北师大版2024-2025学年七年级数学上册同步讲义第2章第08讲有理数的混合运算(学生版+解析)

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知识点01 有理数的混合运算
（1）先乘方，再乘除，最后加减。
（2）同级运算，从左到右的顺序进行。
（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。
【即学即练1】
1．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题：
(1) (2)
(3) (4)
题型01 有理数四则混合运算
【典例1】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算
(1) (2)
(3) (4)
【变式1】（23-24七年级上·河南安阳·期中）计算
(1)
(2)
(3)
【变式2】（23-24七年级下·重庆九龙坡·开学考试）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式3】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
题型02 含乘方的有理数的混合运算
【典例2】（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）计算：
(1)； (2)．
【变式1】（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）计算：
(1)． (2)．
【变式2】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算：
(1) (2)
【变式3】（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）计算：
(1)； (2)．
题型03 有理数的混合运算中错题复原问题
【典例3】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）小兰在计算：时，步骤如下：
(1)小兰的计算过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），错误的原因是______；
(2)请给出正确的解题过程．
(3)计算：．
【变式1】（22-23七年级上·浙江衢州·阶段练习）下面的计算错在哪里？指出错误步骤的序号，并给出正确的解答过程．
①
②
③
【变式2】（22-23七年级上·宁夏银川·期中）阅读下面的解题过程：
解：
＝
＝（第一步）
＝（第二步）
＝（第三步）
回答：
(1)解题过程中有两处错误，第一处是第______步，错误原因是______；第二处是第______步，错误的原因是____________．
(2)正确的结果是__________________．
【变式3】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算：
下面是小颖的解答过程，请认真阅读并完成任务：
原式第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
(1)任务一：小颖的解答过程共存在两处错误，分别在第________步和第________步；
(2)任务二：请写出正确的解答过程.
题型04 程序流程图与有理数的混合运算
【典例4】（22-23七年级上·河北沧州·期中）洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“”加“★”键，再输入“”，就可以得到运算．按此程序 ．
【变式1】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）小明在电脑中设置一个有理数运算程序：输入数，加键，再输入数，就可以得到运算：．则的值为 ．
【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ．
【变式3】（22-23七年级上·河南平顶山·期中）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是多少？（写出计算过程）
题型05 利用有理数的混合运算算“24”点
【典例5】（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如图，小聪有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题：
(1)从中取出两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？
(2)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？
(3)将这4张卡片上的数字用学过的方法计算，使结果为24，写出运算式子．（写出一种即可）
【变式1】（22-23七年级上·江苏扬州·期中）有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24．
如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：．
(1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24；
(2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24；
(3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24．
【变式2】（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题：
(1)从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？
(2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？
(3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）．
【变式3】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？
答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ．
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？
答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ．
(3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少；
答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ．
(4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）．
答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ．
题型06 新定义型有理数的混合运算
【典例6】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）对于任意非零实数a，b，定义运算“”如下：
，则 ．
【变式1】（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）定义一种新运算“”，规则为：例：，则 ．
【变式2】（2024·河南南阳·一模）数学小组定义一个新运算“”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为 ．
【变式3】（23-24七年级上·重庆垫江·阶段练习）定义一种对正整数n的“F”运算：
①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中，k是使为奇数的正整数），……，两种运算交替重复进行，例如，取，则运算过程如图所示：
若，则第2023次“F”运算的结果是 ．
题型07 有理数的混合运算中规律探究问题
【典例7】（23-24七年级上·四川成都·期末）观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：．
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式： ．
(2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）；
(3)求．
【变式1】（2023·河北张家口·模拟预测）观察以下等式：
①，
②______，
③______，
……
探究：
（1）观察等式①②③的规律，并将等式补充完整；
（2）请直接写出第④个等式；
拓展：
（3）按照你发现的规律，写出第n个等式；
（4）计算：．
【变式2】（22-23九年级上·广东湛江·期中）观察下列各式的计算结果：
(1)用你发现的规律填写下列式子的结果：
× ；
× ．
(2)用你发现的规律计算：
【变式3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列各式：



…
(1)猜想_______
(2)根据上面的规律，解答下列问题：
①
②将减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？
题型08 有理数四则混合运算的实际应用
【典例8】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【流水行船】水库A与小镇B之间有一条河道，当水库不放水时，河道里的水不流动；当水库放水时，河道里的水匀速流动．在水库没有放水时，快艇M从A出发向B行驶了50分钟，经过了河道长度．此时水库放水，快艇又行驶河道长度，只用了20分钟．此时，驾驶员关闭快艇动力，任由快艇随河水漂流，又经过多少分钟快艇到达B?
