北师大版2024-2025学年七年级数学上册同步讲义第3章第05讲探究与表达规律(学生版+解析)

这是一份北师大版2024-2025学年七年级数学上册同步讲义第3章第05讲探究与表达规律(学生版+解析)，共40页。学案主要包含了等差规律，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。


知识点01 规律类：数字变化型
一、等差规律：前后两项差几写成几×n，令 n=1，在通过加减来凑第一个数。
例如：上面的第（3）列数，相差 3，则先得到 3n，而第 1 项是 4，当 n=1 时，
3n=3，3+1=4，所有第n项表示为 3n+1.
拓展延申：
【即学即练1】
1．（23-24七年级下·江苏常州·期中）“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”在如图的三角形中，一条中线将一个三角形分为面积相等的两部分，在此基础上再作一条中线，可得到原三角形一半面积的一半，即，已知，根据这个几何图形的规律求得…的值为（ ）
A．1B．C．D．
2．（23-24九年级下·广东茂名·期末）观察下列等式：，，，，，，，，．回答下面问题：的末位数字是 ．
知识点02 规律型：图形变化类
1.基本思想：图形规律 数字规律
2.基本方法：
（1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律.
（2）由此及彼,合理联想,大胆猜想
（3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点；
（4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否;
【即学即练2】
1．（2024·安徽池州·三模）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题．
(1)第6个结构式的分子式是________；
(2)第n个结构式的分子式是________；
(3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物．
2．（2024·安徽马鞍山·二模）【观察思考】
用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推．
【规律发现】
（1）第6个图形中有____________个圆形棋子；
（2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示）
【规律应用】
（3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由．
题型01 数字类规律探索之排列问题
【典例1】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）按一定规律排成的一列数：，，，，，，，则这列数中的第2016个数是 ．
【变式1】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）一组数据，，，，，按这种规律得第十个数为
【变式2】（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）一组数：，，，，，，…，根据这个规律，第n个数是 （n为正整数）．（用含n的代数式表示）
【变式3】（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）仔细观察，思考下面 一列数有哪些规律：，2，，8，，32，…，然后填空：
（1）第7个数是 ，（2）第2012个数是 ，（3）第n个数是 ．
题型02 数字类规律探索之末尾数字问题
【典例2】（2023·江苏镇江·模拟预测）已知，，，，，，，推测的个位数字是 ．
【变式1】（22-23七年级上·河南洛阳·阶段练习）观察等式：，，，，，，，．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ．
【变式2】（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）已知 ，，， 根据前面各式的规律，可得：
（1） ( )；
（2）的值的个位数字是 ．
题型03 数字类规律探索之新运算问题
【典例3】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）已知有一个新算符“”，使下列算式，，，那么 ．
【变式1】（23-24七年级上·广西桂林·期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则：
若，则第2024次“F运算”的结果是 ．
【变式2】（23-24八年级上·湖南岳阳·开学考试）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，计算： ．
题型04 数字类规律探索之等式问题
【典例4】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知，，，，，…，若符合前面式子的规律，则 ．
【变式1】（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）观察下面的等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出第n个等式： （用含n的式子表示）．
【变式2】（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；．
…．
(1)请写出第5个等式：______；
(2)写出第个等式：______；（用含n的式子表示，n为正整数）
(3)根据你发现的规律计算：．
题型05 图形类规律探索之数字问题
【典例5】（2024·湖南·二模）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．

根据此规律确定a的值为 ，b的值为 ，x的值为 ．
【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）某城市大剧院地面的一部分为扇形，观众席的座位按如下表方式设置，则第五排、第六排分别有 个座位；第n排有 个座位．
【变式2】（23-24七年级上·安徽·期末）探索规律：
在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示：
第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为；
