人教版七年级数学上册同步精品讲义第04讲专题1.4有理数的乘除法-【学生版+解析】

这是一份人教版七年级数学上册同步精品讲义第04讲专题1.4有理数的乘除法-【学生版+解析】，共42页。试卷主要包含了有理数的乘法法则，倒数，有理数的乘法运算律，有理数的除法法则，有理数的乘除混合运算等内容，欢迎下载使用。

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1.有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
法则二：任何数同0相乘，都得0；
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.
2.倒数
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。
注意：①0没有倒数；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；
④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。
3.有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba
⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac
4.有理数的除法法则
（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0
5.有理数的乘除混合运算
（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。
考点精讲
考点1：有理数的乘除法运算
典例：(1)（2022·全国·七年级课时练习）根据所给的程序(如图)计算：当输入的数为－时，输出的结果是____．
(2)（2022·福建·福州三牧中学九年级阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
巩固练习
1．（2021·全国·七年级期中）若三个有理数相乘的积为0，则（ ）
A．三个数都为0B．一个数为0
C．两个数为0，另一个不为0D．至少有一个数为0
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学期中）如果，，那么_________0．
3．（2022·全国·七年级）（1）|－2|×（－2）＝____，（2）|－|×5.2＝_____，
4．（2020·江苏无锡·七年级期中）绝对值不大于的所有整数的积等于_______．
5．（2022·江苏苏州·七年级期末）已知x，y，z是三个互不相等的整数，且xyz＝15，则x＋y＋z的最小值等于______．
6．（2022·全国·七年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
7．（2022·吉林·中考真题）要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A．+B．-C．×D．÷
8．（2022·全国·七年级课时练习）________．
9．（2022·全国·七年级课时练习）直接写出得数
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
考点2：有理数的倒数
典例：（2022·四川广安·中考真题）从百年前的“奥运三问”到今天的“双奥之城”，2022年中国与奥运再次牵手，2022年注定是不平凡的一年．数字2022的倒数是（ ）
A．2022B．﹣2022C．D．
巩固练习
1．（2022·广西·中考真题）的倒数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·贵州黔东南·中考真题）下列说法中，正确的是（ ）
A．2与互为倒数B．2与互为相反数C．0的相反数是0D．2的绝对值是
4．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学期中）的倒数是_________．
5．（2022·全国·七年级专题练习）写出下列各数的倒数．
(1)0.25
(2)
(3)
(4)－1.25
(5)0
考点3：有理数的四则混合运算
典例：（2022·四川乐山·七年级期末）计算：
(1)
(2)
巩固练习
1．（2022·天津·模拟预测）计算的结果为（ ）
A．4B．-4C．16D．-16
2．（2022·全国·七年级课时练习）计算：得（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·七年级）计算：．
4．（2022·全国·七年级）计算：
5．（2022·广西贺州·七年级期末）计算：
(1)；
(2)
6．（2022·江苏扬州·七年级期末）计算：
(1)
(2)
考点4：与数轴有关的字母符号判断
典例：（2022·贵州铜仁·七年级期末）有理数在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（ ）
A．B．C．D．
巩固练习
1．（2022·广东·模拟预测）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏南京·二模）如图，在数轴上，点A，B分别表示实数a，b．下列算式中，结果一定是负数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·山西吕梁·七年级期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·重庆巫溪·七年级期末）已知数a，b，c在数轴上对应点位置如图所示，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·江西抚州·七年级期末）如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c，则下列结论中：①；②；③；④；⑤，正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．（2022·河北保定·七年级期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，如果，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
考点5：有理数乘除法法在生活中的应用
典例：（2022·贵州毕节·七年级期末）以45千克为七年级学生的标准体重测量7名学生的体重，把超过标准体重的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，将其体重记录如下表：
(1)最接近标准体重的是学生_______（填序号）．