【变式1】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）一出租车一天下午2小时内 以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：公里）依先后次序记录如下：，，，，，．
(1)该车2小时内最远时在鼓楼什么方向?离鼓楼多远?将最后一名乘客送到目的地，该车在出发地什么方向?离出发地多远?
(2)若每公里收费为3元，且每百公里耗油10升，汽油价格每升6元，那么该司机这2小时除去汽油费后收入是多少?
(3)司机每天还要向出租车公司上交180元的管理费，若一天按照工作8小时计算，一月安28天算，问该司机辛苦一个月后的收入约为多少元?
【变式2】（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图1是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯的高为．
(1)问2个叠放在一起的纸杯的高是多少？
(2)若一批这样的纸杯按照图2的方式叠放，测得总高度为，求纸杯个数．
【变式3】（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取；超过20吨且不超过30吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取；超过30吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的1.8倍收取．为节约用水量，小高记录了1~7月份他家每月1号的水表读数．
二、填空题
6．（23-24七年级上·福建莆田·期末）求值： ．
7．（24-25七年级上·全国·随堂练习）按照以下程序图输入的值为，则输出的值为 ．
8．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）若a，b互为倒数，c，d互为相反数，，则的值是 ．
9．（23-24六年级上·山东威海·期末）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式 ，使其结果等于24．
10．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ．
三、解答题
11．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）计算：
(1)；
(2)．
12．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
13．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
14．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如：将，换算成十进制数应为：，
．按此方式，将二进制换算成十进制数．
15．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）淇淇在计算时，步骤如下：
解：原式①
②
③
(1)请指出淇淇在第一步中的两处错误原因______、______；
(2)请给出正确的解题过程．
16．（22-23七年级上·河南洛阳·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：．
(1)求的值；
(2)的值．
17．（2024七年级上·江苏·专题练习）小明在计算这道题时，他看到每一项的分母之间有倍数关系，所以他设．①
那么， ．②
接着他将，结果这样操作没有办法较为简便地计算出结果．于是，他拿着题目去问老师，老师告诉他，可以，得
．
．
．
请你模仿上述求解的方法，进行计算：
(1)；
(2)．
18．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）观察下列等式：；；；；；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请写出两个等式： ， ；
(2)根据以上式子的规律，请写出第个式子；（为正整数）
(3)利用这个规律计算的值．
课程标准
学习目标
①掌握有理数的运算法则
②有理数运算的应用
1．掌握有理数的加减乘除及其乘方的混合运算；
2．灵活应用有理数的运算法则解决问题；
解：原式①
②
③
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
水表读数（吨）
433
450
468
485
500
514
535
第08讲 有理数的混合运算
知识点01 有理数的混合运算
（1）先乘方，再乘除，最后加减。
（2）同级运算，从左到右的顺序进行。
（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。
【即学即练1】
1．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)17
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理混合运算法则与顺序是解题的关键．
（1）先计算乘除，再计算减法即可；
（2）先计算小括号里的，再计算乘除，最后计算减法即可；
（3）先计算小括号，再计算中括号，即可求解；
（4）先计算除法，并运用乘法分配律将括号展开，再进行计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式
；
（4）解：原式．
题型01 有理数四则混合运算
【典例1】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)2
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查含乘方的有理数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的加减法运算法则进行求解；
（2）根据有理数的四则混合运算法则进行求解；
（3）根据有理数的乘法运算法则进行求解；
（4）根据有理数的混合运算法则进行求解．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【变式1】（23-24七年级上·河南安阳·期中）计算
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了有理数的混合运算．
