2023-2024学年北京十五中九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京十五中九年级（上）期中数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1B．y＝（x﹣2）2﹣1
C．y＝（x+2）2+1D．y＝（x+2）2﹣1
3．（2分）把一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x﹣4）2＝5D．（x﹣4）2＝3
4．（2分）在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
5．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠DAB＝40°，则∠DCB的度数为（ ）
A．80°B．100°C．140°D．160°
6．（2分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．0
7．（2分）某厂家2023年1～5月份的某种产品产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461
C．368（1﹣x）2＝442D．368（1+x）2＝442
8．（2分）运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y（单位：m）与足球被踢出后经过的时间x（单位：s）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时的时刻x是（ ）
A．4B．4.5C．5D．6
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）点（1，2）关于原点的对称点坐标是 ．
10．（2分）如图，A、B、C为⊙O上三点，若∠AOB＝140°，则∠ACB度数为 °．
11．（2分）如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么abc 0（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
12．（2分）一般地，如果一个图形绕着某点O旋转角α后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O有角α的旋转对称．如图是具有旋转对称的一个图形，则它旋转的角α可能是 °．
13．（2分）直角三角形的两条直角边分别为12cm和5cm，则其外接圆的半径为 ．
14．（2分）如图，舞台地面上有一段以点O为圆心的，某同学要站在的中点C的位置上．于是他想：只要从点O出发，沿着与弦AB垂直的方向走到上，就能找到的中点C，老师肯定了他的想法．这位同学确定点C所用方法的依据是 ．
15．（2分）如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△CDE，当点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则∠BED的度数是 ．
16．（2分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC．将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），直线CB与直线DE交于点F，点B，F间的距离记为BF，点E，F间的距离记为EF．给出下面四个结论：①BF的值一直变大；②EF的值先变小再变大；③当0°＜α＜90°时，BF﹣EF的值保持不变；④当90°＜α＜180°，BF﹣EF的值保持不变；上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共68分，第17-22题每题5分.第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）
17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
18．（5分）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
（1）你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“×”：小敏 ，小霞 ；
（2）写出你的解答过程．
19．（5分）下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，△ABC．
求作：直线BD，使得BD∥AC．
作法：如图2，
①分别作线段AC，BC的垂直平分线l1，l2，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交于点D；
④作直线BD．
所以直线BD就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在⊙O上，AD＝BC，
∴＝ ．
∴∠DBA＝∠CAB（ ）（填推理的依据）．
∴BD∥AC．
20．（5分）关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根．
21．（5分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点和O点都在格点上．
（1）在图1中画出△ABC关于点O中心对称的△DEF；
（2）在图2中画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△PMN．若以点O为原点，OB所在直线为x轴建立坐标系，△ABC内任意一点T的坐标为（x，y），点T旋转后对应点为点Q，直接写出点Q的坐标 ．
22．（5分）如图，⊙O是三角形ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）若BC长为8，DE＝2，求⊙O的半径长．
23．（6分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣4＜x＜﹣2时，直接写出y的取值范围．
24．（6分）如图，为便于各班展示富有特色的班徽和介绍，我校在教室门口墙面上为各班设置了宽20cm，长30cm的宣传栏（如图1矩形ABCD），并提供了班徽介绍的内衬模板（如图2，宣传栏和内衬之间留有的间隙可忽略不计），其中展示区（即矩形EFGH）到四边的距离均相等，设为x cm．
（1）当x为何值时，展示区的面积为375cm2．
（2）若宣传栏右下角有一个边长为5cm的正方形校徽，则校徽是否会遮挡展示区？如果要不遮挡展示区，求当x为何值时，展示区的面积最大．
25．（6分）阅读材料并运用已学的知识解决问题：
材料1：我国的石拱桥有悠久的历史．《水经注》里提到的“旅人桥”，大约建成于公元282年，可能是有记载的最早的石拱桥，我国的石拱桥几乎到处都有，这些桥大小不一，形式多样，有许多惊人的杰作，河北赵县赵州桥“长虹卧波”，桥拱呈圆弧形，永定河上的卢沟桥由11个半圆形的石拱组成，颐和园玉带桥桥拱则呈蛋尖形（可近似看作抛物线形），还有的拱桥里多边形、椭圆形、马蹄形和尖拱形，可说应有尽有．
材料2：图1是陶然亭公园“玉虹桥”．经2023年10月15日中午测量，中间大拱在水面的跨度（即图2线段AB长度）约为14m，当时大拱的最高点距离水面的高度（即图2点C到AB的距离）约为3.5m．
解决问题：
（1）若玉虹桥的桥拱为圆弧形，则桥拱所在圆的半径为 m．（取近似值，精确到0.1）
（2）若玉虹桥的桥拱为抛物线形，在图2中建立适当的坐标系（画在答题卡上），并求出相应的二次函数解析式（不要求写自变量取值范围）．
（3）正值2023陶然亭菊花节，很多游人前往陶然亭公园划船游玩．为安全考虑，两船同行时安全间隔至少为1m，船帮船篷和桥拱的距离不少于0.5m．若常用四人电动船的船宽为1.6m．船篷顶离水面平均高度为1.9m．参考材料2．从（1）（2）中任选种形状计算，中间大拱最多可供几艘常用四人电动船同时通过？
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和（2，n）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
（1）若m＝0，求该抛物线的对称轴；
（2）若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
①直接写出t的取值范围；
②已知点（﹣1，y1），（，y2），（3，y3）在该抛物线上，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
27．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，以点A为中心，将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接DE，BE．
（1）求∠DEB的度数；
（2）过点B作BF⊥DE于点F，连接CF，依题意补全图形，用等式表示线段DE与CF的数量关系，并证明．
2023-2024学年北京十五中九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）
1．C；2．A；3．A；4．B；5．C；6．B；7．B；8．B；
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（﹣1，﹣2）；10．70；11．＜；12．72；13．6.5cm；14．垂径定理；15．45°；16．①②④；
三、解答题（共68分，第17-22题每题5分.第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）
17． ；18．×；×；19．；在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等；20． ；21．（y，﹣x）；22．（1）见解答；
（2）5．；23． ；24．（1）当x＝时，展示区的面积为375cm2；
（2）当x＝5时，展示区的面积最大．；25．8.8；26． ；27．（1）45°；
（2）补全图形见解答过程，DE＝CF，证明见解答过程．；小敏：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…