第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为；
第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为；
……
根据以上规律，完成下列问题：
(1)尝试：第4次分割后，______
(2)初步应用：根据规律，求的值．
(3)拓展应用：利用以上规律，求的值．
题型06 图形类规律探索之数量问题
【典例6】（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）下列是用火柴棒拼出的一列图形．
仔细观察，找出规律，解答下列各题：
(1)第6个图中共有______根火柴；
(2)第n个图形中共有__________根火柴；（用含n的式子表示）
(3)第2021个图形中共有多少根火柴？
【变式1】（23-24七年级上·安徽·单元测试）观察下列图形中点的个数．
(1)图2中点的个数是 ；
(2)若按其规律再画下去，如果图形中有36个点，那它是第 个图形；
(3)若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为 （用含n的代数式表示）．
【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去．
(1)如果剪n次共能得到 个等边三角形．
(2)若原等边三角形的边长为1，设表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，如．
①试用含的式子表示 ；
②计算 ．
【变式3】（23-24七年级上·四川达州·期末）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案．
(1)第4个图案中，三角形的个数有 个，六边形的个数有 个；
(2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？
(3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？
(4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由．
，，．回答下面问题：的末位数字是 ．
6．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知一组有理数a，b，我们将左边的数减去右边相邻的数即的值插入到a，b之间称之为一次“差数操作”．若，，第一次“差数操作”得2，5，；第二次“差数操作”得2，，5，8，；则第2024次“差数操作”所得数的和是 ．
7．（2024·湖南娄底·模拟预测）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：、和分别可以分裂成2个、3个和4个连续奇数的和，即，，，…若也按照此规律来进行分裂，则分裂出的奇数中，最小的奇数是 ．
8．（2024·四川成都·模拟预测）观察按一定规律排列的一组数：2，，，…，其中第个数记为，第个数记为，且满足，则 ； ．
三、解答题
9．（23-24七年级上·江西吉安·期中）有一列数，按一定规律排列成，…，观察这列数的规律解决如下问题：
(1)第七个数是______，第n个数可表示为________；
(2)若其中某三个相邻数的积是，求这三个数的和．
10．（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）摆一摆，找规律．

(1)依次摆下去，图形⑤是什么图形？画出来．
(2)摆图形⑥需要用多少根小棒？
11．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察下面三行数：
；①
；②
；③
(1)第①行数第8个数是________；
(2)取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
12．（23-24八年级下·江西吉安·期末）观察下面的变形规律：
解答下面的问题：
(1)若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想_____．
(2)计算：
(3)计算：
13．（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）观察下列图案：
它们是按照一定规律排列的，依照此规律，
(1)第1个图案中共有 ______ 个三角形，第2个图案中共有______个三角形．
(2)第4个图案中共有______个三角形，第5个图案中共有______个三角形．
(3)计算：第120个图案中三角形的个数是多少？
14．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，每个小正方形的面积均为1．认真研读图形及对应的等式，寻找规律，完成下列问题：
(1)请写出第5个等式；
(2)猜想第n个等式，用含n的等式表示这个等式；
(3)一个用形状大小一样的无数个小正方体搭成的几何体，若从其正面看到的形状图是上面规律图的左图，从其上面看到的形状图是由400个小正方形组成的大正方形，则这个几何体最多共有多少个小正方体？
15．（24-25七年级上·全国·假期作业）将连续的奇数1，3，5，7，，排成如下的数表：十字框框出5个数和（如图所示），问：
(1)十字框框出5个数的和与框子正中间的数17有什么关系？
(2)若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数还有这种规律吗？
(3)若设中间的数为，用代数式表示十字框框住的5个数字之和；
(4)十字框框住的5个数之和能等于2000吗？能等于2055吗？若能，请分别写出十字框框住的5个数．
课程标准
学习目标
①掌握规律探索的方法
②掌握从特殊到一般、从个体到整体地观察
1．初步掌握规律探索的方法，并能对简单的规律进行用数学语言描述；
2．培养学生对数和字母应用的理解，从而拓展学生的视野；
3．掌握从特殊到一般、从个体到整体地观察。分析问题的方法，尝试从不同角度探究问题， 培养应用意识和创新意识。
排数
1
2
3
4
…
座位数
50
53
56
59
…
第05讲 探究与表达规律

知识点01 规律类：数字变化型
一、等差规律：前后两项差几写成几×n，令 n=1，在通过加减来凑第一个数。
例如：上面的第（3）列数，相差 3，则先得到 3n，而第 1 项是 4，当 n=1 时，
3n=3，3+1=4，所有第n项表示为 3n+1.