(2)最大体重与最小体重相差_________千克．
(3)求7名学生的平均体重．
巩固练习
1．（2021·浙江杭州·七年级阶段练习）在一个底面半径为10厘米的圆柱形水桶里，垂直放入一根底面半径为5厘米的圆柱形钢材，如果钢材完全浸没在水中，桶里的水位上升了9厘米（水未溢出），则这根钢材的体积是________立方厘米．（取3.14）
2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品24袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
(1)这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？
(2)若标准质量为400克，则抽样检测的总质量是多少克？
3．（2021·云南·景谷傣族彝族自治县教育体育局教研室七年级期末）在我市创建“卫生城市”过程中，某天市交警大队的一辆警车在东西方向的街上巡视，警车从某广场A处出发，规定向东方向为正，当天行驶纪录如下（单位：千米）：，，，，，，，．
(1)最后警车是否回到广场A处？若没有，在广场A处何方？距广场A处多远？
(2)若警车行驶1千米耗油0.2升，出发时油箱中有油8升，问在当天巡视中，油箱中的油够不够？若不够，途中还需补充多少升油？
4．（2022·陕西渭南·七年级期末）某家具厂计划每天生产100套桌椅，由于各种原因，每天的实际产量和计划的产量有出入.下表为12月第一周的生产情况（增产为正，减产为负）：
(1)若每套桌椅的材料费是200元，则产量最多的一天比产量最少的一天多花了多少元的材料费？
(2)该厂实行每日计件工资制度，每生产一套桌椅得50元。当天超额完成的部分每套另加奖20元，少生产一套则扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
5．（2022·全国·七年级课时练习）问题探索：如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm．
（2）图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ．
实际应用：由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
（3）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦! ”请问妙妙现在多少岁了？
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022·广西玉林·中考真题）5的倒数是( )
A．B．C．5D．
2．（2022·浙江丽水·三模）如图，运算中的（ ）处，填写的理由是（ ）
A．乘法交换律B．乘法结合律C．分配律D．加括号
3．（2022·广西·靖西市教学研究室七年级期中）计算（﹣1）÷3×（﹣）的结果是（ ）
A．﹣1B．1C．D．9
4．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）在□3的“□”中填入一个运算符号，使其运算结果最小，则“□”中填的是（ ）
A．＋B．－C．×D．÷
5．（2022·四川遂宁·七年级期末）已知有理数a，b，c满足，则的值不可能为（ ）
A．3B．C．1D．2
6．（2022·江苏宿迁·七年级期末）有两个正数a和b，满足a＜b，规定把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b],例如大于等于0且小于等于5的所有数记作[0，5]．如果m在[5，15]中，n在[20，30]中，则的一切值所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·湖南邵阳·七年级期末）_________．
8．（2022·上海奉贤·二模）某眼镜店暑假期间开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如图，那么广告牌上填的原价是______元．
9．（2022·四川眉山·七年级期末）小明在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数a，加*键，再输入数b，就可以得到运算a*b=3a+2b，请照此程序运算（）*3=______．
10．（2022·山西吕梁·七年级期末）有理数的乘法运算，除了用乘法口诀外，现有一种“划线法”：如图1，表示的乘法算式是12×23=276；图2表示的是123×24=2952．则图3表示的乘法算式是___．
11．（2022·内蒙古巴彦淖尔·七年级期末）从－4，－3，0，2，5这5个数中任取两个数相乘，所得的乘积中最大数与最小数的差为______．
12．（2022·四川绵阳·七年级期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段AB上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过______秒时线段PQ的长为8厘米．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·湖北孝感·七年级期末）计算：
(1)；
(2).
14．（2022·山西阳泉·七年级期末）阅读并解答问题：学习有理数的乘法后，老师南同学思考这样道题目：计算，看谁算得又快又对．
有三位同学的解法如下：
小方：原式；
小军：
；
小红：原式
．
(1)对于以上三种解法，你认为哪位同学的解法比较简单？
(2)根据上面解法对你的启示，请用你认为最合适的方法计算：．
15．（2022·安徽·宣城市宣州区卫东学校一模）请列式计算：某检修小组乘坐一辆汽车沿东西方向的公路检修输电线路，规定向东为正，他们从地出发到收工时，走过的路程记录如下（单位：千米），，，，，，，．
(1)他们收工时在地哪个方向，距离地多远？
(2)汽车行走的总路程是多少千米？
(3)若汽车每千米耗油0.4升，汽车从现在位置返回地还需耗油多少升？
学生（号）
1
2
3
4
5
6
7
与标准体重之差（千克）
与标准质量的差值（单位：g）
0
1
3
6
袋数
2
5
4
4
6
3
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
-1
+10
+8
0
+4
-3
-6
（乘法交换律）
（ ）
．
专题1.4 有理数的乘除法
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1.有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
法则二：任何数同0相乘，都得0；
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.