（1）利用有理数加法运算律简便计算即可；
（2）利用有理数乘法运算律简便计算即可；
（3）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【变式2】（23-24七年级下·重庆九龙坡·开学考试）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟记有理数混合运算的顺序，运算法则，运算定律是解题的关键．
（1）根据有理数加减法则进行计算即可；
（2）根据有理数加减法则进行计算即可；
（3）先根据有理数加减法计算出括号里的结果，再计算括号外的除法；
（4）先计算乘方和括号内的运算，再计算乘法，最后计算减法．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：，
，
；
（4）解：，
，
，
，
．
【变式3】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）先把复分数化为假分数，同分母的先合并，最后通分即可；
（2）按照先平方，后乘除，再加减运算即可；
（3）先算括号里的，再从左到右计算即可；
（4）先算括号里的，再从左到右计算即可；
（5）按照先平方，后乘除，再加减运算即可；
（6）先乘方，再利用乘法分配律计算括号里的，最后从左到右计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
题型02 含乘方的有理数的混合运算
【典例2】（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算：
（1）根据有理数的混合运算法则，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号，进行计算即可；
（2）先乘方，再进行乘法运算，最后算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【变式1】（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）计算：
(1)． (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序．
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式2】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先算乘方和括号，再算乘除，后算加减；
（2）先算乘方、绝对值，再算乘除，后算加减．
【详解】（1）
（2）
【变式3】（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)0；
(2)．
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先计算有理数乘方和括号内的，再进行有理数的混合运算即可；
（2）先计算有理数乘方和括号内的，再进行有理数的混合运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型03 有理数的混合运算中错题复原问题
【典例3】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）小兰在计算：时，步骤如下：
(1)小兰的计算过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），错误的原因是______；
(2)请给出正确的解题过程．
(3)计算：．
【答案】(1)①，运算顺序出错；去负括号时，括号内第二项没有变号
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）观察解题过程可知，在第①步计算时，先计算了乘法，而不是先计算的乘方，并且在去括号时，括号内第二项没有变号，据此可得答案；
（2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可；
（3）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可．
【详解】（1）解：观察解题过程可知，在第①步计算时，先计算了乘法，而不是先计算的乘方，并且在去括号时，括号内第二项没有变号；从而导致后续计算错误，
故答案为：①，运算顺序出错；去负括号时，括号内第二项没有变号；
（2）解：原式
；
（3）解：
．
【变式1】（22-23七年级上·浙江衢州·阶段练习）下面的计算错在哪里？指出错误步骤的序号，并给出正确的解答过程．
①
②
③
【答案】错在第①步和②步，见解析
【分析】本题考查了有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．先算乘方即可发现错误，再根据有理数的乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：错在第①步和②步，
正确的解答过程是：
①
②
．
【变式2】（22-23七年级上·宁夏银川·期中）阅读下面的解题过程：
解：
＝
＝（第一步）
＝（第二步）
＝（第三步）
回答：
(1)解题过程中有两处错误，第一处是第______步，错误原因是______；第二处是第______步，错误的原因是____________．
(2)正确的结果是__________________．
【答案】(1)二、运算顺序错误、三、符号错误
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减，乘除运算，运算法则为先乘除，后加减，进行计算，即可．
【详解】（1）解：在解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误原因是运算顺序错误，应该从左往右依次算起；第二处是第三步，错误的原因是符号错误，因为同号得正；
故答案为：二、运算顺序错误、三、符号错误．
（2）解：
．
故答案为：．
【变式3】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算：
下面是小颖的解答过程，请认真阅读并完成任务：
原式第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
(1)任务一：小颖的解答过程共存在两处错误，分别在第________步和第________步；
(2)任务二：请写出正确的解答过程.
