已知图形面积求反比例函数系数k（单函数）模型-2024-2025学年度数学中考备考好模型好方法之函数模型精讲学案

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反比例函数系数k的几何意义：反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于．
模型呈现1：，反之；
变式：反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积等于．
模型呈现2：；反之，．

注意上面结论中的等式正反两个方面的灵活应用．
反比例函数的系数是其图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积
如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
A
设，则，根据k的几何意义，得到，，进而得到，根据的面积为6，列出方程求解即可．
解：设，
∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，，
∴，，
∴，
∵的面积为6，
∴，
解得：，
故选：A．
1．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．如图，点A、B是反比例函数 图象上任意两点，且轴于点D，轴于点C，和 面积之和为6，则k的值为（ ）
A．B．C．6D．12
3．如图，双曲线 经过斜边的中点D，与边相交于点C，若的面积为6，则k的值为（ ）

A．4B．8C．10D．12
4．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，平行四边形的顶点A、在轴的正半轴上，顶点在第一象限内，顶点在轴的正半轴上，对角线和相交于点且，函数的图象经过点．若平行四边形的面积为8，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．如图，双曲线经过的两顶点A、C，轴交y轴于点B，过点C作轴于点D，若，且的面积为4，则k的值为 ．
6．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，延长至点，使，点是轴上任意一点，连接，，若的面积是9，则的值是 ．
7．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点M为线段的中点，轴交反比例函数图像于点N，P为x轴上任一点，若，则k的值为 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接．若点E为的中点，的面积为2，则k的值为 ．
9．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．

(1)求反比例函数的表达式．
(2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标．
10．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过反比例函数的图象上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，且．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若，求的面积；
(3)请直接写出当时，不等式解集．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查反比例函数的几何意义，在反比例图像上任意一点，从这一点分别向、轴作垂线，所围成的四边形的面积等于．根据比例函数的几何意义可得，根据可得，根据的面积为10列方程即可得答案．正确得出是解题关键．
【详解】解：如图，连接，
∵反比例函数图像在第一象限，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的面积为10，
∴，即，
解得：．
故选：C．
2．A
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，用含k的式子表示出和 面积之和，即可求解．
【详解】解：点A、B是反比例函数图象上任意两点，
设，，
轴于点D，轴于点C，
，，，，
和 面积之和为6，
，
，
故选A．
3．A
【分析】本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值．
过D点作x轴的垂线交x轴于E点，设出点D的坐标，根据中点可表示点B的坐标，进而表达点C的坐标，根据面积公式，建立方程，可求出k的值．
【详解】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，

设D点的横坐标为x,纵坐标就为，
为的中点．
，
，
，，
，
．
故选：A．
4．B
【分析】本题主要考查了反比例函数综合．熟练掌握平行四边形性质，矩形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，是解决本题的关键．
过E作轴于点F，根据平行四边形性质得到，根据，得到，结合，推出四边形和都是矩形，得到，根据，即得．
【详解】过点E作轴于点F，
∵平行四边形中，，且，
∴，
∵，
∴，，
∴四边形和都是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
5．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，表示出A、C的坐标是解题的关键．
由题意可知，，，利用的面积为4，得到，解方程求得k的值．
【详解】解：∵，轴，
由题意可知，，，，
∵的面积为4，
∴，
解得或（舍去），
故答案为：．
6．6
【分析】本题主要考查了两点之间距离公式、三角形的面积公式、解一元一次方程，理解反比例函数图象上的点都满足反比例函数的解析式是解题的关键．
设点的坐标为，即可表示出和的长，再由可得出的长，最后由三角形的面积公式列方程即可得出结果．
【详解】解：设点的坐标为，则，，
，
，
，
，
即，
解得．
故答案为：6．
7．2
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，先求解，，，可得，再利用面积公式建立方程求解即可．
【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴，，
∵点M为线段的中点，
∴，
∵轴交反比例函数图像于点N，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：
8．6
【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，设点坐标根据中点坐标公式表示线段和的长是解决本题的关键．设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为2，得的面积为4，所以，即可求出的值．
【详解】解：设，
是矩形，且点为的中点，
点纵坐标为，
代入反比例函数解析式得，
，
点横坐标为，
点横坐标为，代入反比例函数解析式，
得，
，
，
的面积为2，
的面积为4，
，
，
解得．
故答案为：6．
9．(1)
(2)
【分析】（1）联立正比例函数与反比例函数，解方程组可得，图形结合分析，再根据，由此即可求解；
（2）把点代入反比例函数解析式可得a=2，则，根据点关于原点对称可得，再根据平行四边形的性质可得，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，
∴，
解得，，，
根据图形可得，，
∴，
∵轴，
∴，点到的距离为，
∵，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上，
∴，即，
∵轴，
∴，
∵正比例函数与反比例函数交于点，
∴点关于原点对称，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，解一元二次方程的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的性质是解题的关键．
10．(1)一次函数表达式，反比例函数表达式为
(2)的面积为6
(3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求函数解析式，
（1）先求出，进而得出及，设点C坐标为，代入求出反比例函数表达式及一次函数表达式；
（2）先求出直线表达式为，进而得出，即可求出面积；
（3）结合图象即可得出结论．
【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，
当时，，则，
点A横坐标为2，
，
，
，
设点C坐标为，
，
，
，
当时，，即，
把代入，
解得：，
一次函数表达式，反比例函数表达式为；
（2），直线表达式，
直线表达式为，
由题意得：，
解得：，
，
当时，，
，
；
（3）由图象可知：在点C左侧，正比例函数值小于反比例函数值，
当时，不等式解集为．