2.倒数
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。
注意：①0没有倒数；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；
④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。
3.有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba
⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac
4.有理数的除法法则
（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0
5.有理数的乘除混合运算
（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。
考点精讲
考点1：有理数的乘除法运算
典例：(1)（2022·全国·七年级课时练习）根据所给的程序(如图)计算：当输入的数为－时，输出的结果是____．
【答案】10
【解析】
【分析】
利用程序框图中的各步运算要求，把－代入，直接运算求解即可．
【详解】
解：由题意可知：输出的结果为：．
故答案为：10．
【点睛】
本题主要是考察了有理数的乘法运算，读懂程序框图，列出对应的乘法算式，是解决此类问题的关键，另外也要注意同号和异号乘法的变号问题．
(2)（2022·福建·福州三牧中学九年级阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据有理数的除法法则进行计算即可．
【详解】
解：=-3，
故选：D．
【点睛】
本题考查了有理数的除法，熟记有理数的除法法则是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·全国·七年级期中）若三个有理数相乘的积为0，则（ ）
A．三个数都为0B．一个数为0
C．两个数为0，另一个不为0D．至少有一个数为0
【答案】D
【解析】
【分析】
由0乘以任何数都得0，从而可得答案．
【详解】
解：三个有理数相乘的积为0，则三个有理数中至少有一个为0，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是多个有理数的乘法，掌握“0乘以任何数都得0”是解本题的关键．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学期中）如果，，那么_________0．
【答案】>
【解析】
【分析】
根据有理数的乘法法则即可判断．
【详解】
解：因为，
所以．
故答案为：>．
【点睛】
本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键，有理数的乘法法则：两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘．
3．（2022·全国·七年级）（1）|－2|×（－2）＝____，（2）|－|×5.2＝_____，
【答案】
【解析】
【分析】
（1）先求出|－2|=2，然后再用有理数乘法运算法则即可求解；
（2）先求出，然后再用有理数乘法运算法则即可求解；
【详解】
解：（1）原式，
故答案为：；
（2）原式 ，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查有理数的乘法，绝对值，掌握有理数乘法运算法则是解题的关键．
4．（2020·江苏无锡·七年级期中）绝对值不大于的所有整数的积等于_______．
【答案】0
【解析】
【分析】
先求出绝对值不大于π的整数，再根据有理数的乘法法则计算即可．
【详解】
解：∵绝对值不大于π的整数有0，±1，±2，±3，
∴积为：0×1×（-1）×2×（-2）×3×（-3）=0，
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，绝对值，有理数的乘法等知识点，求出绝对值不大于π的所有整数是解此题的关键．
5．（2022·江苏苏州·七年级期末）已知x，y，z是三个互不相等的整数，且xyz＝15，则x＋y＋z的最小值等于______．
【答案】
【解析】
【分析】
由x，y，z是三个互不相等的整数，根据的因数有，且x＋y＋z的最小值，则分别为即可求得最小值
【详解】
解： x，y，z是三个互不相等的整数，且xyz＝15，
则分别为或或，或，或
根据负数的大小比较可知绝对值越大，其值越小，则当分别为时，x＋y＋z的值最小
x＋y＋z的最小值等于
故答案为：-15
【点睛】
本题考查了有理数的乘法，有理数的大小比较，掌握负数的大小比较是解题的关键．
6．（2022·全国·七年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)0(2)(3)(4)
【解析】
【分析】
（1）0乘以任何数都等于0；
（2）利用有理数的乘法法则，同号得正，异号得负，先确定符号，然后进行计算即可；
（3）利用有理数的乘法法则，同号得正，异号得负，先确定符号，然后进行计算即可；
（4）利用有理数的乘法法则，同号得正，异号得负，先确定符号，然后进行计算即可．
(1)解：；
(2)解：；
(3)解：；
(4)解：；
【点睛】
本题主要考查有理数的乘法法则，熟练运用乘法法则是解题关键．
7．（2022·吉林·中考真题）要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A．+B．-C．×D．÷
【答案】A
【解析】
【分析】
将各选项的运算符号代入计算即可得．
【详解】
解：，
，
，
，
因为，
所以要使运算结果最大，应填入的运算符号为，
故选：A．
【点睛】
本题考查有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
8．（2022·全国·七年级课时练习）________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据负因数2个确定积的符号为正号，把除法转化为乘法，求出结果．
【详解】
解：原式=
故答案为 ．
【点睛】
本题考查有理数的乘除混合运算，解决问题的关键是把除法转化为乘法．
9．（2022·全国·七年级课时练习）直接写出得数