【答案】(1)一；四；
(2)见解析
【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其原运算法则．
（1）根据有理数的混合运算法则即可判断；
（2）根据有理数的混合运算法则即可求解．
【详解】（1）解：解答过程共存在2处错误，分别是第一步和第四步
故答案为：一；四；
（2）原式

．
题型04 程序流程图与有理数的混合运算
【典例4】（22-23七年级上·河北沧州·期中）洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“”加“★”键，再输入“”，就可以得到运算．按此程序 ．
【答案】8.5
【分析】根据题意列出算式进行计算即可．
【详解】解：根据题意得：
．
故答案为：8.5．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，有理数的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算．
【变式1】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）小明在电脑中设置一个有理数运算程序：输入数，加键，再输入数，就可以得到运算：．则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义下的有理数运算，正确理解运算规则即可求解．
【详解】解：由题意得：
故答案为：
【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ．
【答案】
【分析】此题考查了代数式求值，根据题中的流程图计算即可得出答案，弄清题中的程序流程是解本题的关键．
【详解】解：把代入可得：，
再把代入可得：，
所以y，
故答案为：．
【变式3】（22-23七年级上·河南平顶山·期中）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是多少？（写出计算过程）
【答案】最后输出的结果y是
【分析】此题考查了有理数的混合运算和代数式的值，根据题意得到代数式为，依次进行计算，直到结果符合要求，输出为止．
【详解】解：根据题意，得，
输入时，，
当时，，
当时，，
∴最后输出的结果y是．
题型05 利用有理数的混合运算算“24”点
【典例5】（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如图，小聪有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题：
(1)从中取出两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？
(2)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？
(3)将这4张卡片上的数字用学过的方法计算，使结果为24，写出运算式子．（写出一种即可）
【答案】(1)一个数抽，另一个数是时，乘积最大，最大是
(2)其中的一个数抽，另一个数是时，得到最大，最大是625
(3)（答案不唯一）
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则，是解题的关键．
（1）从中抽张卡片，要使这张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可；
（2）这2张卡片上数字组成一个最大的数，除了有个位十位相组成之外，还有乘方；
（3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为即可．
【详解】（1）解：，
，
因为，
所以其中的一个数抽，另一个数是时，最大值是；
（2）解：抽取两个数直接组成一个两位数，最大的为；
抽取两个数组成一个幂，最大为，
因为，
所以其中的一个数抽，另一个数是时，得到最大，最大为625；
（3）解：从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为，运算式子为：
．
【变式1】（22-23七年级上·江苏扬州·期中）有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24．
如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：．
(1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24；
(2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24；
(3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】此题考查有理数的混合运算，注意数字的正负，巧妙利用计算解决问题．
（1）所给的数字为：、、5、3；
（2）所给的数字为：、、8、12；
（3）所给的数字为：、、2、3；
利用数字特点，注意数字符号：选用运算符号解决问题即可．
【详解】（1）（1）答案不唯一，如
；
（2）①答案不唯一，如
；
②答案不唯一，如
；
（3）答案不唯一，如
．
【变式2】（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题：
(1)从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？
(2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？
(3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）．
【答案】(1)一个数抽，另一个数是时，最大值是
(2)一个数抽，另一个数是时，它们相除的最小值是
(3)
【分析】本题考查有理数的混合运算；
（1）从中抽张卡片，要使这张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可；
（2）从中抽取张卡片，要使这两张卡片数相除的商最小，则一个是正数，另一个是负数，据此求出最小值是多少即可．
（3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为即可．
【详解】（1），
，
因为，
所以其中的一个数抽，另一个数是时，最大值是；
（2），
所以其中的一个数抽，另一个数是时，它们相除的最小值是；
（3）从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为，运算式子为：
．
【变式3】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？
答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ．
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？
答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ．
(3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少；
答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ．
(4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）．
答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ．