拓展延申：
【即学即练1】
1．（23-24七年级下·江苏常州·期中）“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”在如图的三角形中，一条中线将一个三角形分为面积相等的两部分，在此基础上再作一条中线，可得到原三角形一半面积的一半，即，已知，根据这个几何图形的规律求得…的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了数字的规律，结合图形可知：，，，……，由此发现规律，即可求解．
【详解】结合图形可知：
，
，
，
……
，
则：
故选：B．
【点睛】本题考查分数乘方的应用，根据题意得到规律，掌握有理数乘方的的运算是解题关键．
2．（23-24九年级下·广东茂名·期末）观察下列等式：，，，，，，，，．回答下面问题：的末位数字是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了数字型规律的探究．2的个位数字为2；的个位数字为6；的个位数字为4；的个位数字为0；的个位数字为2；确定循环节为4，计算，确定末位数字即可．
【详解】解：2的个位数字为2；
的个位数字为6；
的个位数字为4；
的个位数字为0；
的个位数字为2；
所以循环节为4，
因为，
所以的末位数字是4．
故答案为：4．
知识点02 规律型：图形变化类
1.基本思想：图形规律 数字规律
2.基本方法：
（1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律.
（2）由此及彼,合理联想,大胆猜想
（3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点；
（4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否;
【即学即练2】
1．（2024·安徽池州·三模）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题．
(1)第6个结构式的分子式是________；
(2)第n个结构式的分子式是________；
(3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物．
【答案】(1)
(2)
(3)不属于，理由见解析
【分析】本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律即可求解．
（1）由图可知：第n个结构式中有个C和个H，分子式是，据此即可求解；
（2）由（1）中的结论即可求解；
（3）令，计算即可判断；
【详解】（1）解：由图可知：第n个结构式中有个C和个H，分子式是；
∴第6个结构式的分子式是，
故答案为：
（2）解：由（1）可知：第n个结构式的分子式是，
故答案为：
（3）解：令，则，
∴分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物
2．（2024·安徽马鞍山·二模）【观察思考】
用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推．
【规律发现】
（1）第6个图形中有____________个圆形棋子；
（2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示）
【规律应用】
（3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由．
【答案】（1）（2）（3）不能，理由见解析
【分析】本题主要考查数与形结合的规律，以及列代数式相关知识，发现每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个是解本题的关键．
（1）观察得到每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，即可得出答案；
（2）根据（1）中规律表示出第n个图形中的棋子数，即可得解；
（3）由（2）中的规律可知，，解方程并分析即可解题．
【详解】（1）解：由图知，第1个图形中有个圆形棋子，
第2个图形中有个圆形棋子，
第3个图形中有个圆形棋子，
第4个图形中有个圆形棋子，
，依此类推，
第6个图形中有个圆形棋子，
故答案为：．
（2）解：由（1）中规律可知，第个图形中有个圆形棋子，
故答案为：．
（3）解：不能，理由如下：
由题知，，解得，不为整数．
2024个圆形棋子不能按照题中的规律一次性摆放．
题型01 数字类规律探索之排列问题
【典例1】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）按一定规律排成的一列数：，，，，，，，则这列数中的第2016个数是 ．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类变化规律，此列数可变为：，，，，，，，可以找到每个分数与数的个数的关系，进而求得第2016个数，得出规律是解此题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴此列数可变为：，，，，，，，每个分数的分子是数的个数，分母是数的个数加2，
∴第2016个数为，即，
故答案是：．
【变式1】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）一组数据，，，，，按这种规律得第十个数为
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类规律探索，解题的关键是根据题意找出规律．
正负间隔出现，分母是连续的奇数，分子为连续自然数的平方，第项为
【详解】解：根据题中规律可得第项为，
当时，．
故答案为：．
【变式2】（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）一组数：，，，，，，…，根据这个规律，第n个数是 （n为正整数）．（用含n的代数式表示）
【答案】
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索
【分析】
根据题目中的数据，可以发现奇数个数都是负数、偶数个数都是正数、整数部分的绝对值是按照1，2，3，4，…，在变化，分数部分的分子是一些连续的奇数，分母部分是对应的个数的平方加1，然后即可写出第n个数．
【详解】
