反比例函数与图形旋转问题模型-2024-2025学年度数学中考备考好模型好方法之函数模型精讲学案

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模型示例：如图，B为反比例函数（）图像上的一点，为x轴负半轴上一点，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°，点B的对应点为C．若点C恰好也在该反比例函数的图像上，且点C的横坐标是点A横坐标的2倍，求k的值．
步 作辅助线构造“一线三垂直”模型，得到全等三角形，进而得到相等的线段．
如图，过点C作轴于E， 过点E作轴于F，
∴，
∴，由旋转知， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
第②步 根据已知的点A的坐标结合第①步的结论建立关于k的方程并求解：
∵C点的横坐标是A点横坐标的两倍，且点，
∴点，
∵点C在反比例函数的图象上，
，，
∵，
∴，
∴，
∵点B在反比例函数的图象上，
，
，
∵，
，
.
适用范围：反比例函数结合图形的旋转问题.
一要熟记旋转的性质，二要结合勾股定理或相似（全等）三角形，三要掌握函数图象上点的坐标特点
如图，矩形的顶点A，B分别在x轴，y轴上，，将矩形绕点O顺时针旋转，若点D正好落在反比例函数的图象上，则 ．

30
作轴，垂足为E，可证明，得到，代入数据求出，，即可求出点D坐标，再根据旋转性质得到旋转后的点D坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k值即可．
解：如图，作轴，垂足为E，

，
，，
∴，
∴，即，
，，
，
，
根据旋转性质，三角形绕点O顺时针旋转后，点D落在第一象限，且坐标为，
∵点在反比例函数图象上，
．
故答案为：30．
1．如图，在平面直角坐标系中，为函数图像上的一点，过点作轴于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上，若点，，则的值为（ ）
A．16B．20C．D．
2．如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在轴上，与此同时顶点C落在点处，则过点的反比例函数中，k的值为（ ）

A．12B．C．D．
3．如图，在平面直角坐标系中，线段绕点O逆时针旋转30°至线段，点A经过的路程是，若反比例函数的图象经过的中点B，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知的顶点，边与轴的负半轴交于点，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在反比例函数（），则点的坐标为（ ）
A．−3,2B．C．D．2,3
5．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，，点A的坐标为，将绕着点B旋转得到，若反比例函数的图象经过点D和点E，则k的值为 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点的坐标为，端点的坐标为．点是线段上的点，将点绕点逆时针旋转得到点，若函数 的图象过点，则满足的取值范围是 ．
7．如图，点A是反比例函数上一动点，点的坐标为，过点作轴，垂足为点，以、为边作矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，在点运动的过程中，点的对应点坐标为，则与满足的关系式为 ．
8．已知，点，均在反比例函数的图象上，若将线段顺时针旋转，的对应点为，得到线段的两端点仍在反比例函数的图象上，且，则的值为 ．
9．如图，已知点在第一象限，将绕点O顺时针旋转得到，若反比例数的图象经过点A、B，求k的值．
​
10．如图，在中，，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在反比例函数的图象上．
(1)求，的值；
(2)若P，Q分别为反比例函数，图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意，利用勾股定理即可得到值．熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
【详解】解：如图，作轴，垂足为，
∵点，，轴于点，
∴，
∴，
由旋转的性质可知，
∴，
在中，，
∴，
解得：．
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．证明是等腰直角三角形，根据旋转角，求出点的坐标即可得到答案．
【详解】解：，，，
，轴，
是等腰直角三角形，
过点作于点，过点作轴于点，
，
，
是旋转得到，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故过点的反比例函数中，k的值为．

故选D．
3．A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握弧长公式和解含30°的直角三角形是解答本题的关键.
根据弧长公式先求出半径长，再解含有30°的直角三角形求出点坐标，即可得到反比例函数值.
【详解】作轴,垂足为,
根据题意点经过的路程是弧长
设则有：，解得 ，
∵是的中点，
，
，
，
，
∵点在反比例函数图象上，
，
故选: A.
4．C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，图形的旋转变换与性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上，难点是根据旋转的性质得出．连接，过点作轴于，过点作轴于，由旋转的性质可知：，，先证和全等，得，，然后设，则，则，，据此得点，再将其代入求出，进而可得点的坐标．
【详解】解：连接，过点作轴于，
由旋转的性质可知：，，
，
轴，轴，
，
，
，
在和中，
，
（），
，，
点，，
，为等腰直角三角形
设，则，
，，
点的坐标为，
点在反比例函数图象上，
，
解得：（不合题意，舍去），
当时，，
点的坐标为．
故选：．
5．；
【分析】本题考查了反比例函数的性质、旋转的性质、勾股定理及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，先设出B点坐标，表示出D，E点坐标代入反比例函数即可得到答案；
【详解】解：设，
∵点A的坐标为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
∵绕着点B旋转得到，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，，
∵反比例函数的图象经过点D和点E，
∴，，
解得：，
故答案为：．
6．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变换—旋转，二次函数的性质，表示出点的坐标是解题的关键．
由题意设，则，代入得，根据二次函数的性质即可求出的取值．
【详解】由题意设，
，
，即，
函数 的图象过点，
，
当时，有最大值为，
时，时，，
当时，．
7．
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，旋转的性质，由点坐标为，点的坐标为，得出，，根据旋转的性质得到，，进一步得到，于是得到，于是得到，即．
【详解】解：点坐标为，点的坐标为，
则，，
矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
，，
，
，
在此反比例函数图象上，
，
．
故答案为：．
8．
【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，旋转的性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键；根据题意可知，当时，在二，四象限，即，求出坐标，结合，即可求解；
【详解】解：当时，在二，四象限，即，
点旋转顺时针旋转坐标为，
∴
作轴于点C, 作轴于点D，
∴，
∴．
∴．
在与中
∴≌
∴，
∴．
，
即，
即，
，
将坐标代入，
，
故答案为：
9．
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质、旋转的性质，分母有理化等知识，解决本题的关键是掌握反比例函数的性质．过点A作轴于点C，轴于点E，作的垂直平分线，连接，根据点的坐标，得到，，，再证明是等腰直角三角形，得到，然后根据得出关于的方程，求出t的值，即为k的值．
【详解】解：如图，过点A作轴于点C，轴于点E，作的垂直平分线，连接，
，
，，
反比例数的图象经过点A，
，
由旋转的性质可得，，
，
垂直平分，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
解得．
．
10．(1)；；
(2)
【分析】（1）过B作于E，得到，，，根据勾股定理得到，求得；过C作轴于F，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得；
（2）由（1）知，，设，，根据平行四边形的性质列方程组即可得到结论．
【详解】（1）解：过B作于E，
∵A的坐标为，点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
过C作轴于F，
∴，
∵将线段绕点A按顺时针方向旋转，得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵点C恰好在反比例函数的图象上，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∵P，Q分别为反比例函数，图象上一点，
∴设，，
∵以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，
∴当为平行四边形的对角线时，由图象得这种情况不存在；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴；
当AQ为平行四边形的对角线时，
，
解得（不合题意），
综上所述，．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键．