深圳2024年八年级上册数学（北师大版） 重难点突破 一次函数中的最值问题

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专题14 坐标系中的最值问题题型一 两点之间距离最值问题1．如图，点的坐标为，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标为　，　．【解答】解：先过点作，垂足为点，由垂线段最短可知，当与点重合时最短，点在直线上运动，是等腰直角三角形，过作轴，垂足为，△为等腰直角三角形，点的坐标为，，坐标为，，即当线段最短时，点的坐标为，．故答案为：，．2．如图，在平面直角坐标系中，动点、分别在轴负半轴上和函数的图象上，，，，则的最大值为　　A． B． C． D．【解答】解：连接交轴于点，如图，在中，，则在中，，故，则，当且仅当点与点重合时，为最大值，，故选：． 题型二 线段和差的最小值3．如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上一动点．求：①的最小值及此时点的坐标；②的最大值及此时点的坐标．【解答】解：（1）点，点关于轴的对称点的坐标为，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，当时，．，；，，，即的最小值为；（2）解：由题意可知，当点到、两点距离之差的绝对值最大时，点在直线上．设直线的解析式为，，，，解得．，令，得，解得．点的坐标是．4．如图，在平面直角坐标系中，点是正比例函数图象上的一点，点的坐标为，点的坐标为，当取最小值时，点的坐标为　　．【解答】解：在中，，当点在线段上时，取得最小值，此时．点的坐标为，点的坐标为，直线的解析式为．当时，，当取最小值时，点的坐标为．故答案为：．5．如图，已知点的坐标为，点的坐标为，，点在直线上运动，当最大时点的坐标为　　A． B． C．， D．【解答】解：作关于直线对称点，易得的坐标为；连接，可得直线的方程为；求与直线的交点，可得交点坐标为；此时取得最大值，其他不共线的情况，根据三角形三边的关系可得；故选：．6．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为上一动点，当的值最小时，点的坐标为　　．【解答】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图．令中，则，点的坐标为；令中，则，解得：，点的坐标为．点、分别为线段、的中点，点，点．点和点关于轴对称，点的坐标为．设直线的解析式为，直线过点，，，解得：，直线的解析式为．令，则，解得：，点的坐标为．故答案为．7．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点是的中点，过点作于交一次函数图象于点，是上一动点，则的最小值为　　A．4 B． C． D．【解答】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时取得最小值，如图所示．当时，，解得：，点的坐标为．点是的中点，，点的坐标为．当时，，．点，关于轴对称，，，．故选：．8．如图所示，已知点，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，，分别是线段，上的动点，则的最小值是　　A．4 B．5 C． D．【解答】解：如图，点关于的对称点，过点作交于，则的最小值，直线的解析式为，直线的解析式为，由解得，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，的最小值是．故选：．9．在如图所示的平面直角坐标系中，点是直线上的动点，，是轴上的两点，则的最小值为　　．【解答】解：如图所示：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，此时最小，由题意可得出：，，，．故答案为：．10．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，点在轴的负半轴上，、两点到轴的距离均为2．（1）点的坐标为：　　，点的坐标为：　　；（2）点为线段上的一动点，当最小时，求点的坐标．【解答】解：（1）由题意点的纵坐标为2，时，，解得，，点在轴的负半轴上，点到轴的距离为2，，故答案为，； （2）当、、共线时，的值最小，设最小的解析式为，则有，解得，直线的解析式为，当时，，，．11．如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，以线段为边在第二象限内作等腰，．（可能用到的公式：若，，，，①中点坐标为，；②（1）求线段的长；（2）过、两点的直线对应的函数表达式．（3）点是中点，在直线上是否存在一点，使得有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．【解答】解：（1）对于一次函数，令，得到，令，得到，即，，，，则；（2）过作轴，可得，为等腰直角三角形，，且，，，在和中，，，，即，点的坐标为．设直线解析式为，把与代入得：，解得：，则直线解析式为；（3），作出关于直线的对称点，连接，交直线于点，此时最小，点为的中点，点的坐标为，，即，直线解析式为，，直线的，设直线的解析式为，将，代入，解得，直线解析式为，与直线解析式联立得：，解得：，即两直线交点坐标为．设，由中点坐标公式，得，，解得，，，则最小值为．12．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴和轴分别交于、两点．动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点作匀速运动，到达点即停止运动．其中、两点关于点对称，以线段为边向上作正方形．设运动时间为秒．如图①．