湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由交集的运算法则求解即可.
【详解】解：，
，
故选：C.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数有意义，列出不等式组求解即得.
【详解】函数的意义，则且，解得且，
所以原函数的定义域为.
故选：D
3. 已知，则（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数解析式列式求解即可.
【详解】由题意可得：.
故选：C.
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】从充分性和必要性两个方面考虑.
【详解】先说充分性：当，比如，此时：不成立，所以“”不是“”的充分条件；
再说必要性：，所以成立，所以“”是“”的必要条件.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5. 若不等式对一切恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先分离参数，然后结合对勾函数的性质求得函数的最值，从而可确定t的取值范围．
【详解】因为不等式对一切恒成立，
所以在区间上恒成立，
由对勾函数性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且当时，，当时，，
所以，故，
故选：D
6. 若实数满足，则的最大值是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，将等式转化为不等式，求的最大值.
【详解】,
，
，
解得，，
的最大值是.
故选B.
【点睛】本题考查了基本不等式求最值，属于基础题型.
7. 已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意先求出函数在上为单调增函数且关于直线对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.
【详解】∵当时，恒成立，
∴当时，，即，
∴函数在上为单调增函数，
∵函数是偶函数，即，
∴函数的图象关于直线对称，∴，
又函数在上为单调增函数，∴，
即，∴，
故选：B.
8. 幂函数在区间上单调递增，且，则的值（ ）
A. 恒大于0B. 恒小于0
C. 等于0D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件求出的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可
【详解】由函数是幂函数，可得，解得或．
当时，；当时，．
因为函数在上是单调递增函数，故．
又，所以，
所以，则．
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. B. 集合
C. 集合D. 集合
【答案】BC
【解析】
【分析】根据集合间的基本关系逐一判定即可.
【详解】解：对于A，，故A错误；
对于B，由，可得x为偶数，所以集合，故B正确；
对于C，集合，故C正确；
对于D，集合，，故D错误.
故选：BC.
10. 已知的解集是，则下列说法正确的是（ ）
A. a>0
B. 不等式的解集是
C. 的最小值是
D. 当时，，的值域是，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，B，利用一元二次不等式与相应函数和方程的关系求解判断；对C，利用基本不等式求最值，对D，利用二次函数图象与性质，进行分析可得结果.
【详解】对于A，由题意可知： 是关于x的方程ax2+bx+c=0 的两个根，且 ，故A错误；
对于B，由题意可知： ，可得 ，.
不等式 化为： ，
由 可得 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ，故B正确；
对于C，因为， ，
可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值是，故C正确；
对于D，当 时， ，
则 ，
当x=1 时， 取到最大值 ，
由 得，x=−1 或 ，
的值域是 ，
因 在 上的最小值为 ，最大值为1，
从而得 或 ，
因此 ，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数是定义在R上的奇函数，当x>0时，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的单调递增区间为，
C. 当时，
D. 的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由奇函数在x=0处有定义，可得，可判断A；由x>0的函数的解析式，结合奇函数的定义可得时的函数解析式，可判断C；判断x>0时的的单调性，可得时的的单调性，不等式等价为x>0且，且，结合，解不等式可判断D；由的图象与y=f(x)的图象特点，结合单调性可判断B.
【详解】对于A，函数是定义在R上的奇函数，可得，故A错误；
对于C，当x>0时， ，设，则，，
又f−x=−fx，所以时，，故C正确；
对于D，由x>0时， ，可得f1=0，
又和在递增，可得在递增，
由奇函数的图象关于原点对称，可得在递增，且，
所以等价为 x>0f(x)<0=f(1)或 x<0f(x)>0=f(−1)，
解得或，故D正确；
对于B，因为在和上递增，且，
由的图象可看做y=f(x)的图象位于x轴上方的图象不变，
将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，
所以的递增区间为，1,+∞，故B正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则a______b．(填“>”或“<”)
【答案】
【解析】
【分析】对进行分子有理化，然后通过比较分母的大小，从而可得结果.
【详解】，
，
因为，所以，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
13. 已知，且，则__________.
【答案】7
【解析】
【分析】根据题意，由函数的解析式可得，结合即可求解.
详解】，
则
则有，
若，则
故答案为：
14. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为________.
【答案】 .
【解析】
【分析】根据定义作出函数的图像,根据函数值域,求出对应点的坐标,利用数形结合进行判断即可.
【详解】根据定义作出函数的图像如图:(实线部分的曲线).
其中,即.
当时,当或时,由,解得：或;
当时,当时,由解得：.
由图像知,若函数在区间上的值域为，则区间长度的最大值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. (1)计算：
（2）已知，求的值.
【答案】（1）25；（2）
【解析】
【分析】（1）（2）利用指数性质、运算法则直接求解.
