2022-2023学年广东省广州市天河区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省广州市天河区八年级（下）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省广州市天河区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 二次根 x+3在实数范围内有意义，则x的取值范围是(    )
A. x≤−3 B. x≥−3 C. x>−3 D. x<−3
2. 下列二次根式是最简二次根式的是(    )
A. 13 B. 8 C. 14 D. 0.2
3. 一组数据2，4，5，3，2的中位数是(    )
A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 5
4. 在函数y=2x−3中，当自变量x=5时，函数值等于(    )
A. 1 B. 4 C. 7 D. 13
5. 在平行四边形ABCD，若∠A+∠C=100°，则∠A度数为(    )
A. 30° B. 50° C. 80° D. 100°
6. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AC=14，则OB的长为(    )
A. 7
B. 6
C. 5
D. 2
7. 函数y=kx(k≠0)图象经过第二、四象限，则函数y=x−k图象大致是(    )
A. B.
C. D.
8. 如图，点B在正方形ADEC的内部，连接AB，AC，若∠CBA=90°，AB=1，BC=2，则正方形ADEC的面积是(    )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是(    )
A. 三角形三条边的比为2：3：4
B. 三角形三条边满足关系式AB2=BC2−AC2
C. 三角形三条边的比为1：1： 2
D. 三角形三个内角满足关系式∠B+∠C=∠A
10. 如图，正方形ABCD的顶点A，B别在x轴、y轴上，A(−4,0)，G(0,4)，若BC的中点E恰好落在x轴上，此时DG恰好也垂直于y轴，CD交y轴于点F，连接DO.判断：①BF=AE；②△ADO是等边三角形；③∠AEB+∠CDG=90°；④AB=5.其中正确的有(    )
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
三、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算 8× 2的结果是______．
12. 函数y=kx的图象经过点(3,−6)，则k= ______ ．
13. 菱形的一边长为2cm，则这个菱形的周长为______ ．
14. 在学校的歌咏比赛中，10名选手的成绩如统计图所示，则这10名选手成绩的众数是          ．




15. 如果平行四边形ABCD边AB=6，且AB的长是平行四边形ABCD周长的310，则边BC的长为______ ．
16. 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，则△ABC中AB边的“中偏度值”为______ ．


四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
(1) 8+ 32；
(2)( 5+2)( 5−2)．
18. (本小题6.0分)
如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是AC的中点，若∠C=25°，求∠AOB的度数．

19. (本小题8.0分)
八年级的同学们即将步入初三，某校的一个主题班会小组为了解八年级900名同学对初三学习的第一印象，用问卷开展随机调查，共有50名同学参加了抽样调查(每人只能选一项)，小组将所得数据统计如图所示，请你帮忙解决问题：
(1)将统计图补充完整；并估计八年级全体同学对初三学习第一印象是“忧喜交加”的人数；
(2)结合统计数据，写一条发现的结论，并给出适当的建议．

20. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AC平分∠BAD.求证：四边形ABCD是菱形．

21. (本小题9.0分)
已知y是x的一次函数，部分对应值如表所示．
x
0
2
n
y
3
−1
m
(1)求该一次函数的表达式；
(2)求n+12m的值．
22. (本小题9.0分)
甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折．
(1)以x(单位：元)表示商品原价，y(单位：元)表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；
(2)春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
23. (本小题10.0分)
如图，已知直线l：y=kx−4(k>0)与x相交于点A，与y轴相交于点B，直线y=−1kx与直线l互相垂直于点C．
(1)当k=1时，求点C的坐标；
(2)当OA=3OC时，求直线l的解析式；
(3)以点O，C，A为顶点构造四边形OCAD，当四边形OCAD为正方形时，画出草图并直接写出k的值．

24. (本小题12.0分)
如图，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，点P为AD边上任意一点(不包括端点)，连结AC，过点P作PQ//AC边CD点Q，点R线段AC上的一点．