（1）当秒时，的长度为　2　；（2）设、分别与直线交于点、，求证：；（3）在运动过程中，设正方形的对角线交于点，与交于点，如图②，求的最小值．【解答】解：（1）在中，令，得，，，，，故答案为：2； （2），，四边形是正方形，，，，，，，，； （3）作矩形，则，，点的运动轨迹是直线，直线，，点在直线上，，当，，三点共线时，的值最小，如图，作于，在等腰直角三角形中，，，，的最小值为：． 题型三 周长最小值问题13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是轴上一个动点，且点，，三点不在同一条直线上，当的周长最小时，点的坐标是　　A． B． C． D．【解答】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，如图所示．点的坐标为，点的坐标为．设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线的解析式为．当时，，点的坐标为．故选：．14．如图，直线与两坐标轴分别交于，两点，点是的中点，点，分别是直线，轴上的动点，则的周长的最小值是　　A． B． C． D．【解答】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接分别交、于点、，此时三角形的周长最小，直线与两坐标轴分别交于、两点，点是的中点，，，，，，，易得，是等腰直角三角形，，由轴对称的性质，可得，，的周长，此时周长最小，中，，周长的最小值是．故选：．15．如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于、两点，、分别是、上的动点，当的周长取最小值时，点的坐标为　　A． B． C．， D．，【解答】解：如图，点关于的对称点，点关于直线的对称点，直线的解析式为，直线的解析式为，由解得：，直线与直线的交点坐标为，是中点，可得．连接与交于点，与交于点，此时周长最小，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，解得，，，故选：．16．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点在坐标原点，顶点，分别在轴，轴的正半轴上，，，为边的中点，是边上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标为　　．【解答】解：，为边的中点，，，如图，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接．若在边上任取点与点不重合，连接、、由，可知的周长最小．在矩形中，，，为的中点，，，，，△△，，，点的坐标为，，故答案为：，． 题型四 胡不归问题17．如图，在平面直角坐标系中，点，直线交轴于点，交轴于点，点在直线上，且的横坐标为3，是线段上的点（不和端点重合），连接，一动点从点出发沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是　　时，点在整个运动过程中用时最少．【解答】解：如图，过点作轴，轴点．过点作，交延长线于点．动点从点出发沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止点在整个运动过程的用时，点在直线上，，解得，直线的解析式为：点的坐标为：，即点在整个运动过程所用的时间是线段与的长度之和，当、、三点共线时，取得最小值．点的横坐标与点的横坐标相等，点在直线上点的坐标为：点的坐标为故答案为：18．如图，点，，，，为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，要使点在整个运动过程中用时最少，求点的坐标．【解答】解：如图，作轴于，轴于，于．，，，，，，，，，在中，，，，，，，点在整个运动过程中的时间，根据垂线段最短可知，当，，共线，时，时间最小，此时，此时，．19．如图1在平面直角坐标系中，点的横坐标为4，直线经过点，与轴，轴，分别交于，两点，直线经过点，点两点．（1）求直线的表达式；（2）请从，两题中任选一题作答．．在图1中点为直线上一动点，连接，一动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，求点在运动过程中所用的最短时间．．如图2，点为线段上一动点，连接．一动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度运动到点后，再沿线段以每秒个单位长度的速度运动到终点，求点在整个运动过程中所用的最短时间．【解答】解：（1）由题意，，，，则有，解得，直线的解析式为；（2），点在上，点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，当最短时，即时，运动的时间最短，如图1，过作轴于，连接，，，，，，，在中，，，，，，，，，同理，，，的边顶上的高为，运动的时间为，点在运动过程中所用的最短时间为；、如图2，过点作轴的平行线，与过作轴的平行线交于点过作于，，，，，，，，，，，，在中，，由题意得，动点运动的路径为折线，运动时间为，要使点在整个运动过程中所用的最短时间，需满足折线的长度最短，过作于，则与直线的交点为满足条件的点，运动时间为，点在整个运动过程中所用的最短时间为．20．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点．直线与交于点且与轴，轴分别交于，．（1）求出点坐标，直线解析式；（2）如图2，点为线段上一点（不含端点），连接，一动点从出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点停止，求点在整个运动过程中所用最少时间时点的坐标；（3）如图3，平面直角坐标系中有一点，使得，求点坐标．