【详解】（1）原式
（2）由，得，则，，
所以.
16. 若关于的不等式的解集是.
（1）求的值；
（2）设集合B=x2m【答案】（1）−2
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，利用根与系数的关系，即可求得答案；
（2）由题意可得，由此列不等式求解，即得答案.
【小问1详解】
因为关于的不等式的解集是，
故的两根为，且，
故；
【小问2详解】
由题意集合，“”是“”的充分条件，
故，由于，故B不为空集，
则，解得.
17. 函数是定义在区间上的奇函数，且
（1）确定的解析式，并用定义证明在区间上的单调性;
（2）解关于的不等式
【答案】（1）；证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数在上有定义且为奇函数，则，求出的值，再由求出a的值，即可确定的解析式；直接利用定义法证明函数在上的单调性；
（2）由奇函数的性质知，由函数单调性得，求解即可.
【小问1详解】
根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则，解可得；
又由，则有，解可得，则，
又，符合题意，
故.
设，
则
，
又由，
则，，，，
则，即，
则函数在上为增函数；
【小问2详解】
由（1）知奇函数且在上为增函数.
则，
故，解可得：，
即不等式的解集为 .
18. 某机床厂今年年初用100万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用.已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和（单位：万元）与使用时间（，单位：年）之间满足函数关系式为：该机床每年的生产总收入为50万元.设使用年后数控机床的盈利额为万元.（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）.
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）？
（3）该机床使用过程中，已知年平均折旧率为（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）.现对该机床的处理方案有两种：
第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出；
第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出.
研究一下哪种处理方案较为合理?请说明理由.
（参考数据：，，，）
【答案】（1），
（2）第3年 （3）选第一方案较为合理，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用，得到与之间的函数关系式；
（2）令，解一元二次不等式即可；
（3）利用二次函数求最值，求出第一方案总获利，由，利用函数单调性求出第二方案总获利，再比较即可.
【小问1详解】
由题意，使用过程中所需要的各种支出费用总和与使用时间之间的函数关系式为，
且该机床每年的生产总收入为50万元，
设使用年后数控机床的盈利额为万元，
可得与之间的函数关系式，；
【小问2详解】
由（1）知：，，
令，可得，解得，
因，所以，
因为，所以且，故从第3年开始盈利.
【小问3详解】
由（1）知，，
因为，
所以当或时，营利额达到最大值为120万元，
使用10年后机床剩余价值为：（万元），
所以按第一方案处理，总获利为（万元）；
又由，
令，，
，则，
当时，，则，即，因此可得ℎx在上单调递增；
当时，，则，即，因此可得ℎx在上单调递减；
又，当时，年平均盈利为万元，当时，年平均盈利为万元，
又，
所以当第7年时，年平均盈利额达到最大值，此时机床剩余价值为：（万元），
所以按第二方案处理，总获利为（万元）.
由于，则选第一方案较为合理.
【点睛】方法点睛：解答函数应用题的一般步骤：
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
19. 定义：对于定义在区间I上的函数和正数，若存在正数M，使不等式对任意，恒成立，则称函数在区间I上满足阶李普希兹条件.
（1）判断函数，在R上是否满足1阶李普希兹条件;
（2）证明函数在区间上满足阶李普希兹条件，并求出M的取值范围;
（3）若函数在区间上满足阶李普希兹条件，求的范围.
【答案】（1）满足1阶李普希兹条件，不满足1阶李普希兹条件.
（2）证明见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）结合题意根据1阶李普希兹条件的含义即可求解；
（2）结合已知条件以及题干定义即可求解.
（3）分情况讨论的取值范围结合定义从而即可求解.
【小问1详解】
满足1阶李普希兹条件，不满足1阶李普希兹条件.
理由：对于，
，只需，
所以存在正数，对任意，使成立，
所以满足1阶李普希兹条件；
对于，
，不妨设，则M≥x12+x1x2+x22=x1+x22−x1x2>，
即不存在正数M，使不等式对任意，恒成立，
所以不满足1阶李普希兹条件.
【小问2详解】
证明：不妨设，，
，
故时，对，均有，
故函数在区间上满足阶李普希兹条件，；
【小问3详解】
①首先证明时不成立，假设函数在区间上满足阶李普希兹条件，
则有，令，则有，
即
取，则，则，矛盾，所以假设不成立.
②然后证明时成立，不妨设时显然成立)，
令，
，；
要证函数在区间上满足阶李普希兹条件，
只需证存在正数M使得不等式成立，
即证，又，
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，
故取，不等式即可成立.
综上，的取值范围为
【点睛】难点点睛：本题考查函数新定义问题，难度大.解答时要根据题目所给阶李普希兹条件的定义分析所给函数的结合不等式分析可解答.