(1)若点R为菱形ABCD对角线的交点，PQ为△ACD的中位线，求PR+OR的值；
(2)当PR+QR的值最小时，请确定点R的位置，并求出PR+QR的最小值；
(3)当PR+QR的值最小，且PR+QR+PQ的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出PR+QR+PQ的最小值．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：若二次根式 x+3在实数范围内有意义，
则x+3≥0，
解得：x≥−3．
故选：B．
根据二次根式的概念，形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．

2.【答案】C 
【解析】解：A、 13的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 8的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 14是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、 0.2的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数．

3.【答案】B 
【解析】解：从小到大排列此数据为：2、2、3、4、5，中位数是第三个数3，
故选：B．
先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数．
本题考查了确定一组数据的中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

4.【答案】C 
【解析】解：将x=5代入y=2x−3中，
y=2×5−3=7，
故选：C．
将x=5代入y=2x−3中，计算即可．
此题主要考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟记一次函数图象上的坐标特征，一次函数图象的性质是解题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=100°，
∴∠A=50°．
故选：B．
由▱ABCD中，∠A+∠C=100°，根据平行四边形的性质，可知∠A与∠C对角相等，进而可求得∠A的度数．
此题考查了平行四边形的性质．关键是根据平行四边形的对角相等性质解题．

6.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，
∴OA=OC=OB=OD=12AC，
∵AC=14，
∴OB=7，
故选：A．
利用矩形的性质即可得出结论．
本题考查矩形的性质，关键是对矩形性质的掌握和运用．

7.【答案】D 
【解析】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的图象在第二、四象限，
∴k<0．
∵1>0，−k>0，
∴一次函数y=x−k的图象经过第一、二、三象限．
故选：D．
由正比例函数图象在第二、四象限可得出k<0，由1>0，−k>0，利用一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数y=x−k的图象经过的象限，此题得解．
本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：在△ABC中，∠B=90°，
由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=12+22=5，
∵四边形ADEC是正方形，
∴S正方形ADEC=AC2=5，
故选：C．
在△ABC中，通过勾股定理得AC2=5，从而解决问题．
本题主要考查了勾股定理，熟记勾股定理内容：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键．

9.【答案】BCD 
【解析】解：A、∵三角形三条边的比为2：3：4，
∴设三角形三条边分别为2k，3k，4k，
∵(2k)2+(3k)2=13k2，(4k)2=16k2，
∴(2k)2+(3k)2≠(4k)2，
∴△ABC不是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵三角形三条边满足关系式AB2=BC2−AC2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
故B符合题意；
C、∵三角形三条边的比为1：1： 2，
∴设三角形三条边分别为k，k， 2k，
∵k2+k2=2k2，( 2k)2=2k2，
∴k2+k2=( 2k)2，
∴△ABC是直角三角形，
故C符合题意；
D、∵∠B+∠C=∠A，∠B+∠C+∠A=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故D符合题意；
故选：BCD．
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．

10.【答案】AC 
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠CBF+∠ABO=90°，
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOB=90°，
∴∠BAE+∠ABO=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
∠BAE=∠CBFAB=BC∠ABE=∠C，
∴△ABE≌△BCF(ASA)，
∴BF=AE，
故①正确；
∵△ABE≌△BCF，
∴∠AEB=∠BFC，
∵∠BFC=∠DFG，
∴∠AEB=∠DFG，
∵DG⊥y轴，
∴∠DGF=90°，
∴∠CDG+∠DFG=90°，
∴∠AEB+∠CDG=90°，
故③正确；
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
设BE=CE=a，
则BC=AB=2a，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE= AB2+BE2= (2a)2+a2= 5a，
∵AB⊥BE，OB⊥AE，
∴S△ABE=12AB⋅BE=12AE⋅OB，
∴12⋅2a⋅a=12⋅ 5a⋅OB，
解得OB=2 55a，
∵A(−4,0)，
∴OA=4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得AO2+OB2=AB2，
∴42+(2 55a)2=(2a)2，
解得a= 5，
∴AB=2a=2 5，
故④错误；
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AB=2 5，
∵OA=4，
∴AD≠OA，
∴△ADO不是等边三角形，
故②错误；
综上，正确的有①③，
故选：AC．
根据正方形的性质，利用ASA可证得△ABE和△BCF全等，从而①正确；由三角形全等的性质得出∠AEB=∠BFC，再根据对顶角相等得出∠BFC=∠DFG，再证∠CDG+∠DFG=90°，问题即可得证，从而③正确；设BE=CE=a，则BC=AB=2a，根据勾股定理求出AE，再根据直角三角形的面积求出OB，最后在Rt△AOB中利用勾股定理求出a的值，从而求出AB的长，故④错误；再比较AD与OA的长，即可知△ADO不是等边三角形，从而②错误．
本题考查了图形与坐标，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握这些性质是解题的关键．

