湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则复数的共轭复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“直线与圆相切”的 （ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4 已知向量，满足，，，则（ ）
A. 2B. C. 4D. 16
5. 已知，都是锐角，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（ ）
①，且；
②若第七局甲获胜概率不小于0.9，则不小于1992.
A. ①②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题D. ①②都是假命题
7. 已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时在区间上的零点个数为（ ）
A. 466B. 467C. 932D. 933
二、多选题（每题5分，共20分）
9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A. 不共线，且，则.
B. 若向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是
C. 已知，则在上的投影的坐标为
D. 已知点为的垂心，则
10. 如图，在三棱锥中，两两垂直，为上一点，，分别在直线上，，则：（ ）.
A.
B.
C. 若平面且到距离相等，则直线与的夹角正弦值为
D. 的最小值为
11. 如图，函数的部分图象，则（ ）

A.
B. 将图象向右平移后得到函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
12. 如图，圆锥的底面直径和母线长均为6，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（ ）

A. 当时，直线与所成角的余弦值为
B. 当时，四面体的体积为
C. 当且面时，
D. 当时，
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是______.
14. 已知，且，则_____________.
15. 一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是______.
16. 已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为_____.
四、解答题（共70分）
17. 已知数列，其前项和为，对任意正整数恒成立，且.
（1）证明：数列为等比数列，并求实数的值；
（2）若，数列前项和为，求证：；
（3）当时，设集合，.集合中元素的个数记为，求数列的通项公式.
18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形且垂直于底面.

（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
19. 已知，数列前项和为，且满足；数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在实数，使得数列是等差数列？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由；
（3）求使得不等式成立的的最大值．
20. 已知函数．
（1）当时，判断在上的单调性，并说明理由；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）设，在的图象上有一点列，直线的斜率为，求证：．
21. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.
（1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数；
（2）现从样本口罩中利用分层抽样方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为
，求的分布列及方差；
（3）在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值.
22. 已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．
（1）求椭圆的标准方程：
（2）设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点．
（i）若点，点在椭圆上且位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，若，求点的坐标：
（ii）若直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜率）．