【解答】解：（1）与轴，轴分别交于，两点，则点、的坐标分别为：、，将点的坐标代入并解得：，故直线； （2）直线，则点，直线，则直线的倾斜角为，过点作轴的平行线，过点作交于点，交直线于点，则点为所求，，直线，则点的横坐标为：，则点； （3）①点在的右侧时，过点作直线的平行线，直线于直线交于点，则点为所求，此时，理由：平行线间的距离相等，两个三角形属于同底等高，故面积相等．则直线的表达式为：，当时，，故点，，②点在的左侧时，同理可得：点，；故点的坐标为：，或，．21．如图1，在平面直角坐标系中将向下平移3个单位长度得到直线，直线与轴交于点；直线与轴、轴交于、两点，且与直线交于点．（1）填空：点的坐标为　　，点的坐标为　　；（2）直线的表达式为　　；（3）在直线上是否存在点，使？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，点为线段上一点（不含端点），连接，一动点从出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点后停止，求点在整个运动过程中所用时间最少时点的坐标．【解答】解：（1）直线，令，则，令，则，故答案为、；（2）向下平移3个单位长度得到直线，则直线的表达式为：，故：答案为：；（3），，将代入的表达式得：，解得：或，则点的坐标为或；（4）过点、分别作轴的平行线，分别交过点作轴平行线于点、，交于点，直线，则，，点在整个运动过程中所用时间，当、、在一条直线上时，最小，即为，点坐标，故：点在整个运动过程中所用最少时间为6秒，此时点的坐标．22．如图1，在平面直角坐标系中，点的横坐标为4，直线经过点，分别与、轴交于点、两点．直线经过点及点．（1）求出直线的解析式．（2）在直线上是否存在点，使与的面积相等，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．（3）如图2，点为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒2个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，求点在整个运动过程的最少用时．【解答】解：（1）由题意，，，，则有，解得，直线的解析式为． （2）存在．①当点在线段上时，如图1中，作交于．，，直线的解析式为，由，解得，．②当点在线段的延长线上时，由，解得，．综上所述，满足条件的点坐标为或． （3）如图2中，作，于，于交于．由题意点在整个运动过程的时间，，，，，，，根据此线段最短可知，点与共线时，的值最小，最小值，点在整个运动过程的最少用时为． 题型五 移花接木（逆等线最值）23．在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值 　　．【解答】解：如图作，使得．作交的延长线于．，，，，，，，的最小值为的长，在中，，，，，在中，．故答案为．24．如图，为等边的高，、分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时，　105　．【解答】解：如图1，作，且，连接，连接，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，当为与的交点时，如图2，的值最小，此时，，，故答案为：105．25．如图，已知直线分别交轴、轴于点、两点，，、分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为　　A． B． C． D．【解答】解：由题意，，，，取点，连接，，．，，，，，，，在和中，，，，，，的最小值为线段的长，当，，共线时，的值最小，直线的解析式为：，，当的值最小时，则点的坐标为，故选：．26．如图，已知直线分别交轴、轴于点、两点，，、分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且，当的值最小时，则点的坐标为，　4　．【解答】解：由题意，，，，取点，连接，，．，，，，，，，在和中，，，，，，的最小值为线段的长，当，，共线时，的值最小，直线的解析式为：，，当的值最小时，则点的坐标为，故答案为4． 题型六 其他最值问题27．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值1．若函数的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，则的取值范围是　　．【解答】解：，随的增大而减小，当时，，解得，而时，，，且，．故答案为．28．阅读材料：例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值．解：，如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．设点关于轴的对称点为’，则’，因此，求的最小值，只需求’ 的最小值，而点、间的直线段距离最短，所以’ 的最小值为线段’ 的长度．为此，构造直角三角形’ ，因为’ ，，所以’ ，即原式的最小值为．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点　　、点　　的距离之和．（填写点、的坐标）（2）代数式的最小值为　　．【解答】解：（1）原式化为的形式，代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点或的距离之和，故答案为，； （2）原式化为的形式，所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和，如图所示：设点关于轴的对称点为，则，的最小值，只需求的最小值，而点、间的直线段距离最短，的最小值为线段的长度，，，，，，故答案为：10．