，y），则有 2x+y＝10，且 ＝5，
即2x+y＝10，且（2+x）2+（1+y）2＝50，
解方程组，求得，故 ＝（3，4），∴||＝5，
故答案为 5．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
39．（2022春•长宁区校级期中）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量＝（，﹣1），＝（csA，sinA）．若⊥，且acsB+bcsA＝csinC，则角B＝ ．
【分析】由向量数量积的意义，有，进而可得A，再根据正弦定理，可得sinAcsB+sinBcsA＝sinC sinC，结合和差公式的正弦形式，化简可得sinC＝sin2C，可得C，由A、C的大小，可得答案．
【解答】解：根据题意，，
由正弦定理可得，sinAcsB+sinBcsA＝sinCsinC，
又由sinAcsB+sinBcsA＝sin（A+B）＝sinC，
化简可得，sinC＝sin2C，
则C＝，
则，
故答案为．
【点评】本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．
40．（2022春•徐汇区校级期中）在锐角△ABC中，AC＝4，BC＝3，三角形的面积等于，则AB的长为 ．
【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将AC与BC，以及已知面积代入求出sinC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出csC的值，利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及csC的值代入即可求出AB的长．
【解答】解：∵在锐角△ABC中，AC＝b＝4，BC＝a＝3，三角形的面积等于3，
∴absinC＝3，即sinC＝，
∵C为锐角，∴csC＝＝，
由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcsC＝16+9﹣12＝13，
解得：AB＝c＝．
故答案为：
【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
41．（2022春•黄浦区校级期中）将函数y＝3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 x＝﹣ ．
【分析】利用三角函数的平移可得新函数g（x）＝f（x﹣），求g（x）的所有对称轴x＝+，k∈Z，从而可判断平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程，
【解答】解：因为函数y＝3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得
g（x）＝f（x﹣）＝3sin（2x﹣+）＝3sin（2x﹣），
则y＝g（x）的对称轴为2x﹣＝+kπ，k∈Z，
即x＝+，k∈Z，
当k＝0时，x＝，
当k＝﹣1时，x＝，
所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x＝，
故答案为：x＝，
【点评】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题．
42．（2022春•青浦区校级期中）已知函数f（x）＝sin2x，，若f（x）的值域是，则a的取值范围是 [，] ．
【分析】由x∈[﹣，a]⇒2x∈[﹣，2a]，由f（x）＝sin2x的值域是[﹣，1]，利用正弦函数的图象与性质可求得a的取值范围．
【解答】解：∵x∈[﹣，a]，
∴2x∈[﹣，2a]，
∴f（﹣）＝sin（﹣）＝﹣，f（）＝sin＝﹣，f（）＝sin＝1，
又f（x）＝sin2x的值域是[﹣，1]，
∴≤2a≤，
∴≤a≤，即a的取值范围是[，]．
故答案为：[，]．
【点评】本题考查正弦函数的定义域和值域，着重考查数形结合思想与作图分析的能力，属于中档题．
43．（2022春•杨浦区校级期中）已知，，则sinθ等于 ．
【分析】本题关键是角的变换，已知条件和要求的结论之间的关系是解题的重点，题目已知中出现的角要以整体形式应用，看出的关系．
【解答】解：∵，
∴，
∴
∴
＝
＝
＝﹣，
故答案为：
【点评】三角函数是高中一年级数学教学中的一个重要内容，公式繁多、应用灵活、给学生的学习带来了一定的困难，本题关键是要看出角的变换，并且在变换时应用特殊角．
44．（2022春•杨浦区校级期中）若sinα﹣csα＝，则sin2α＝ ．
【分析】把sinα﹣csα＝的等号两端平方，利用二倍角的正弦公式可得sin2α的值．
【解答】解：∵sinα﹣csα＝，平方可得1﹣2sinαcsα＝，
解得sin2α＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．
45．（2022春•浦东新区校级期中）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若m2+n＝4，则＝ 2 ．
【分析】根据三角函数同角三角函数关系表示n，利用辅助角公式结合两角和差的正弦公式进行化简即可．
【解答】解：∵m＝2sin18°，
∴由m2+n＝4，得n＝4﹣m2＝4﹣4sin218°＝4cs218°，
则＝＝＝＝2，
故答案为：2
【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求解，利用辅助角公式以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．
46．（2022春•长宁区校级期中）设、为单位向量，非零向量＝x+y，x、y∈R．若、的夹角为，则的最大值等于 2 ．
【分析】利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：＝＝＝．
x＝0，y≠0时，＝0．
x≠0时，
则＝＝＝≤2，
当且仅当时取等号．
∴的最大值等于2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