解：∵一组数：，，，，，，…，
∴这列数可以表示为：，，，，…，
∴这组数的第n个数为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，表示出第n个数．
【变式3】（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）仔细观察，思考下面 一列数有哪些规律：，2，，8，，32，…，然后填空：
（1）第7个数是 ，（2）第2012个数是 ，（3）第n个数是 ．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查数字规律，根据规律写出一般式是关键．
（1）观察发现后一个数是前一个数的倍，即可求解；
（2）利用（1）的规律，把各数写成乘方的形式，即可求解；
（3）利用（2）的规律即可求解．
【详解】解：（1）∵，，，，，，…
∴从第2个数开始，后面每一个数是前一个数的倍，
∴第7个数是，
故答案为：；
（2）由（1）知：，，，，，，
∴第2012个数是，
故答案为：；
（3）由（2）知：第n个数是，
故答案为：．
题型02 数字类规律探索之末尾数字问题
【典例2】（2023·江苏镇江·模拟预测）已知，，，，，，，推测的个位数字是 ．
【答案】9
【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索
【分析】本题考查了数字的变化规律，根据题意，对于3的正整数幂，个位数字只出现3、9、7、1这四个数，且按这一顺序每四个一循环，据此可求．
【详解】解：，，，，，，，
个位数3、9、7、1按这一顺序每四个一循环，
，
的个位数是：9．
故答案为：9．
【变式1】（22-23七年级上·河南洛阳·阶段练习）观察等式：，，，，，，，．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ．
【答案】2
【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索
【分析】本题主要考查了有理数的乘方规律型题．解决本题的关键是熟练掌握以2为底的幂的末位数字的循环规律．
可以看出，以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循的，根据，得到的个位数字是2．
【详解】∵，，，，
，，，，
，，
∴以2为底的幂的末位数字是以2，4，8，6依次循环，
∴，
∴的个位数字是2，
故答案为：2．
【变式2】（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）已知 ，，， 根据前面各式的规律，可得：
（1） ( )；
（2）的值的个位数字是 ．
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索
【分析】本题主要考查数字规律，掌握整式的混合运算，找出数字计算的规律是解题的关键．
（1）根据材料提示的运算法则即可求解；
（2）由材料提示找到运算规律可得，再计算幂的结果的个位数，由此即可求解．
【详解】解：（1）根据材料提示得，，
故答案为：；
（2）
，
∵，，，，，，……即个位数字4次以循环，在，
∴的个位数为，
∴，
故答案为：．
题型03 数字类规律探索之新运算问题
【典例3】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）已知有一个新算符“”，使下列算式，，，那么 ．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意可得，，，即可求解．
【详解】解：根据题意得：
，，，
∴．
故答案为：．
【变式1】（23-24七年级上·广西桂林·期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则：
若，则第2024次“F运算”的结果是 ．
【答案】19
【知识点】程序流程图与有理数计算、数字类规律探索
【分析】本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，解题的关键是经过运算发现其数字的变化规律．根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可．
【详解】解：本题提供的“运算”，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算，由于为奇数应先进行①运算，
即（偶数），需再进行②运算，
即（奇数），
再进行①运算，得到（偶数），
再进行②运算，即（奇数），
再进行①运算，得到（偶数），
再进行②运算，即，
再进行①运算，得到（偶数），，
即第1次运算结果为152，，
第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，，
可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，
则6次一循环，
，
则第2024次“运算”的结果是19．
故答案为：19．
【变式2】（23-24八年级上·湖南岳阳·开学考试）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，计算： ．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查数字的变化类、新定义，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应项的值．根据题目中的数据，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，，，，，
…，
由上可得，这列数依次以，，循环出现，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
题型04 数字类规律探索之等式问题
【典例4】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知，，，，，…，若符合前面式子的规律，则 ．
【答案】239
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字规律的探索，根据前面几个式子的特点，得到规律，即可确定a与b的值，从而求解．
【详解】解：，，，，
观察得规律：，
则，
所以；