【答案】(1)、；15；
(2)、；
(3)、4；
(4)
【分析】本题考查有理数的运算．熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）根据有理数的乘法法则即可确定；
（2）根据有理数的除法法则即可确定；
（3）根据有理数的乘方运算即可确定；
（4）根据有理数的混合运算法则即可确定．
【详解】（1）解：∵，，，
∴抽取、两张卡片的乘积最大，最大值为15．
故答案为：、；15；
（2）∵，
∴抽取、两张卡片相除的商最小，最小值为．
故答案为：、；．
（3）∵，，
∴抽取、4两张卡片，组成的最大值为．
故答案为：、4；．
（4）抽取、、0、3，则．
故答案为：．
题型06 新定义型有理数的混合运算
【典例6】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）对于任意非零实数a，b，定义运算“”如下：
，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用定义的新运算进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
故答案为：．
【变式1】（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）定义一种新运算“”，规则为：例：，则 ．
【答案】4
【分析】此题主要考查了新定义以及有理数的混合运算，正确利用新定义转化为有理数混合运算是解题关键．根据题中的新定义将所求式子化为有理数混合运算，计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
；
故答案为：4．
【变式2】（2024·河南南阳·一模）数学小组定义一个新运算“”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的运算，有理数大小比较，理解题中给出的定义做出正确的计算是解题关键．
原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】根据题意得，当时，
∵
∴
．
故答案为：．
【变式3】（23-24七年级上·重庆垫江·阶段练习）定义一种对正整数n的“F”运算：
①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中，k是使为奇数的正整数），……，两种运算交替重复进行，例如，取，则运算过程如图所示：
若，则第2023次“F”运算的结果是 ．
【答案】48
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算与数字的变化类．根据运算过程分别求出前四次“”运算的结果，可得“”运算结果每四次一循环，再由，即可求解．
【详解】解：根据题意知，第一次“”运算的结果是：；
第二次“”运算的结果是：；
第三次“”运算的结果是：；
第四次“”运算的结果是：；
“”运算结果每四次一循环，
，
第2023次“”运算的结果是48，
故答案为：48．
题型07 有理数的混合运算中规律探究问题
【典例7】（23-24七年级上·四川成都·期末）观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：．
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式： ．
(2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）；
(3)求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据题目所给等式，总结出变化规律是解题的关键．
（1）根据题目所给的前几个等式，即可写出第五个等式；
（2）根据题目所给的等式，总结出变化规律，即可解答；
（3）根据题目所给的等式变化规则，分别计算和，两者相减即可得到．
【详解】（1）解：由题意得：第5个等式为：，
故答案为：；
（2）解：∵第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…，
∴第n个等式：
故答案为：；
（3）解：∵
又∵
∴
【变式1】（2023·河北张家口·模拟预测）观察以下等式：
①，
②______，
③______，
……
探究：
（1）观察等式①②③的规律，并将等式补充完整；
（2）请直接写出第④个等式；
拓展：
（3）按照你发现的规律，写出第n个等式；
（4）计算：．
【答案】（1）1，，2，，3；（2）；（3）；（4）
【分析】探究：（1）计算出结果即可．
（2）根据①②③的规律写出第四个式子即可．
拓展：（1）根据①②③的规律写出第个等式即可．
（2）首先提取负号，得出前面的规律式子，两个两个的相减，最后做到即可．
本题考查数字规律，有理数计算，解题关键是计算正确．
【详解】解：探究：（1）①，
②，
③，
故答案为：1，，2，，3
（2）④，
拓展：（1）第个式子：，
（2）
．
【变式2】（22-23九年级上·广东湛江·期中）观察下列各式的计算结果：
(1)用你发现的规律填写下列式子的结果：
× ；
× ．
(2)用你发现的规律计算：
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题目中的规律解答即可；
（2）根据题目中的规律解答即可；
此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律与变换方法，得出规律解决问题．
【详解】（1）解：依题意，，
；
故答案为：；
（2）解：
．
【变式3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列各式：



…
(1)猜想_______
(2)根据上面的规律，解答下列问题：
①
②将减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据有理数的乘法运算法则即可求解；
（2）①根据材料提示，以及有理数的乘法运算法则即可求解；②有理数的乘法运算法则，材料提示信息进行计算即可．
【详解】（1）解：∵


…
∴
故答案为：；
（2）解：①
；
②由题意得，
．
题型08 有理数四则混合运算的实际应用
【典例8】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【流水行船】水库A与小镇B之间有一条河道，当水库不放水时，河道里的水不流动；当水库放水时，河道里的水匀速流动．在水库没有放水时，快艇M从A出发向B行驶了50分钟，经过了河道长度．此时水库放水，快艇又行驶河道长度，只用了20分钟．此时，驾驶员关闭快艇动力，任由快艇随河水漂流，又经过多少分钟快艇到达B?
【答案】分钟
【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，把河道长度看作整体“1”，那么水库没有放水时，快艇的速度为，水库放水时，快艇速度与水流速度的和为，进而可求出水流速度，用快艇随河水漂流的路程除以水流速度可得时间．
【详解】解：
（分钟）
答：又经过分钟快艇到达B．
【变式1】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）一出租车一天下午2小时内 以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：公里）依先后次序记录如下：，，，，，．
(1)该车2小时内最远时在鼓楼什么方向?离鼓楼多远?将最后一名乘客送到目的地，该车在出发地什么方向?离出发地多远?