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
【答案】(1)16(2)(3)3(4)8(5)(6)(7)0.7
【解析】
【分析】
（ 1）利用有理数的除法直接计算即可；
（2 ）直接利用分数相乘的运算法则计即可；
（3 ）利用乘除法的混合运算法则计算即可；
（4 ）利用除法直接计算即可；
（5 ）利用有理数的减法直接计算即可；
（6 ）利用分数的乘除法直接计算即可；
（7 ）利用除法直接计算即可．
(1)
，
，
(2)，
(3)
=
，
(4)8，
(5)，
(6)
，
(7)0.7．
【点睛】
本题考查了实数的加减乘除的运算法则，解题的关键是掌握相关的运算法则及混合运算中的顺序．
考点2：有理数的倒数
典例：（2022·四川广安·中考真题）从百年前的“奥运三问”到今天的“双奥之城”，2022年中国与奥运再次牵手，2022年注定是不平凡的一年．数字2022的倒数是（ ）
A．2022B．﹣2022C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据倒数的定义，即可求解．
【详解】
解：2022的倒数是．
故选：D
方法或规律点拨
本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·广西·中考真题）的倒数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据倒数的概念作答即可．
【详解】
的倒数是，
故选：A．
【点睛】
本题考查了倒数的概念，即乘积为1的两个数互为倒数，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据倒数的定义进行解答即可．
【详解】
解：，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，是解题的关键．
3．（2022·贵州黔东南·中考真题）下列说法中，正确的是（ ）
A．2与互为倒数B．2与互为相反数C．0的相反数是0D．2的绝对值是
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相反数定义，倒数定义，绝对值定义对各选项进行一一判断即可．
【详解】
解：A. 2与互为相反数，故选项A不正确
B. 2与互为倒数，故选项B不正确；
C. 0的相反数是0，故选项C正确；
D. 2的绝对值是2，故选项D不正确．
故选C．
【点睛】
本题考查相反数定义，倒数定义，绝对值定义，掌握相关定义是解题关键．
4．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学期中）的倒数是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据倒数的定义，即可求解.
【详解】
∵，×=1，
∴的倒数是．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查倒数的概念，掌握倒数的概念是解题的关键.
5．（2022·全国·七年级专题练习）写出下列各数的倒数．
(1)0.25
(2)
(3)
(4)－1.25
(5)0
【答案】(1)4(2)(3)(4)(5)0没有倒数
【解析】
【分析】
根据倒数的定义逐一解答即可．
(1)解：0.25的倒数是4；
(2)解：的倒数是；
(3)解：的倒数是；
(4)解：﹣1.25的倒数是；
(5)解：0没有倒数．
【点睛】
本题考查了倒数的定义，属于基础概念题型，熟知倒数的概念是解题的关键．
考点3：有理数的四则混合运算
典例：（2022·四川乐山·七年级期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)－8(2)3
【解析】
【分析】
（1）先去括号，根据有理数的加减运算进行计算即可；
（2）根据有理数的乘除混合运算进行计算即可
(1)解：原式＝
(2)解：原式＝
方法或规律点拨
本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·天津·模拟预测）计算的结果为（ ）
A．4B．-4C．16D．-16
【答案】D
【解析】
【分析】
根据有理数的乘法和除法的运算法则运算即可．
【详解】
解：原式=
=-16．
故选：D．
【点睛】
本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数乘法和除法的运算法则．
2．（2022·全国·七年级课时练习）计算：得（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
同级运算从左向右依次计算，计算过程中注意正负符号的变化．
【详解】
解：，
故选B．
【点睛】
本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2022·全国·七年级）计算：．
【答案】10
【解析】
【分析】
利用有理数的乘法的法则，有理数的除法的法则对式子进行运算即可．
【详解】
解：
（﹣4）
＝10．
【点睛】
本题主要考查有理数的乘法，有理数的除法，解题的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（2022·全国·七年级）计算：
【答案】﹣
【解析】
【分析】
先确定结果的符合，将除化为乘，再约分即可．
【详解】
解：
﹣
＝﹣．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序及相关法则．
5．（2022·广西贺州·七年级期末）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)0
(2)3
【解析】
【分析】
（1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可；
（2）利用有理数的乘除混合运算法则计算即可．
(1)解：原式．
(2)解：原式 ．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握和运用有理数混合运算的法则是解决本题的关键．
6．（2022·江苏扬州·七年级期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)2(2)
【解析】
(1)解：
；
(2)解：
.