11.【答案】4 
【解析】解： 8× 2= 8×2= 16=4．
故答案为：4．
根据二次根式的乘法运算进行计算即可得解，
本题主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则 a⋅ b= ab．

12.【答案】−2 
【解析】解：∵函数y=kx的图象经过点(3,−6)，
∴−6=3k，解得k=−2．
故答案为：−2．
直接把点(3,−6)代入函数y=kx，求出k的值即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

13.【答案】8 
【解析】解：∵菱形的一边长为2cm，
∴这个菱形的周长为2×4=8(cm)，
故答案为：8．
根据菱形的周长公式即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的周长公式是解题的关键．

14.【答案】90 
【解析】
【分析】
此题考查了众数有关知识，根据众数的定义和给出的数据可直接得出答案．
【解答】
解：根据折线统计图可得：
90分的人数有5个，人数最多，则众数是90；
故答案为90．  
15.【答案】4 
【解析】解：∵AB=6，AB的长是平行四边形ABCD周长的310，
∴平行四边形ABCD周长=6÷310=20，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，AD=BC，
∴BC+CD=12×20=10，
∴BC=10−CD=4，
故答案为：4．
根据已知可得平行四边形ABCD周长=32，然后利用平行四边形的性质可得AB=CD=6，AD=BC，从而可得BC+CD=16，进行计算即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

16.【答案】247 
【解析】解：作CD⊥AB于点D，CE为△ACB的中线，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= AC2+BC2= 42+32=5，
∵AC⋅BC2=AB⋅CD2，
∴4×32=5⋅CD2，
解得CD=125，
∴BD= BC2−CD2= 32−(125)2=95，
∵CE为Rt△ACB斜边AB上的中线，AB=5，
∴BE=52，
∴ED=BE−BD=52−95=710，
即点E到CD的距离为710，
∴△ABC中AB边的“中偏度值”为：125710=247，
故答案为：247．
根据题意和题目中的数据，可以计算出△ABC中AB边上的高和该边上的中点到CD的距离，再求它们的比值即可．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出AB边上的高和该边上的中点到高的距离．

17.【答案】解：(1)原式=2 2+4 2
=6 2；
(2)原式=( 5)2−4
=5−4
=1． 
【解析】(1)直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
(2)直接利用平方差公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

18.【答案】解：∵∠ABC=90°，O是AC的中点，
∴OB=12AC，OA=OC，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠C=25°，
∴∠AOB=∠C+∠OBC=50°． 
【解析】由直角三角形斜边中线的性质得到OB=OC，推出∠OBC=∠C=25°，由三角形外角的性质得到∠AOB=∠C+∠OBC=50°．
本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质得到OB=OC．

19.【答案】解：(1)“小有压力”的人数为50−8−18−8−3=13(人)，
补全统计图如下：

1850×900=324(人)，
答：估计八年级全体同学对初三学习第一印象是“忧喜交加”的人数约为324人；
(2)根据统计数据发现：八年级全体同学对初三学习第一印象是“满怀期待”的人数所占百分比为16%，不到16，需要对同学们积极引导，消除负面情绪，减轻压力，让更多的同学对初三学习满怀期待(答案不唯一)． 
【解析】(1)用50分别减去其它组人数即可得出“小有压力”的人数，进而补全统计图；利用样本估计总体的方法，即可求得八年级全体同学对初三学习第一印象是“忧喜交加”的人数；
(2)根据调查的统计图即可得出结论．
本题考查形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

