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北京市东直门中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）
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这是一份北京市东直门中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），文件包含北京市东直门中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题Word版含解析docx、北京市东直门中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
2024.11
命题人：李伟峰 审稿人：盛晓艳
考试时间：120分钟 总分：150分
班级_________姓名__________学号__________
第一部分（选择题）
一､选择题：（本题有10道小题，每小题4分，共40分）
1. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A B. C. D.
2. 已知角的终边在第三象限，且，则（ ）
A. B. 1C. D.
3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 设等差数列的前n项和为，若，，则 （ ）
A. 60B. 80C. 90D. 100
5. 如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知为等比数列，，公比为，则“”是“对任意的正整数”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（ ）
A. 最大值为B. 最小值为C. 最小值为D. 最大值为
8. 已知定点和拋物线是抛物线的焦点，是抛物线上的点，则的最小值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
9. “三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长求三角形面积，即．现有面积为的满足，则的周长是（ ）
A. 9B. 12C. 18D. 36
10. 如图，已知BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E，点P是线段AD上的动点，直线交BC于点Q． 当取得最小值时，下列结论中一定成立的是（ ）
A. B.
C D.
第二部分（非选择题）
二､填空题：（本题有5道小题，每小题5分，共25分）
11. 函数的定义域为___________．
12. 已知平面向量，的夹角为120°，且，，则的值为______，的最小值为______．
13. 已知等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则数列的公比__________.
14. 在中，，.若，则______；若满足条件的三角形有两个，则的一个值可以是______.
15. 设an与bn是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若an与bn均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若an与bn均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若an为等差数列，bn为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若an为递增数列，bn为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论序号是______.
三､解答题：（本题有6小题，共85分）
16. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求的值；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，若对恒成立，求的取值范围．
条件①：；
条件②：最大值为；
条件③：在区间上单调递增．
注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．
17. 某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：
（1）根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望；
（2）若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率；
（3）生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，
方案一：产品不分类，售价均为21元/件.
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下：
从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由.
18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设点在上，且．判断直线否在平面内，说明理由．
19. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点.以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为.
（1）求栯圆的方程；
（2）设过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于不同的两点，与直线交于点.点在轴上，为坐标平面内的一点，四边形是菱形.求证：直线过定点.
20. 已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求a的值；
（3）若有两个不同的零点，且，求a的取值范围.
21. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
（1）判断数列是否为“速增数列”？说明理由；
（2）若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值；
（3）已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：.
等级
一等品
二等品
三等品
四等品
数量
40
30
10
20
等级
一等品
二等品
三等品
四等品
售价/（元/件）
24
22
18
16
2024.11
命题人：李伟峰 审稿人：盛晓艳
考试时间：120分钟 总分：150分
班级_________姓名__________学号__________
第一部分（选择题）
一､选择题：（本题有10道小题，每小题4分，共40分）
1. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A B. C. D.
2. 已知角的终边在第三象限，且，则（ ）
A. B. 1C. D.
3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 设等差数列的前n项和为，若，，则 （ ）
A. 60B. 80C. 90D. 100
5. 如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知为等比数列，，公比为，则“”是“对任意的正整数”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（ ）
A. 最大值为B. 最小值为C. 最小值为D. 最大值为
8. 已知定点和拋物线是抛物线的焦点，是抛物线上的点，则的最小值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
9. “三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长求三角形面积，即．现有面积为的满足，则的周长是（ ）
A. 9B. 12C. 18D. 36
10. 如图，已知BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E，点P是线段AD上的动点，直线交BC于点Q． 当取得最小值时，下列结论中一定成立的是（ ）
A. B.
C D.
第二部分（非选择题）
二､填空题：（本题有5道小题，每小题5分，共25分）
11. 函数的定义域为___________．
12. 已知平面向量，的夹角为120°，且，，则的值为______，的最小值为______．
13. 已知等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则数列的公比__________.
14. 在中，，.若，则______；若满足条件的三角形有两个，则的一个值可以是______.
15. 设an与bn是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若an与bn均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若an与bn均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若an为等差数列，bn为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若an为递增数列，bn为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论序号是______.
三､解答题：（本题有6小题，共85分）
16. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求的值；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，若对恒成立，求的取值范围．
条件①：；
条件②：最大值为；
条件③：在区间上单调递增．
注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．
17. 某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：
（1）根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望；
（2）若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率；
（3）生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，
方案一：产品不分类，售价均为21元/件.
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下：
从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由.
18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设点在上，且．判断直线否在平面内，说明理由．
19. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点.以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为.
（1）求栯圆的方程；
（2）设过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于不同的两点，与直线交于点.点在轴上，为坐标平面内的一点，四边形是菱形.求证：直线过定点.
20. 已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求a的值；
（3）若有两个不同的零点，且，求a的取值范围.
21. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
（1）判断数列是否为“速增数列”？说明理由；
（2）若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值；
（3）已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：.
等级
一等品
二等品
三等品
四等品
数量
40
30
10
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一等品
二等品
三等品
四等品
售价/（元/件）
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