47．（2022春•长宁区校级期中）设向量＝（﹣2，1），＝（λ，﹣1）（λ∈R），若、的夹角为钝角，则λ的取值范围是 （﹣，2）∪（2，+∞） ．
【分析】判断出向量的夹角为钝角的充要条件是数量积为负且不反向，利用向量的数量积公式及向量共线的充要条件求出λ的范围即可．
【解答】解：、的夹角为钝角
∴•＜0且不反向
即﹣2λ﹣1＜0解得λ＞﹣
当两向量反向时，存在m＜0使＝m
即（﹣2，1）＝（mλ，﹣m）
解得λ＝2
所以λ的取值范围（﹣，2）∪（2，+∞）
故答案为：（﹣，2）∪（2，+∞）
【点评】本题主要考查了向量夹角的范围问题，通过向量数量积公式变形可以解决．但要注意数量积为负，夹角包括钝角和平角两类，属于中档题．
48．（2022春•普陀区校级期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若S表示△ABC的面积，若acsB+bcsA＝csinC，，则∠B＝ 45° ．
【分析】先利用正弦定理把acsB+bcsA＝csinC中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得C＝90°，进而可利用两直角边表示出三角形的面积，利用勾股定理化简整理可求得a＝b，推断出三角形为直角等腰三角形，进而求得B．
【解答】解：由正弦定理可知a＝2rsinA，b＝2rsinB，c＝2rsinC，
∵acsB+bcsA＝csinC，
∴sinAcsB+sinBcsA＝sinCsinC，即sin（A+B）＝sin2C，
∵A+B＝π﹣c
∴sin（A+B）＝sinC＝sin2C，
∵0＜C＜π
∴sinC≠0
∴sinC＝1
∴C＝90°
∴S＝＝
∵b2+a2＝c2，
∴＝b2＝
∴a＝b
∴△ABC为等腰直角三角形
∴∠B＝45°
故答案为45°
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，两角和公式的化简求值，勾股定理的应用．考查了学生运用所学知识解决问题的能力．
49．（2022春•长宁区校级期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2﹣b2＝ac，b＝，则2a+c的取值范围是 （，2] ．
【分析】利用a2+c2﹣b2＝ac，代入到余弦定理中求得csB的值，进而求得B，再利用正弦定理求得a、c，利用两角和差的正弦公式化简2a+c的解析式，结合正弦函数的定义域和值域及三角形的性质求得2a+c 的范围．
【解答】解：△ABC中，∵a2+c2﹣b2＝ac，
∴csB＝＝，
∴B＝，A+C＝．
∵b＝，
∴由正弦定理可得，
∴2a+c＝4sinA+2sinC＝4sinA+2sin（﹣A）＝5sinA+csA＝2sin（A+φ），其中，tanφ＝，
∵0＜A＜，
∴2a+c，
又∵2a+c，
∴2a+c的取值范围是：（，2]．
故答案为：（，2]．
【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．注意余弦定理的变形式的应用，考查计算能力，属于中档题．
三．解答题（共11小题）
50．（2022春•杨浦区校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）若sin2B＝2sinAsin C，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出B的值．
（2）利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果，进一步求出三角形的周长．
【解答】解：（1）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
所以，
故，由于0＜B＜π．
解得．
（2）由于sin2B＝2sinAsin C，所以b2＝2ac，
且△ABC的面积为，故，
解得ac＝16，
所以b2＝2ac＝32，解得b＝4．
利用余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，整理得32+16＝a2+c2+2ac＝（a+c）2，
解得a+c＝4．
故△ABC的周长为．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
51．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数f（x）＝3sin2x+2sinxcsx+5cs2x．
（1）若f（α）＝5，求tanα的值；
（2）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，求f（x）在（0，B]上的值域．
【分析】（1）把f（α）＝5代入整理可得，，利用二倍角公式化简可求tanα
（2）由，利用余弦定理可得，，即，再由正弦定理化简可求B，对函数化简可得f（x）＝2sin（2x+）+4，由可求．
【解答】解：（1）由f（α）＝5，得．
∴．
∴，
即，
∴．（5分）
（2）由，即，
得，
则，
又∵B为三角形内角，
∴，（8分）
又＝＝（10分）
由，则，
故5≤f（x）≤6，
即值域是[5，6]．（12分）
【点评】本题主要考查了利用正弦及余弦定理解三角形，辅助角公式的应用，及正弦函数性质等知识的简单综合的运用，属于中档试题．
52．（2022春•奉贤区校级期中）已知向量，满足||＝1，||＝2，且与不共线．
（1）若向量+k与k+2为方向相反的向量，求实数k的值；
（2）若向量与的夹角为60°，求2+与﹣的夹角θ．
【分析】（1）根据题意即可得出，存在实数λ＜0，使得，然后根据平面向量基本定理得出，然后解出λ，从而得出k的值；
（2）根据题意即可得出，然后即可求出，，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出csθ的值，进而得出θ的值．
【解答】解：（1）∵向量与的方向相反，
∴存在实数λ＜0，使，且不共线，
∴，解得或（舍去），
∴；
（2）∵，
∴＝，＝，，
∴，且θ∈[0，π]，
∴．