故答案为：239．
【变式1】（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）观察下面的等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出第n个等式： （用含n的式子表示）．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】（1）观察一系列等式，归纳总结得到第5个等式即可；
（2）观察一系列等式，归纳总结得到第个等式，用字母表示出所得的规律即可．
此题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
【详解】解：（1）
∵第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；……
通过观察前面式子可得：
第5个等式：，
故答案为：
（2）通过观察前面式子可得：
第个等式：．
故答案为：
【变式2】（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；．
…．
(1)请写出第5个等式：______；
(2)写出第个等式：______；（用含n的式子表示，n为正整数）
(3)根据你发现的规律计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的四则混合运算，掌握数字类规律是解题的关键．
（1）根据规律计算即可求解；
（2）根据规律即可求解；
（3）先将乘法化为加法，再加减即可求解；
【详解】（1）解：第5个等式：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式：，
故答案为：；
（3）解：原式．
．
题型05 图形类规律探索之数字问题
【典例5】（2024·湖南·二模）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．

根据此规律确定a的值为 ，b的值为 ，x的值为 ．
【答案】 9 10 69
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类规律探究，可得规律，，即可求解；找出规律是解题的关键．
【详解】解：根据题意得
，
解得：，
．
．
【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）某城市大剧院地面的一部分为扇形，观众席的座位按如下表方式设置，则第五排、第六排分别有 个座位；第n排有 个座位．
【答案】 62，65
【知识点】有理数加法在生活中的应用、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索
【分析】本题考查的是数字类的规律探究，列代数式．有理数加减的应用等知识．
（1）由后一排比前一排多3个座位，进而可求出第5排和第6排的座位数．
（2）由后一排比前一排多3个座位，从而可得出规律，从而可得答案．
【详解】解：（1）由表格数据可知：后边一排都比前边一排多3个座位，
所以第5排的座位为：（个）；6排有（个）
（2）第一排有50，
第二排有，
第三排有，
第三排有，
…
∴第n排有：，
故答案为：62，65，．
【变式2】（23-24七年级上·安徽·期末）探索规律：
在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示：
第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为；
第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为；
第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为；
……
根据以上规律，完成下列问题：
(1)尝试：第4次分割后，______
(2)初步应用：根据规律，求的值．
(3)拓展应用：利用以上规律，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】图形类规律探索
【分析】（1）根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论．
（2）利用规律解决问题即可．
（3）用转化的思想解决问题即可．
本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
【详解】（1）解：第4次分割后空白部分的面积为
故答案为：；
（2）解：第1次分割后空白部分的面积为
第2次分割后空白部分的面积为
第3次分割后空白部分的面积为
第4次分割后空白部分的面积为
∴
故答案为：
（3）解：由（2）得出
第n次分割后空白部分的面积为
∴
∴
题型06 图形类规律探索之数量问题
【典例6】（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）下列是用火柴棒拼出的一列图形．
仔细观察，找出规律，解答下列各题：
(1)第6个图中共有______根火柴；
(2)第n个图形中共有__________根火柴；（用含n的式子表示）
(3)第2021个图形中共有多少根火柴？
【答案】(1)19
(2)
(3)第2021个图形中共有6064根火柴．
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索
【分析】本题考查了规律型－图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
（1）观察图形发现规律：每个图形比前一个图形多3根火柴，进而求解；
（2）根据每个图形比前一个图形多3根火柴，总结规律即可；
（3）将代入（2）中代数式求解即可．
【详解】（1）解：第1个图中，火柴的根数是；
第2个图中，火柴的根数是；
第3个图中，火柴的根数是；
，
第6个图中，火柴的根数是；
即第6个图中共有19根火柴；
故答案为：19；
（2）解：由（1）可得第个图形中火柴有根，
故答案为：；
（3）解：当时，，
所以第2021个图形中共有6064根火柴．
【变式1】（23-24七年级上·安徽·单元测试）观察下列图形中点的个数．
(1)图2中点的个数是 ；
(2)若按其规律再画下去，如果图形中有36个点，那它是第 个图形；
(3)若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为 （用含n的代数式表示）．
