广州天河汇景实验中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试题+答案

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数学学科
一、单项选择题（本题8小题，每小题3分，共24分）
1. 如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A. x≥3B. x≥0C. x＞3D. x≠3
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【详解】解：二次根式有意义
则的取值范围是：
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先把各个二次根式化简，再判断．
【详解】解：；
；
；
∴只有是最简二次根式，
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的意义是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法和乘除法法则分别判断．
【详解】解：A、，故错误，不合题意；
B、，故正确，符合题意；
C、，故错误，不合题意；
D、，故错误，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，涉及加减运算和乘除运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．
4. 下列各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 1，4，9C. 5, 12，13D. 5, 11, 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可，如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【详解】解：A、∵ ，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故该选项错误；
B、∵1+4< 9，∴不能组成三角形，故该选项错误；
C、∵，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故该选项正确；
D、∵ ，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故该选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断，熟记勾股定理逆定理是解题的关键．
5. 点（3,-1）到原点的距离为（ ）
A. B. 3C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用两点间的距离公式计算即可．
【详解】解：点（3，-1）到原点的距离=．
故选D．
【点睛】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=.
6. 在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A. AB＝BC，CD＝DAB. ABCD，AD＝BC
C. ABCD，∠A＝∠CD. ∠A＝∠B，∠C＝∠D
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可得出结论．
【详解】解：如图所示，根据平行四边形的判定
A、根据AB＝BC，CD＝DA不能推出四边形ABCD是平行四边形，故A项错误
B、根据ABCD，AD＝BC不能推出四边形ABCD是平行四边形，故B项错误
D、∵∠A=∠B，∠C=∠D 且∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，但不能推出其他条件，也不能推出四边形ABCD是平行四边形，故D项错误
C、∵AB//CD，∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A=∠C，∴∠C+∠D＝180°，∴AB//CD，
∴可以推出四边形ABCD是平行四边形，故C项正确
故选：C．
【点睛】平行四边形的定义和判定定理．
7. 菱形具有而矩形没有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分B. 对边相等C. 对角线相等D. 每条对角线平分一组对角
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形和矩形的性质进行判断即可．
【详解】解：A、对角线互相平分，菱形和矩形都具有的性质，不符合题意；
B、对边相等，菱形和矩形都具有的性质，不符合题意；
C、对角线相等，矩形具有的性质而菱形不具有，不符合题意；
D、每条对角线平分一组对角，菱形具有而矩形没有的性质，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形和矩形的性质，熟记相关图形的性质是解本题的关键．
8. 如图，在四边形中，，，，．则的度数为（ ）
A. 120B. 135C. 150D. 105
【答案】B
【解析】
【分析】根据，，可以得到的度数，再根据勾股定理，可以求得的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求得的度数．
【详解】解：连接，
，，
，，
，，
，
是直角三角形，，
，
即的度数是．
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、多项选择题（本题2小题，每小题5分，共10分，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9. 如图，在中，E、F、G、H分别是各边的中点，在下列四个图形中，阴影部分的面积相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据平行四边形的面积计算方法分别求得各选项的面积，找到不同的答案即可．
【详解】解：由题意可得，
A图中，和将原平行四边形分成四个全等的平行四边形，
则，
则阴影部分的面积为；
B图中，阴影部分的面积为；
C图中，同理可得： ，
故阴影部分的面积；
D图中，阴影部分的面积为；
则A、B、D三选项中的阴影部分的面积均为平行四边形面积的一半，
只有C选项中阴影部分的面积与其他选项不等，
故选：ABD．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的面积公式求得阴影部分的面积，难度一般．
10. 如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】ABD
【解析】
【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件用可证明两三角形全等；②利用①中的全等，可得，再结合三角形外角性质可证；③过点作的延长线于点，利用勾股定理可求，利用为等腰直角三角形，可证为等腰直角三角形，再利用勾股定理可求，；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积．
【详解】解：①，
．
，
在正方形中，，，
．
在和中，
，
，故①正确；
②，
，
又，，
．
即，故②正确；
③过点作的延长线于点，如图，
，，
．
又，
．
，
．
，
，
即点到直线的距离为，故③错误；
④，，
在中，，
，故④正确．
综上所述，正确结论的序号为①②④，
故选：ABD．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，综合性比较强，得出，进而结合全等三角形的性质分析是解题关键．
三、填空题（本题6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算的结果是__________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据二次根式的性质解答．
【详解】解：根据二次根式性质，可得．
故答案为：5
【点睛】此题考查了二次根式的性质，关键要学会二次根式的性质：|a|的运用．
12. 已知在中，，，，则边上的中线______．
【答案】
【解析】
【分析】画出图形，利用勾股定理即可得到结论．
【详解】解：是边上中线，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理的知识，属于基础题，掌握勾股定理的内容是解答本题的关键．
13. 菱形的周长为，较短一条对角线的长是，则这个菱形的另一条对角线长为______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据菱形的性质，先求菱形的边长，利用勾股定理求另一条对角线的长度．
【详解】解：如图，菱形中，，
，
菱形的周长为20，，
，，
，
．
则这个菱形另一条对角线长为．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了菱形对角线互相垂直平分、菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求的值是解题的关键．
14. 已知平行四边形ABCD周长是18，若△ABC的周长是14，则对角线AC的长是______．
【答案】5
【解析】
【详解】∵平行四边形ABCD的周长是18，
∴AB+BC=18÷2=9，
∵△ABC的周长是14，
∴AC=14-（AB+AC）=5，
故答案为5．
15. 观察下列式子：；；；…，根据此规律，若，则的值为______．
【答案】181
【解析】
【分析】由，，，可得，还发现每个式子的两个因数是连续的整数，可得：，利用完全平方公式变形，代入计算即可得解．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：181．
【点睛】此题考查了数字类的变化规律题，还考查了完全平方公式，认真观察已知条件，总结规律是解题的关键．
16. 如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是__．