【点睛】
本题主要考查了有理数的加减计算，有理数的乘除计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
考点4：与数轴有关的字母符号判断
典例：（2022·贵州铜仁·七年级期末）有理数在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由数轴得b<0<1【详解】
解：由数轴得b<0<1∴a>b，，ab<0，，
故选：B．
方法或规律点拨
此题考查了利用点在数轴上的位置判断式子的正负，熟记有理数的运算法则是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·广东·模拟预测）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据比较a、b在数轴上的位置进行解答即可．
【详解】
解：如图所示：a<0A、a+b<0，故此选项错误；
B、|a|＞|b|，正确；
C、﹣a＞b，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了根据点在数轴上的位置确定式子的正负，掌握数形结合思想是解答本题的关键.
2．（2022·江苏南京·二模）如图，在数轴上，点A，B分别表示实数a，b．下列算式中，结果一定是负数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图示知b＜a＜0，并且|a|＜|b|．根据有理数的加减乘除法运算的计算法则即可求解．
【详解】
解：解：由数轴得b＜a＜0，|a|＜|b|．
A、a+b＜0，故该选项符合题意；
B、a-b＞0，故该选项不符合题意；
C、ab＞0，故该选项不符合题意；
D、a÷b＞0，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，利用数轴得出b＜a＜0，|a|＜|b|是解题关键，又利用了有理数的运算．
3．（2022·山西吕梁·七年级期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数轴判断a与b的大小关系即可求出答案．
【详解】
解：由数轴可知：-b＜a＜0＜-a＜b，
A．a+b＞0，故本选项不符合题意．
B．ab＜0，故本选项不符合题意．
C．a÷b＜0，故本选项符合题意．
D．a-b＜0，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查数轴，解题的关键是正确得出-b＜a＜0＜-a＜b，本题属于基础题型．
4．（2022·重庆巫溪·七年级期末）已知数a，b，c在数轴上对应点位置如图所示，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数轴判断出a<0，c<0，b>0，然后再根据绝对值的概念及有理数的乘、除法法则逐个判断即可．
【详解】
解：由数轴可知：a<0，c<0，b>0，
选项A：由数轴及绝对值的意义可知，数a离原点比数b离原点更远，所以，故选项A错误；
选项B：数a离原点比数c离原点更远，所以，故选项B错误；
选项C：三个数a、b、c中有两个数a、c<0，另一数b>0，根据两数相乘同号得正，异号得负可知，，故选项C错误；
选项D：，根据两数相除，同号得正，异号得负可知：，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了数轴的定义及有理数的乘除法法则，解题的关键是正确理解数轴与有理数之间的关系，本题属于基础题型．
5．（2022·江西抚州·七年级期末）如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c，则下列结论中：①；②；③；④；⑤，正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
先由数轴得出a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，再根据有理数的加法法则、有理数的乘除法法则、绝对值的法则等分别分析，可得答案．
【详解】
解：由数轴可得：
a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1且，
∴a+b+c＜0，故①错误，⑤正确；
∵a，b，c中两负一正
∴a•b•c＞0，故②正确；
∵a＜0，b＜0，c＞0
∴a+b﹣c＜0，故③错误；
∵a＜﹣2＜b＜﹣1
∴0＜＜1，故④正确．
综上，可知，正确的有3个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了数轴在有理数加减乘除法运算中的应用，数形结合，是解题的关键．
6．（2022·河北保定·七年级期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，如果，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据，确定原点的位置，再根据a，b，c与原点的距离判断选项；
【详解】
解：∵，
∴a，b互为相反数，
∴a＜0＜b＜c；
A，因为|a|=|b|＜c，所以描述错误；
B，c点离原点的距离大于a点离原点的距离，结论正确；
C，a＜0，abc＜0，结论错误；
D，a不为零，结论错误；
故答案选：B
【点睛】
本题考查了数轴上点的位置关系，数轴上右边的点大于左边的点，离原点越远数越大，解决本题的关键是确定原点的位置．
考点5：有理数乘除法法在生活中的应用
典例：（2022·贵州毕节·七年级期末）以45千克为七年级学生的标准体重测量7名学生的体重，把超过标准体重的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，将其体重记录如下表：
(1)最接近标准体重的是学生_______（填序号）．
(2)最大体重与最小体重相差_________千克．
(3)求7名学生的平均体重．
【答案】(1)4号(2)11(3)46千克
【解析】
【分析】
（1）与标准体重之差的绝对值越小，就最接近标准体重，直接观察绝对值最小的数即可；