20.【答案】证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠ACD=∠DAC，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形． 
【解析】先证四边形ABCD是平行四边形，再证得AD=AB，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握菱形的判定是解题的关键．

21.【答案】解：(1)设这个一次函数解析式为y=kx+b，
把(0,3)，(2,−1)分别代入得b=32k+b=−1，
解得k=−2b=3，
所以这个一次函数解析式为y=−2x+3；
(2)把(n,m)代入y=−2x+3得m=−2n+3，
∴m+2n=3，
∴n+12m=32． 
【解析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式；
(2))把(n,m)代入(1)中的解析式可得到n+12m的值．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．

22.【答案】解：(1)甲商场：y=0.8x(x≥0)，
乙商场：y=x(0≤x≤200)，
y=0.7(x−200)+200=0.7x+60，
即y=0.7x+60(x>200)；
答：甲商场：y=0.8x(x≥0)，乙商场：y=x(0≤x≤200)0.7x+60(x>200)；
(2)0.8x=0.7x+60，解得x=600，
∴当购物金额按原价等于600元时，在两商场购物花钱一样多；
0.8x<0.7x+60，解得x<600，
∴当购物金额按原价小于600元时，在甲商场购物省钱；
0.8x>0.7x+60，解得x>600，
∴当购物金额按原价大于600元时，在乙商场购物省钱． 
【解析】(1)根据两家商场的让利方式分别列式整理即可；
(2)将(1)中两个函数分段讨论比较大小即可．
本题是一次函数的实际应用问题，考查了一次函数以及一元一次方程、不等式的相关性质，解答时注意根据题意分类讨论．

23.【答案】解：(1)当k=1时，则直线l的解析式为y=x−4，直线y=−1kx的解析式为y=−x，
联立解析式，解得x=2y=−2，
∴C(2,−2)；
(2)在y=kx−4中，当y=x−4=0时，x=4k，当x=0时，y=−4，
∴A(4k,0)，B(0,−4)，
∴OA=4k，OB=4，
∴AB= 16+16k2，
∵OA=3OC，
∴OC=13OA=43k，
直线y=−1kx与直线y=kx−4垂直，即OC⊥AB，
∴S△AOB=12OB⋅OA=12AB⋅OC，
即4k⋅4=43k⋅ 16+16k2，
∴1+1k2=9，解得k= 24或− 24(舍去)，
直线的解析式为y= 24x−4；
(3)∵四边形OCAD是正方形，
∴∠OAC=45°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OA=OB=4，
由(2)可得OA=4k，
∴4k=4，
∴k=1．
 
【解析】(1)联立两直线解析式求出x、y的值即可得到答案；
(2)求出A(4k,0)，B(0,−4)，得到OA=4k，OB=4，则由勾股定理得到AB= 16+16k2，由OA=3OC，得到OC=43k，再由等面积法得到4k⋅4=43k⋅ 16+16k2，解得k= 24.则直线l的解析式为y= 24x−4；
(3)根据正方形的性质得到∠OAC=45°，则△AOB是等腰直角三角形，则4k=4，即可得到k=1．
本题主要考查了求两直线的交点坐标，一次函数与几何综合，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．

24.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=4，
∴∠ABC=∠D=60°，AB=BC=CD=AD=4，
则△ABC，△ACD均为等边三角形，
∴AD=AC=CD=4，
∵点R为菱形ABCD对角线的交点，
∴点R为AC的中点，

连接PR，QR，
∵PQ为△ACD的中位线，
∴PR，QR也为△ACD的中位线，
则PR=12CD=2，QR=12AD=2，
∴PR+QR=4；
(2)由(1)可知△ABC，△ACD均为等边三角形，
则∠BAC=∠ACD=∠CAD=60°，AB=BC=CD=AD=AC=4，
∵PQ//AC，
∴∠DPQ=∠CAD=60°，
∴△PDQ为等边三角形，
∴PD=QD，
∴AP=CQ，
由菱形性质可知，AB与AD关于AC对称，在AB上，取点P的对应点P′，连接P′R，则P′R=PR，AP=AP′，连接P′Q，交AC于点O，过点O作垂直于AB的直线交AB于P0，交CD于Q0，