【答案】(1)9；
(2)5；
(3)．
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索
【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．
（1）图2中点的个数为：
（2）由第1个图形中点的个数为：， 第2个图形中点的个数为：，第3个图形中点的个数为：，得出第n个图形中点的个数为：，进一步得出也就是第5个图形；
（3）利用 （2）中的规律得出答案即可．
【详解】（1）解：图2中点的个数是：，
故答案为：；
（2）解：第1个图形中点的个数为：
第2个图形中点的个数为：
第3个图形中点的个数为：，
…
∴第n个图形中点的个数为：
，
∴
∴是第5个图形，
故答案为：5；
（3）解：第n个图形中点的个数为：
故答案为：．
【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去．
(1)如果剪n次共能得到 个等边三角形．
(2)若原等边三角形的边长为1，设表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，如．
①试用含的式子表示 ；
②计算 ．
【答案】(1)
(2)①；②
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题z主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键．
（1）观察发现：每剪一次，等边三角形的个数增加3，据此写出代数式即可；
（2）①依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解答；
②运用①中的结论进行解答即可．
【详解】（1）解：由题意可知：
剪1次共得到的等边三角形个数为：；
剪2次共得到的等边三角形个数为：；
剪3次共得到的等边三角形个数为：；
…，
所以剪n次共得到的等边三角形个数为个．
故答案为：．
（2）解：①因为原等边三角形的边长为1，
所以第1次所剪出的小等边三角形的边长为：；
第2次所剪出的小等边三角形的边长为：；
第3次所剪出的小等边三角形的边长为：；
…，
所以第n次所剪出的小等边三角形的边长为：，即，
故答案为：；
②由①题可知：
；
令①，
则②，
得： ，
即．
故答案为：．
【变式3】（23-24七年级上·四川达州·期末）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案．
(1)第4个图案中，三角形的个数有 个，六边形的个数有 个；
(2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？
(3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？
(4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由．
【答案】(1)10；4
(2)第个图案中有正三角形个．六边形有个
(3)三角形的个数为个；六边形的个数为个
(4)没有，理由见详解
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索
【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论；
（2）结合（1）即可得一般形式；
（3）将代入（2）中所得的一般式即可求解；
（4）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形．
本题是一道找规律的题目，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第个就有正三角形个．这类题型在中考中经常出现．
【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个；
故答案为：10；4；
（2）解：由图可知：
第一个图案有正三角形4个为．
第二图案比第一个图案多2个为（个．
第三个图案比第二个多2个为（个．
那么第个图案中有正三角形个．六边形有个．
（3）解：由（2）知第个图案中有正三角形个．六边形有个
∴第2024个图案中，三角形与六边形各有：（个，
∴三角形的个数为个；六边形的个数为个
（4）解：没有，理由如下：
∵，
∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形．
一、单选题
1．（2024九年级下·云南·学业考试）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第个多项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了与多项式有关的规律探索，观察可知每个式子都是由a、b两个字母组成的，其中第n个式子的字母a的系数为，次数为 1，字母b的系数为1，次数为，据此可得答案．
【详解】解：第一个式子为，
第二个式子为，
第三个式子为，
第四个式子为，
第五个式子为，
……，
以此类推可知，每个式子都是由a、b两个字母组成的，其中第n个式子的字母a的系数为，次数为 1，字母b的系数为1，次数为，
∴第个多项式是，
．
2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）为了便于管理，毓龙路实验学校决定给每个学生编号，末尾用1表示男生，用2表示女生．例如：编号201901232表示2019年入学的1班23号学生，是位女生．那么2023年入学的10班3号男学生的编号为（ ）
A．202310301B．202301032C．202310031D．202310032
【答案】A
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了观察类比，关键在于理解题干给出的信息去类比归纳得出结果，根据题干规律，编号前四位数为年份，中间的四位数是班级与学号，最后一位数为1代表男生2代表女生，据此解答即可．
【详解】解：根据题意得：2023年入学的10班3号男学生的编号为202310031，
．
3．（23-24七年级上·广西桂林·期中）观察下面三行数：
，9，，81……①
1，，9，……②
，10，，82……③