【点评】本题考查了共线向量基本定理，平面向量基本定理，向量数乘的几何意义，向量的数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
53．（2022春•徐汇区校级期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝3，c＝，B＝45°．
（1）求sinC的值；
（2）在边BC上取一点D，使得cs∠ADC＝﹣，求tan∠DAC的值．
【分析】（1）由题意及余弦定理求出b边，再由正弦定理求出sinC的值；
（2）三角形的内角和为180°，cs∠ADC＝﹣，可得∠ADC为钝角，可得∠DAC与∠ADC+∠C互为补角，所以sin∠DAC＝sin（∠ADC+∠C）展开可得sin∠DAC及cs∠DAC，进而求出tan∠DAC的值．
【解答】解：（1）因为a＝3，c＝，B＝45°．，由余弦定理可得：b＝＝＝，
由正弦定理可得＝，所以sinC＝•sin45°＝＝，
所以sinC＝；
（2）因为cs∠ADC＝﹣，所以sin∠ADC＝＝，
在三角形ADC 中，易知C为锐角，由（1）可得csC＝＝，
所以在三角形ADC中，sin∠DAC＝sin（∠ADC+∠C）＝sin∠ADCcs∠C+cs∠ADCsin∠C＝，
因为∠DAC，所以cs∠DAC＝＝，
所以tan∠DAC＝＝．
【点评】本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
54．（2022春•杨浦区校级期中）已知函数的图象如图．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到g（x）的图象，且关于x的方程g（x）﹣m＝0在上有解，求m的取值范围．
【分析】（1）解法一：由题意利用正弦函数的单调性，数形结合求得f（x）的单调递增区间．
解法二：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．
（2）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，根据正弦函数的定义域和值域，求得m的范围．
【解答】解：（1）解法一：根据函数的图象，
＝﹣，∴ω＝2，T＝π．
由于f（x）的一个减区间为[，+（﹣）]，即[，]，
∴f（x）的增区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z．
解法二：根据函数的图象，
可得A＝1，＝﹣，∴ω＝2．
结合五点法作图，可得2×+φ＝，∴φ＝，f（x）＝sin（2x+ ）．
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得 kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（2）根据函数的图象，可得A＝1，
×＝﹣，∴ω＝2．
结合五点法作图，可得2×+φ＝，∴φ＝，f（x）＝sin（2x+ ）．
将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C：y＝sin（2x﹣ ） 的图象，
把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到g（x）＝2sin（2x﹣ ） 的图象，
且关于x的方程g（x）﹣m＝0在上有解，
即m＝2sin（2x﹣ ） 在上有解．
由于x∈[0，]，2x﹣∈[﹣，]，∴2sin（2x﹣ ）∈[﹣1，2]，
故m的取值范围为[﹣1，2]．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
55．（2022春•宝山区校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acsC+（c﹣3b）csA＝0．
（1）求tanA的值；
（2）若△ABC的面积为，且b﹣c＝2，求a的值．
【分析】（1）根据题意，对于acsC+（c﹣3b）csA＝0由正弦定理分析可得sinAcsC+（sinC﹣3sinB）csA＝0，变形可得csA＝，利用同角三角函数的基本关系式分析可得答案；
（2）由三角形面积公式可得S＝bcsinA＝×bc×＝，变形可得bc＝3，又由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccsA，代入数据计算即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，△ABC中，acsC+（c﹣3b）csA＝0，
则有sinAcsC+（sinC﹣3sinB）csA＝0，
即sinAcsC+sinCcsA＝3sinBcsA，
变形可得csA＝，则sinA＝＝，
则tanA＝＝2；
（2）若△ABC的面积为，即S＝bcsinA＝×bc×＝，
即可得bc＝3，
又由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccsA＝（b﹣c）2+2bc﹣bc＝8，
则a＝2．
【点评】本题考查三角形中的几何计算，关键是掌握正弦定理和余弦定理的形式．
56．（2022春•奉贤区校级期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2+c2﹣b2＝acsinB．
（1）求角B的大小；
（2）若b＝，且A∈（，），求边长c的取值范围．
【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，与已知等式结合整理后求出tanB的值，根据B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数；
（2）由三角形内角和定理列出关系式，将B度数代入表示出C，根据b与sinB的值，利用正弦定理表示出c，根据A的范围利用正弦函数值域即可确定出c的范围．
【解答】解：（1）在△ABC中，根据余弦定理a2+c2﹣b2＝2accsB，且a2+c2﹣b2＝acsinB，
∴2accsB＝acsinB，
∴tanB＝，
又∵0＜B＜π，
∴B＝；
（2）∵A+B+C＝π，
∴C＝π﹣A﹣B＝﹣A，
由正弦定理，得＝＝＝2，
∴c＝2sinC＝2sin（﹣A），