【答案】15度或165度
【解析】
【分析】分两种情况，①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，证明△ABE≌△ADF，得到∠BAE=∠FAD，即可求出∠BAE的大小；②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时，证明△ABE≌△ADF，得到∠BAE=∠FAD，即可求出∠BAE．
【详解】①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，
∵正方形ABCD与正△AEF的顶点A重合，
∴AB＝AD，BE＝DF，AE＝AF，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠FAD，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠FAD=30°，
∴∠BAE=∠FAD=15°，
②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时，
∵正方形ABCD与正△AEF的顶点A重合，
∴AB=AD，BE=DF，AE=AF，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠FAD，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE=（360°−90°−60°）×+60°=165°，
∴∠BAE=∠FAD=165°，
故答案为15°或165°．
【点睛】此题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
四、解答题（8小题，共62分，要求写出证明过程或计算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先算乘方和开方，计算零指数幂，化简绝对值，再算加减法；
（2）先化简二次根式，计算除法，再合并计算．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握各自的运算法则和运算顺序．
18. 已知：，，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】先根据、的值计算出、的值，再代入原式计算可得．
【详解】解：，，
，
，
则原式
．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．
19. 直角中，，D、E、F分别为、、的中点，已知，求的长．
【答案】7
【解析】
【分析】由三角形中位线定理得到，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】∵D、F分别为、的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵点E是直角斜边的中点，
∴．
【点睛】本题考查了三角形中位线，以及直角三角形斜边上中线的性质，熟记性质是解题的关键．
20. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，、分别是、的中点，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得出，，利用中点的意义得出，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定是平行四边形，从而得出．
详解】解：证明：连接、，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
、分别是、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
．
【点睛】本题考查了平行四边形，解题的关键是熟练掌握平行四边形的基本性质和判定定理的运用．
21. 如图，正方形网格中，每个小方格的边长为1，请完成：
（1）从A点出发画线段、，以及线段使，，，且使B、C两点也格点上；
（2）请求出图中你所画的的面积．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）找出满足题意得B与C的位置，连接，，即可；
（2）用割补法求解即可．
【小问1详解】
如图，
，，
【小问2详解】
【点睛】此题考查了勾股定理，网格中求三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
22. 在中，，，边上的高，求另一边的长．
【答案】10或6
【解析】
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，．
【详解】解：如图，锐角中，，，边上高，
在中，，，
由勾股定理得：，
则，
在中，，，
由勾股定理得：，
则，
故的长为；
（2）钝角中，，，边上高，
在中，，
由勾股定理得：，
则，
在中，，
由勾股定理得：，
则，
故的长为．
综上可得的长为10或6．
【点睛】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答，注意分类讨论，不要漏解，难度一般．
23. 如图1，在平行四边形中，平分交于点，于点，交于点，且，连接．
（1）若，，求的长度；
（2）如图2，若平分交于点，于点，求证：．
【答案】（1）4 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由平行四边形性质和勾股定理即可求得结论；
（2）由平行四边形性质可得，再由可得，再根据角平分线定义可得，由等腰三角形性质可得，由此可得和均为等腰直角三角形，即可证明结论．
【小问1详解】
解：如图1，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：如图2，延长交于，
，平分，
，，
，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
和均为等腰直角三角形，
，，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形判定和性质，勾股定理，角平分线定义等，熟练掌握平行四边形性质和等腰直角三角形性质是解题关键．
24. 如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以每秒3个单位长度的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B－C的方向以每秒2个单位长度的速度运动.
（1）若动点M、N同时出发，经过几秒第一次相遇？
（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．在△ABC的边上是否存在一点D，使得以点A、M、N、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时运动的时间及点D的具体位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）经过t=s第一次相遇. （2）运动了或s时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，此时点D在BC上，且BD=或．
【解析】
【分析】（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程+点N运动的路程=AB+CA列方程求解即可；
（2）首先根据题意画出图形：如图②，当0≤t≤时，AN+CN=MB+CN=8；当＜t≤4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；当4＜t≤时，AN+NB=AN+AM=8；当＜t≤8时，△BNM为等边三角形，由BN=BM可求得t的值，可得此时M、N重合，不能构成平行四边形．．
【详解】（1）由题意得：3t+2t=16，解得：t=；
答：若动点M、N同时出发，经过t=s第一次相遇.
（2）①当0≤t≤时，点M、N、D的位置如图2所示：
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DM=AN，DM∥AN．
∴∠MDB=∠C=60°
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∴∠MDB =∠B．
∴MB=MD= AN
∴AN+CN=MB+CN=8，即：3t+2t=8，t=，
此时点D在BC上，且BD=（或CD=），
②当＜t≤4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；
③4＜t≤时，点M、N、D的位置如图所1示：
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DN=AM，AM∥DN．
∴∠NDB=∠C=60°
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C =60°．
∴∠NDB=∠B．
∴BN=ND= AM．
∴AN+NB=AN+AM=8，2t-8+3t-8=8，解得：t=，
此时点D在BC上，且BD=（或CD=），
④当＜t≤8时，点M、N、D的位置如图所3示：
则BN=16-2t，BM=24-3t，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠C=60°．
若MN∥AC,则∠BNM=∠A=60°, ∠BMN=∠C=60°
∴△BNM为等边三角形，
∴BN=BM，即：16-2t =24-3t，解得t=8，此时M、N重合，不能构成平行四边形．
答：运动了或s时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，此时点D在BC上，且BD=或．
【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的性质，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键．