（2）由表格可知最高体重是第7名学生，最低体重是第1名学生，从而可以求得最高体重与最低体重相差多少；
（3）用标准体重加上七名学生与标准体重之差的平均数，即为七名学生的平均体重．
(1)解：由表格可知，4号学生的体重与标准体重之差的绝对值最小，
∴最接近标准体重的是4号学生．
故答案为：4号；
(2)解：由表格可知最高体重是第7名学生，最低体重是第1名学生，
∴体重之差为：6-（-5）=11（千克）
故答案为：11；
(3)解：7名学生的平均体重＝45+（﹣5+3+2﹣1﹣2+4+6）÷7＝46（千克），
∴7名学生的平均体重为46千克．
方法或规律点拨
本题考查了有理数混合运算，正负数的实际运用，在解决实际问题中，要充分运用正负数的意义解题，发挥正负数的作用．
巩固练习
1．（2021·浙江杭州·七年级阶段练习）在一个底面半径为10厘米的圆柱形水桶里，垂直放入一根底面半径为5厘米的圆柱形钢材，如果钢材完全浸没在水中，桶里的水位上升了9厘米（水未溢出），则这根钢材的体积是________立方厘米．（取3.14）
【答案】2826
【解析】
【分析】
根据题意得出圆柱形钢材的体积等于上升的水的体积,上升的水的体积等于高为9厘米,底面半径为10厘米的圆柱的体积,据此解答即可．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
此题考查根据圆柱的体积公式列出式子,准确列出式子进行运算是解题关键．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品24袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
(1)这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？
(2)若标准质量为400克，则抽样检测的总质量是多少克？
【答案】(1)样品平均质量比标准质量多，多0.75克
(2)总质量为9618克
【解析】
【分析】
（1）根据正负数的意义将表格中的数据进行计算，如果结果为正则比标准质量多，如果结果为负则比标准质量少；
（2）根据（1）计算的结果，结合标准质量进行求解即可．
(1)解：克，
克
∴这批样品的平均质量比标准质量多，多0.75克；
(2)解：克，
∴抽样检测的总质量是9618克，
答：抽样检测的总质量是9618克．
【点睛】
本题主要考查了有理数混合计算的应用，正确理解题意是解题的关键．
3．（2021·云南·景谷傣族彝族自治县教育体育局教研室七年级期末）在我市创建“卫生城市”过程中，某天市交警大队的一辆警车在东西方向的街上巡视，警车从某广场A处出发，规定向东方向为正，当天行驶纪录如下（单位：千米）：，，，，，，，．
(1)最后警车是否回到广场A处？若没有，在广场A处何方？距广场A处多远？
(2)若警车行驶1千米耗油0.2升，出发时油箱中有油8升，问在当天巡视中，油箱中的油够不够？若不够，途中还需补充多少升油？
【答案】(1)没有；西方；5千米
(2)不够；4.6升
【解析】
【分析】
（1）将各数相加即可确定警车所在的方向及距离；
（2）将所有路程相加，然后乘以每千米油耗，最后进行加减计算即可．
(1)没有，（千米）．
答：警车在广场A的西方，距广场A处5千米处．
(2)（千米），
（升）
（升）．
答：途中还需补充4.6升．
【点睛】
题目主要考查正负数的意义及有理数的加减运算及乘法运算的应用，理解题意是解题关键．
4．（2022·陕西渭南·七年级期末）某家具厂计划每天生产100套桌椅，由于各种原因，每天的实际产量和计划的产量有出入.下表为12月第一周的生产情况（增产为正，减产为负）：
(1)若每套桌椅的材料费是200元，则产量最多的一天比产量最少的一天多花了多少元的材料费？
(2)该厂实行每日计件工资制度，每生产一套桌椅得50元。当天超额完成的部分每套另加奖20元，少生产一套则扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【答案】(1)3200元
(2)35940元
【解析】
【分析】
(1)按照10-(-6)=16，再16×200=3200计算即可．
(2)按照生产支付工资，奖励工资，扣罚工资的和计算即可．
(1)根据题意，得[10-（-6）]×200=3200（元）．
(2)根据题意，得
[700+10+8+4-1-3-6]×50+（10+8+4）×20-（1+3+6）×10=35940(元)．
【点睛】
本题考查了有理数加减混合运算，正确理解题意，选择正确的计算方法是解题的关键．
5．（2022·全国·七年级课时练习）问题探索：如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm．
（2）图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ．
实际应用：由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
（3）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦! ”请问妙妙现在多少岁了？
【答案】（1）8；（2）14，22；（3）15岁
【解析】
【分析】
（1）根据图象可知3倍的AB长为30−6＝24（cm），这样AB长就可以求出来了．
（2）A点在6的右侧8单位长度，可以求出A点的数值为14，B点在A点右侧8个单位长度，也可以求出B点的数值．
（3）运用上边的模型把奶奶与妙妙的年龄差理解为一个线段，115−（−35）就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出各自的年龄．
【详解】
解：解：（1）观察数轴可知三根木棒长为30−6＝24（cm），则这根木棒的长为24÷3＝8（cm）；
故答案为8．
（2）6＋8＝14，
14＋8＝22．
所以图中A点所表示的数为14，B点所表示的数为22．
故答案为：14，22．
（3）当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为岁，
所以奶奶与妙妙的年龄差为（岁），
所以妙妙现在的年龄为（岁）.