∵＜A＜，
∴＜﹣A＜．
∴＜sin（﹣A）＜1，
∴c∈（1，2）．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．
57．（2022春•青浦区校级期中）已知海岛B在海岛A北偏东45°，且与A相距20海里，物体甲从海盗B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时物体乙从海岛A以4海里/小时的速度沿直线向北偏西15°方向移动．
（1）求经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；
（2）求甲从海岛B到达海岛A的过程中，甲乙两物体的最短距离．
【分析】（1）由正弦定理可解得；
（2）由余弦定理及配方法可求得最小值．
【解答】解：（1）设经过t（0＜t＜10）小时，物体甲移动到E的位置，物体乙移动到F的位置，
物体甲与海岛A的距离为AE＝20﹣2t海里，物体乙与海岛A距离为AF＝4t海里，
当甲在乙正东方时，∠AFE＝75°，∠AEF＝45°，
在△AEF中，由正弦定理得：＝，即＝，
则t＝20﹣10，
所以，经过20﹣10小时，物体甲在物体乙的正东方向．
（2）由（1）题设，AE＝20﹣2t，AF＝4t，
由余弦定理得：EF2＝AE2+AF2﹣2AE•AFcs∠EAF
＝（20﹣2t）2+（4t）2﹣2×（20﹣2t）×＝28（t﹣）2+，
由0＜t＜5，得当t＝时，EFmin＝海里
所以，甲乙两物体之间的距离最短为海里．
【点评】本题考查了解三角形．属中档题．
58．（2022春•闵行区期中）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为（∠ACB＝），墙AB的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记∠ABC＝θ．
（1）若θ＝，求△ABC的周长（结果精确到0.01米）；
（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积△ABC的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．
【分析】（1）在△ABC中，由正弦定理可得AC，BC，即可求△ABC的周长；
（2）利用余弦定理列出关系式，将c，csC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，利用三角形的面积公式求出面积的最大值，以及此时θ的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理可得AC＝＝2，BC＝＝3+，
∴△ABC的周长为6+3+3≈17.60米
（2）在△ABC中，由余弦定理：c2＝62＝a2+b2﹣2abcs60°，
∴a2+b2﹣ab＝36，
∴36+ab＝a2+b2≥2ab，即ab≤36，
∴S△ABC＝AC•BC•sin＝ab≤9，
此时a＝b，△ABC为等边三角形，
∴θ＝60°，（S△ABC）max＝9．
【点评】此题考查了正弦定理、余弦定理，基本不等式的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
59．（2022春•浦东新区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个钝角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为﹣，﹣．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求α+2β的值．
【分析】（1）先求出A、B的纵坐标，利用任意角的三角函数的定义求出tanα和 tanβ，再利用两角和的正切公式求得tan（α+β）的值．
（2）先求出 tan2β，tan（α+2β）＝1．由（1）可得α∈（，）、β∈（，π），可得α+2β∈（2π，），从而求得 α+2β 的值．
【解答】解：（1）平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个钝角α，β，
它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，
已知A，B的横坐标分别为﹣，﹣，
则A，B的纵坐标分别为＝，＝．
∴tanα＝＝﹣7，tanβ＝＝﹣，∴tan（α+β）＝＝3．
（2）由于tan2β＝＝﹣，tan（α+2β）＝＝1．
由（1）可得α∈（，）、β∈（，π），
故α+2β∈（2π，），∴α+2β＝．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．
60．（2022春•浦东新区校级期中）如图所示，南山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC．小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝160°；从D处再攀登800米方到达C处．问索道AC长多少（精确到米）？
【分析】在△ABC中，由BD＝400，∠ABD＝120°，可得∠ADB＝20°，∠DAB＝40°，由正弦定理＝可求AD，然后在△ADC中，由DC＝800，∠ADC＝160，结合余弦定理AC2＝AD2+DC2﹣2 AD•DC•cs∠ADC 可求AC
【解答】解：在△ABC中，BD＝400，∠ABD＝120°，
∵∠ADB＝20°∴∠DAB＝40°
∵＝（2分）
∴，得AD≈538.9 （7分）
在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝160°
∴AC2＝AD2+DC2﹣2 AD•DC•cs∠ADC （9分）
＝538.92+8002﹣2×538.9×800×cs160°
＝1740653.8
得AC≈1319（米） （14分）
则索道AC长约为1319米．（15分）
【点评】本题主要考查了利用正弦定理及余弦定理解决实际问题，其关键是要根据已知把实际问题转化为数学问题，结合数学知识选择合适的定理、公理、公式进行求解．