(2)若每公里收费为3元，且每百公里耗油10升，汽油价格每升6元，那么该司机这2小时除去汽油费后收入是多少?
(3)司机每天还要向出租车公司上交180元的管理费，若一天按照工作8小时计算，一月安28天算，问该司机辛苦一个月后的收入约为多少元?
【答案】(1)该车2小时内最远在鼓楼的东方，离鼓楼有9公里，将最后一名乘客送到目的地，该车在鼓楼的东方，离出发点3公里
(2)84元
(3)4368元
【分析】此题考查了有理数加减混合运算的应用，正数与负数，以及绝对值，弄清题意是解本题的关键．
（1）将记录的数字相加得到结果，即可做出判断；
（2）将记录的数字绝对值相加得到总路程数，算出总收入-汽油费，即可解答；
（3）计算出司机的总收入-所交的管理费，即可解答．
【详解】（1）解：送完第1名乘客，离出发地（鼓楼）的距离为9公里，
第2名：（公里），
第3名：（公里），
第4名：（公里），
第5名：（公里），
第6名：（公里），
则，该车2小时内最远在鼓楼的东方，离鼓楼有9公里，将最后一名乘客送到目的地，该车在鼓楼的东方，离出发点3公里；
（2）（公里），
（元），（元），
（元），
答：该司机这2小时除去汽油费后收入是84元．
（3）（元）
答：该司机辛苦一个月后得收入约为4368元．
【变式2】（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图1是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯的高为．
(1)问2个叠放在一起的纸杯的高是多少？
(2)若一批这样的纸杯按照图2的方式叠放，测得总高度为，求纸杯个数．
【答案】(1)
(2)101个
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键．
（1）根据图1中的数据求出每增加一个纸杯增加的高度即可；
（2）根据总高度求出纸杯的个数即可．
【详解】（1）根据题意得：
，
，
则2个叠放在一起的纸杯的高是；
（2）根据题意得：
（个），
则纸杯个数为101个．
【变式3】（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取；超过20吨且不超过30吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取；超过30吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的1.8倍收取．为节约用水量，小高记录了1~7月份他家每月1号的水表读数．
(1)直接写出小高家1月份的用水量__________吨及1~6月平均每月用水量为____________吨．
(2)已知小高家2月份的水费为36元，试求他家6月份需缴纳水费多少元？
(3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比6月份多用水14吨，试求小高家7月份需缴纳水费多少元？
(4)为节约水资源，请你提出一条生活中节约用水的合理建议．
【答案】(1)17，17
(2)43元
(3)88元
(4)见解析
【分析】本题考查有理数运算的实际应用：
（1）用2月的数据减去1月的数据，求出1月份的用水量，用表格中最后一个数据减去第一个数据，再除以6求出平均用水量；
（2）根据小高家2月份的水费为36元，求出一级用水价格，进而求出6月份需缴纳水费即可；
（3）根据收费标准，列式计算即可；
（4）提出一条节约用水的建议即可．
【详解】（1）解：（吨），（吨）；
故答案为：17，17；
（2）解：小高家二月用水量为：（吨），
由题意，得：一级用水价格为：（元），
小高家6月用水量为：吨，
∴他家6月份需缴纳水费为（元）；
（3）解：七月份用水量为：（吨），
（元）；
（4）解：淘米水浇花（合理即可）．
一、单选题
1．（23-24七年级上·广东东莞·期末）式子计算正确的是（ ）
A．0B．C．17D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的混合运算，先将乘方化简，再进行计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
2．（22-23六年级上·山东烟台·期末）下列各式结果为正数的是（ ）
A．B．
C．（n为正整数）D．
【答案】D
【分析】题目主要考查含乘方的有理数的混合运算，将各个选项依次化简即可，熟练掌握运算法则是解题关键
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、n为正整数，为奇数，
∴，不符合题意；
D、，符合题意；
故选：D
3．（22-23七年级上·河南信阳·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查有理数的混合运算，利用有理数的相应的法则对各项进行运算即可求解．解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【详解】解：A．，故此选项符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项不符合题意；
D．，故此选项不符合题意．
．
4．（23-24七年级上·广东珠海·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，，例如：，则的值为（ ）
A．B．5C．13D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题目所给新运算的运算顺序和运算法则．根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
5．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数是（天），那么图2所表示孩子出生后的天数是（ ）
A．1234天B．466天C．396天D．284天
【答案】B
【分析】本题考查有理数混合运算的应用，理解题意，根据题中计算方法列式计算即可．
【详解】解：由题意，图2所表示孩子出生后的天数是
（天），
故选：B
二、填空题
6．（23-24七年级上·福建莆田·期末）求值： ．
【答案】
【分析】本题考查的是化简绝对值，乘方运算的含义，有理数的混合运算，先计算乘方与绝对值，再计算乘法运算即可．