【点睛】
本题考查了数轴，主要考查了一个线段模型的运用．解题的关键在于运用前两问给定的解题模型去求解奶奶与妙妙的年龄差，进而求出奶奶的年龄．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022·广西玉林·中考真题）5的倒数是( )
A．B．C．5D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据倒数的意义可直接进行求解．
【详解】
解：5的倒数是；
故选A．
【点睛】
本题主要考查倒数，熟练掌握求一个数的倒数是解题的关键．
2．（2022·浙江丽水·三模）如图，运算中的（ ）处，填写的理由是（ ）
A．乘法交换律B．乘法结合律C．分配律D．加括号
【答案】B
【解析】
【分析】
根据运算过程可知是根据乘法结合律．
【详解】
解：
(乘法交换律)
(乘法结合律)


故选：B．
【点睛】
本题考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握和运用有理数的乘法运算律是解决本题的关键．
3．（2022·广西·靖西市教学研究室七年级期中）计算（﹣1）÷3×（﹣）的结果是（ ）
A．﹣1B．1C．D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据有理数乘除法的计算法则进行计算即可．
【详解】
解：原式=．
故选：C．
【点睛】
本题考查有理数的乘除法，掌握有理数乘除法的计算方法是正确计算的前提．
4．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）在□3的“□”中填入一个运算符号，使其运算结果最小，则“□”中填的是（ ）
A．＋B．－C．×D．÷
【答案】C
【解析】
【分析】
把各运算符号放入“□”中，计算得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：-2+3=1，-2-3=-5，-2×3=-6，-2÷3=，
∵-6＜-5＜-＜1，
∴在□3的“□”中填入一个运算符号“×”使运算结果最小，故C正确．
故选：C．
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除运算法则，是题的关键．
5．（2022·四川遂宁·七年级期末）已知有理数a，b，c满足，则的值不可能为（ ）
A．3B．C．1D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据有理数的加法和有理数的除法运算法求解，然后根据绝对值的性质解答即可．
【详解】
∵有理数a，b，c满足，
当有一个负数时， =-1+1+1=1
当有两个负数时，=-1-1+1=-1；
当有三个负数时，=-1-1-1=-3
当全为正数时，=-1+1+1=3；
∴的值不可能为2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了有理数的除法和绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，难点在于判断出负数的个数．
6．（2022·江苏宿迁·七年级期末）有两个正数a和b，满足a＜b，规定把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b],例如大于等于0且小于等于5的所有数记作[0，5]．如果m在[5，15]中，n在[20，30]中，则的一切值所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据m在[5,15]内，n在[20,30]内，可得的最小值与最大值．
【详解】
解：∵m在[5，15]内，n在[20，30]内，
∴5≤m≤15，20≤n≤30，
∴的最小值为，最大值为
∴的一切值所在的范围是．
故选：A．
【点睛】
本题考查了新定义的有理数运算，关键是得到5⩽m⩽15，20⩽n⩽30，求出的最大与最小值．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·湖南邵阳·七年级期末）_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据有理数的混合计算法则求解即可．
【详解】
解：
，
故答案为：0．
【点睛】
本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
8．（2022·上海奉贤·二模）某眼镜店暑假期间开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如图，那么广告牌上填的原价是______元．
【答案】200
【解析】
【分析】
根据题意可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得：原价为160÷0.8=200（元）；
故答案为200．
【点睛】
本题主要考查有理数除法的应用，解题的关键是理解题意．
9．（2022·四川眉山·七年级期末）小明在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数a，加*键，再输入数b，就可以得到运算a*b=3a+2b，请照此程序运算（）*3=______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意即可得到，由此求解即可．
【详解】
解：∵a*b=3a+2b，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了有理数的四则混合运算，正确理解题意是解题的关键．
10．（2022·山西吕梁·七年级期末）有理数的乘法运算，除了用乘法口诀外，现有一种“划线法”：如图1，表示的乘法算式是12×23=276；图2表示的是123×24=2952．则图3表示的乘法算式是___．
【答案】31×42=1302
【解析】
【分析】
通过观察发现，从左到右是一个乘数的高位到个位，从下到上是另一个乘数的数高位到个位，由此可求解．
【详解】
解：31×42=1302，
故答案为：31×42=1302．
【点睛】
本题考查有理数的乘法，通过观察所给的图形，结合乘法算式，找到运算规律是解题的关键．
11．（2022·内蒙古巴彦淖尔·七年级期末）从－4，－3，0，2，5这5个数中任取两个数相乘，所得的乘积中最大数与最小数的差为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据有理数的乘法法则得出乘积中最大数与最小数，再根据有理数的减法法则计算即可．
【详解】
解：从，，0，2，5这5个数中任取两个数相乘，所得的乘积中最大数为：；最小数为：，
故乘积中最大数与最小数的差为：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了有理数的乘法和减法．分析出积的最大值和最小值是解决本题的关键．
12．（2022·四川绵阳·七年级期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段AB上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过______秒时线段PQ的长为8厘米．
【答案】3或13或1 或
【解析】
【分析】
分四种情况讨论：（1）点P、Q都向右运动时， （2）点P、Q都向左运动时， （3）点P向左运动，点Q向右运动时， （4）点P向右运动，点Q向左运动时，再列式计算即可.