∵AP=CQ，
∴AP=AP′=CO，
又∵∠AOP′=∠COQ，
∴△AOP′≌△COQ(AAS)，
∴OA=OC=12AC=2，
∴点O为AC中点，
∵∠BAC=∠ACD=60°，∠AP0O=∠CQ0O=90°，
∴∠AOP0=∠COQ0=30°，
∴AP0=12OA=1,CQ0=12OC=1，
由勾股定理得，OP0= 3，OQ0= 3，
∴P0Q0=2 3，
∵P′R=PR，
∴PR+QR=P′R+RQ≤P′Q≤P0Q0=2 3，
当P，R，Q三点在同一直线上，且P′与P0重合时取等号，
即当点R与点O重合(点R为AC中点)，P′与P0重合时取等号，
综上，当点R为AC中点，点P关于AC对称的点P′与点R坐在直线垂直于AB时，PR+QR有最小值2 3．
(3)同(2)，AB与AD关于AC对称，在AB上，取点P对应点P′，连接P′R，则P′R=PR，连接P′Q交AC于点O，由(2)可得点O为AC中点，
作AD关于CD对称的线段A′D，取点P的对应点P″，连接QP″，则QP=QP″，
∵△PDQ为等边三角形，
∴∠PQD=60°，
由对称可知：∠P″OD=∠POD=60°，

则PR+QR+PQ=P′R+QR+QP″≥PP″，当P′，R，Q，P″在同一条直线上时取等号，此时点R为AC中点，

∵∠P″QD=∠PQD=60°=∠ADC，则QP″//AD，
∴P′P″过点O(点R)，且P′P″//AD，
可知△CRQ，△ARP为等边三角形，
∴CQ=RC=QR=2，QD=PD=PQ=2，AP=AR=PR=2，
即P，R，Q分别为AD，AC，CD的中点，
∴此时PR+QR+PQ=6，
作图，如下：

作法：取AD的中点为P，作PQ//AC交CD于Q；
综上，PR+QR+PQ的最小值为6． 
【解析】(1)由菱形的性质可得△ABC，△ACD均为等边三角形，点R为AC的中点，连接PR，QR，利用三角形中位线定理即可求解．
(2)由题可知△ABC，△ACD，△PDQ为等边三角形，由菱形性质可知，AB与AD关于AC对称，在AB上，取点P的对应点P′，连接P′R，则P′R=PR，AP=AP′，连接P′Q，交AC于点O，过点O垂直于AB的直线交AB于P0，交CD于Q0，可得△AOP′≌△COQ(AAS)，可得OA=OC=12AC=2，则点O为AC中点，利用含30°的直角三角形可得OP0= 3，OQ0= 3，由三角形三边关系及垂线段最短可知PR+QR=P′R+QR≤P′Q≤P0Q0=2 3，当P，R，Q三点在同一直线上，且P′与P0重合时取等号，即当点R为AC中点，点P关于AC对称的点P′与点R坐在直线垂直于AB时，PR+QR有最小值2 3．
(3)同(2)，AB与AD关于AC对称，在AB上，取点P的对应点P′，连接P′R，则P′R=PR，连接P′Q，交AC于点O，由(2)可得点O为AC中点，作AD关于CD对称的线段A′D，取点P的对应点P″，连接QP″，则QP=QP″，由对称可知：∠P″OD=∠PQD=60°，则PR+QR+PQ=PR+QR+QP″，当P，R，Q，P′在同一条直线上时取等号，此时点R为AC中点，可知△CRQ，△ARP为等边三角形，进而即可求解．
本题考查了四边形的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含30°的直角三角形，轴对称等知识，利用轴对称构造辅助线，将线段和问题转化为三角形三边关系，两点之间距离问题等是解决问题的关键．