【详解】解：，
故答案为：
7．（24-25七年级上·全国·随堂练习）按照以下程序图输入的值为，则输出的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题中图形给出的计算程序．由于将开始代入计算是6，不是负数，返回继续计算，要平方后再代入，这是本题易出错的地方．
【详解】解：，
，
故答案为：．
8．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）若a，b互为倒数，c，d互为相反数，，则的值是 ．
【答案】11
【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．先根据题意得出，，，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解：，互为倒数，，互为相反数，，
，，，
．
故答案为：11．
9．（23-24六年级上·山东威海·期末）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式 ，使其结果等于24．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，利用混合运算的特点构建是解本题的关键．
【详解】解：∵，
∴这个算式为：，
故答案为：
10．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ．
【答案】8
【分析】根据定义，得，解得即可．
本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．
【详解】根据定义，得，
故答案为：8．
三、解答题
11．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)32
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．
（1）根据有理数四则混合运算法则，结合乘法分配律，进行计算即可；
（2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
12．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)1
(2)
(3)3
(4)2
【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；
（2）先化简绝对值，再把除法化为乘法，最后运算乘法运算律进行简便运算，即可作答．
（3）运用乘法分配律进行简便运算，即可作答．
（4）先算乘方，再算乘法，最后运算加减，即可作答．
本题考查了有理数的乘方的混合运算，化简绝对值，乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
（4）解：
13．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．
（1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；
（2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；
（3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；
（4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
14．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如：将，换算成十进制数应为：，
．按此方式，将二进制换算成十进制数．
【答案】9
【分析】首先理解二进制的含义，再结合四则运算的顺序和计算法则计算即可求解．
考查了二进制位值原则，关键是掌握四则运算的顺序和计算法则，正确进行计算．
【详解】解：；
故答案为：9．
15．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）淇淇在计算时，步骤如下：
解：原式①
．
17．（2024七年级上·江苏·专题练习）小明在计算这道题时，他看到每一项的分母之间有倍数关系，所以他设．①
那么， ．②
接着他将，结果这样操作没有办法较为简便地计算出结果．于是，他拿着题目去问老师，老师告诉他，可以，得
．
．
．
请你模仿上述求解的方法，进行计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)510
(2)364
【分析】本题主要考查了有理数的混合，有理数加法的运算技巧，解题关键理解小明解题的方法，并能灵活运用．
（1）设，求出，再列出算式求出即可；
（2）设m＝1+3+9+27+81+243，求出3m，再列出算式求出3m﹣m，进而求出m即可．
【详解】（1）解：设，
则
，
∴
，
∴；
（2）解：设，
∴，
，
，
,
∴，
∴．
18．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）观察下列等式：；；；；；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请写出两个等式： ， ；
(2)根据以上式子的规律，请写出第个式子；（为正整数）
(3)利用这个规律计算的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了数字类规律探索，有理数的混合运算等知识点，通过观察所给的式子，探索出式子的一般规律，并能根据所求灵活应用规律是解题的关键．
（1）根据所给等式的规律，直接写出即可；
（2）通过观察可得，第个等式为；
（3）由（2）可得，原式，再求解即可．
【详解】（1）解：根据所给等式的规律可知：
，
，
故答案为：，；
（2）解：根据所给等式的规律可知，第个等式为：
；
（3）解：
．
课程标准
学习目标
①掌握有理数的运算法则
②有理数运算的应用
1．掌握有理数的加减乘除及其乘方的混合运算；
2．灵活应用有理数的运算法则解决问题；
解：原式①
②
③
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
水表读数（吨）
433
450
468
485
500
514
535