【详解】
解： 厘米，点C在线段AB上，且厘米．
（厘米）
（1）点P、Q都向右运动时， （8-5）÷（2-1） =3÷1 =3（秒）
（2）点P、Q都向左运动时， （8+5）÷（2-1） =13÷1 =13（秒）
（3）点P向左运动，点Q向右运动时， （8-5）÷（2+1） =3÷3 = 1 （秒）
（4）点P向右运动，点Q向左运动时， （8+5）÷（2+1） =13÷3 =（秒）
∴经过3、13、 1 或 秒时线段PQ的长为8厘米．
故答案为：3或13或1 或
【点睛】
本题考查的是数轴上两点之间的距离，有理数的加减乘除混合运算的实际应用，理解题意，列出正确的运算式，清晰的分类讨论，都是解本题的关键.
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·湖北孝感·七年级期末）计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）把除法转化为乘法，利用乘法分配律简便运算；
（2）先算括号内，再算乘除，最后计算加法
(1)
；
(2)
原式
．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序是解决问题的关键，注意利用运算律简便运算．
14．（2022·山西阳泉·七年级期末）阅读并解答问题：学习有理数的乘法后，老师南同学思考这样道题目：计算，看谁算得又快又对．
有三位同学的解法如下：
小方：原式；
小军：
；
小红：原式
．
(1)对于以上三种解法，你认为哪位同学的解法比较简单？
(2)根据上面解法对你的启示，请用你认为最合适的方法计算：．
【答案】(1)小红解法比较简单
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，利用乘法分配律进行计算，凑整计算较简单，
（2）按照小红的解法计算即可
(1)解：利用乘法分配律进行计算，凑整计算较简单，小红解法比较简单；
(2).
.
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【点睛】
本题考查了有理数运算中的简便运算，掌握乘法分配律是解题的关键．
15．（2022·安徽·宣城市宣州区卫东学校一模）请列式计算：某检修小组乘坐一辆汽车沿东西方向的公路检修输电线路，规定向东为正，他们从地出发到收工时，走过的路程记录如下（单位：千米），，，，，，，．
(1)他们收工时在地哪个方向，距离地多远？
(2)汽车行走的总路程是多少千米？
(3)若汽车每千米耗油0.4升，汽车从现在位置返回地还需耗油多少升？
【答案】(1)他们收工时在地西面，距离地3千米
(2)65千米
(3)升
【解析】
【分析】
（1）求出全部数据的和即可求解；
（2）只需求得所有数的绝对值的和，即为汽车的行程；
（3）用（1）中得出的结论乘以0.4即可求得．
(1)解：（千米），
答：他们收工时在地西面，距离地3千米；
(2)解：（千米），
答：汽车行走的总路程是65千米；
(3)解：由（1）知汽车现在在地西面，距离地3千米，则
（升），
答：汽车从现在位置返回A地共耗油升．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，涉及正数和负数的含义、会求有理数的绝对值，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义．学生（号）
1
2
3
4
5
6
7
与标准体重之差（千克）
与标准质量的差值（单位：g）
0
1
3
6
袋数
2
5
4
4
6
3
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
-1
+10
+8
0
+4
-3
-6
（乘法交换律）
（ ）
．