设x，y，z分别为第①②③行的202个数，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【知识点】数字类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查数字类规律探究、代数式求值，找到每行数字的变化规律是解答的关键．先根据每行前几个数字的变化得到变化规律，进而求得a、b、c，然后代值求解即可．
【详解】解：①由，9，，81……，得第n个数为，则；
②由1，，9，……，得第n个数为，则；
③由，10，，82……，得第n个数为，则，
∴
，
．
4．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）利用如图1的二维码可以进行身份识别．我校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】图形类规律探索、有理数的乘方运算
【分析】本题主要考查图形的变化规律，有理数的乘方运算，根据班级序号的计算方法，进行计算即可．
【详解】解：、第一行数字从左到右依次为1，0，1，0，序号为，表示该生为10班学生，不符合题意；
、第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为，表示该生为6班学生，符合题意；
、第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，表示该生为9班学生，不符合题意；
、第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为，表示该生为7班学生，不符合题意；
故选：．
二、填空题
5．（23-24九年级下·广东茂名·期末）观察下列等式：，，，，，，，，．回答下面问题：的末位数字是 ．
【答案】4
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字型规律的探究．2的个位数字为2；的个位数字为6；的个位数字为4；的个位数字为0；的个位数字为2；确定循环节为4，计算，确定末位数字即可．
【详解】解：2的个位数字为2；
的个位数字为6；
的个位数字为4；
的个位数字为0；
的个位数字为2；
所以循环节为4，
因为，
所以的末位数字是4．
故答案为：4．
6．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知一组有理数a，b，我们将左边的数减去右边相邻的数即的值插入到a，b之间称之为一次“差数操作”．若，，第一次“差数操作”得2，5，；第二次“差数操作”得2，，5，8，；则第2024次“差数操作”所得数的和是 ．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字规律，理解“差数操作”的定义和发现操作一次数串比前一次之和多5的规律是解答本题的关键．根据题意，求出操作一次数串比前一次之和多5，进行求解即可．
【详解】解：第一次“差数操作”得2，5，；和为：；
第二次“差数操作”得2，，5，8，；和为：；
第三次“差数操作”得2，5，，，5，，8，，；和为：；
观察可知：操作一次数串比前一次之和多5
∴第次操作后，和为，
∴第2024次“差数操作”所得数的和是；
故答案为：．
7．（2024·湖南娄底·模拟预测）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：、和分别可以分裂成2个、3个和4个连续奇数的和，即，，，…若也按照此规律来进行分裂，则分裂出的奇数中，最小的奇数是 ．
【答案】999001
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类的规律变化，一般按照题中给出的形式写出前几组式子，正确找出数字的变化规律是解题的关键．根据“，，”，归纳出 “分裂”出的奇数中最小的奇数是，把代入，计算求值即可．
【详解】解：，且，
，且，
，且，
∴“分裂”出的奇数中最小的奇数是，
∴“分裂”出的奇数中最小的奇数是，
故答案为：999001．
8．（2024·四川成都·模拟预测）观察按一定规律排列的一组数：2，，，…，其中第个数记为，第个数记为，且满足，则 ； ．
【答案】 15/0.2
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查数字的变换规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．把相应的数字代入，从而得到，在分析其中的规律进行求解即可．
【详解】解由题意得：，
，
时，，
，
解得，
当时，可求得，
则这列数为：，
可看出分子为，分母为，
第个数为：，
．
故答案为：，．
三、解答题
9．（23-24七年级上·江西吉安·期中）有一列数，按一定规律排列成，…，观察这列数的规律解决如下问题：
(1)第七个数是______，第n个数可表示为________；
(2)若其中某三个相邻数的积是，求这三个数的和．
【答案】(1)64，
(2)12
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点．
（1）根据题目中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以写出相应的数据；
（2）根据（1）中发现的数字的特点和题意，可以计算出这三个数，从而可以得到这三个数的和．
【详解】（1）这列数为，…，
这列数的第个数为，
当时，这个数是，
故答案为：64，；
（2）设这三个数是，，，
则，
即，
解得，
这三个数是4，，16，
这三个数的和是．
10．（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）摆一摆，找规律．

(1)依次摆下去，图形⑤是什么图形？画出来．
(2)摆图形⑥需要用多少根小棒？
【答案】(1)长方形，见解析
(2)19
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查了图形的变化类问题，能够根据图形发现规律：多一个正方形，则多用3根火柴．
（1）根据规律画出图形即可；
（2）根据规律计算即可
【详解】（1）解：图形⑤是长方形，如图：

（2）解：观察图形发现：第一个图形需要4根火柴，多一个正方形，多用3根火柴，则第n个图形中，需要火柴；
当时，，
所以，摆图形⑥需要用19根小棒.
11．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察下面三行数：
；①
；②
；③
(1)第①行数第8个数是________；
(2)取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
【答案】(1)256
(2)
【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索
【分析】本题考查数字类规律探究，有理数的混合运算：
（1）观察第①行的数据可知，第个数据为，进行求解即可；
（2）观察数据可知，第②行数据为第①行数据加2得到，第③行数据为第①行数据除以2得到，进而表示出每行数的第10个数，列式计算即可．
【详解】（1）解：观察第①行的数据可知，第个数据为，
∴第①行数第8个数是；
故答案为：256；
（2）观察数据可知，第②行数据为第①行数据加2得到，第③行数据为第①行数据除以2得到，
∴每行数中的第10个数的和是
．
12．（23-24八年级下·江西吉安·期末）观察下面的变形规律：
解答下面的问题：
(1)若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想_____．
(2)计算：
(3)计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，熟练掌握与运用对相应的运算法则是解答的关键．
（1）分析所给的等式的形式，猜想规律即可解答；
（2）利用（1）所得的规律对代数式进行变形即可解答；
（3）利用（1）所得的规律对代数式进行变形即可解答．
【详解】（1）解：∵；；；
猜想．
故答案为：．
（2）解：


．
（3）解：
（3）解：由（2）可知规律：第个图案中三角形个数为，
第120个图案中三角形的个数是，
即第120个图案中三角形的个数是个．
14．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，每个小正方形的面积均为1．认真研读图形及对应的等式，寻找规律，完成下列问题：
(1)请写出第5个等式；
(2)猜想第n个等式，用含n的等式表示这个等式；
(3)一个用形状大小一样的无数个小正方体搭成的几何体，若从其正面看到的形状图是上面规律图的左图，从其上面看到的形状图是由400个小正方形组成的大正方形，则这个几何体最多共有多少个小正方体？
【答案】(1)；
(2)；
(3)这个几何体最多共有2200小正方体．
【知识点】图形类规律探索、从不同方向看几何体
【分析】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
（1）根据规律解答即可；
（2）利用规律可得第个等式：；
（3）根据从不同方向看到的几何体以及题目要求计算即可．
【详解】（1）解：∵第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
，
∴第5个等式：；
（2）解：猜想第个等式：；
（3）解：这个几何体最多共有：（个）．
答：这个几何体最多共有2200小正方体．
15．（24-25七年级上·全国·假期作业）将连续的奇数1，3，5，7，，排成如下的数表：十字框框出5个数和（如图所示），问：
(1)十字框框出5个数的和与框子正中间的数17有什么关系？
(2)若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数还有这种规律吗？
(3)若设中间的数为，用代数式表示十字框框住的5个数字之和；
(4)十字框框住的5个数之和能等于2000吗？能等于2055吗？若能，请分别写出十字框框住的5个数．
【答案】(1)十字框框住的5个数的和是17的5倍
(2)有，见解析
(3)
(4)不能等于2000，能等于2055；399、409、411、413、423
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、整式加减的应用、数字类规律探索
【分析】本题主要考查列代数式、数字的规律及一元一次方程的应用，根据数列的构成特点得出5个数之间的关系，列出方程依据条件取舍是解题的关键．
（1）求出这5个数的和即可得；
（2）根据表中的数，易发现另外的四个数中，上下的数相差是12，左右的数相差是2．根据这一关系进行表示各个数，再求和；
（3）若设中间的数为，则上面的为，下面的为，左面的为，右面的为，据此可得；
（4）根据五个数的和为2000或2055列方程求解后，依据数列为奇数列即可判断．
【详解】（1）解：，
十字框框住的5个数的和是17的5倍；
（2）解：如图所示：
，
若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数的和仍然是中间的数的5倍；
（3）解：若设中间的数为，则上面的为，下面的为，左面的为，右面的为，
；
（4）解：5个数之和不能等于2000，
当时，得，
不是奇数，
个数之和不能等于2000；
5个数之和能等于2055，
当时，得，
是奇数，
个数之和能等于2055，这5个数分别为399、409、411、413、423．
课程标准
学习目标
①掌握规律探索的方法
②掌握从特殊到一般、从个体到整体地观察
1．初步掌握规律探索的方法，并能对简单的规律进行用数学语言描述；
2．培养学生对数和字母应用的理解，从而拓展学生的视野；
3．掌握从特殊到一般、从个体到整体地观察。分析问题的方法，尝试从不同角度探究问题， 培养应用意识和创新意识。
排数
1
2
3
4
…
座位数
50
53
56
59
…