反比例函数与图形折叠问题模型-2024-2025学年度数学中考备考好模型好方法之函数模型精讲学案

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模型示例：如图，矩形的顶点，点A，C在坐标轴上，E是边上一点，将沿折叠，点B刚好与边上点D重合，过点E的反比例函数的图象与边交于点F，求线段的长．
第①步 先求的长，即得点E的坐标．
沿折叠，点B刚好与边上点D重合，
，，
，，
，
，
设点E的坐标是，则，，
，
，解得，
∴点E的坐标是，
第②步 求反比例函数的解析式进而求得点F的横坐标，即可求解：
设反比例函数，
，
∴反比例函数解析式为，
∵F点纵坐标为8，
，解得，即，
．
一要熟记折叠的性质，二要结合勾股定理或相似（全等）三角形，三要掌握函数图象上点的坐标特点
如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点C在y轴上，A在x轴上，把矩形沿对角线所在的直线翻折，点A恰好落在反比例函数的图象上点D处，与y轴交于点E，点D恰好是的中点．已知A的坐标为，则反比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
B
过点D作，根据折叠的性质得到，根据线段中点的定义得到，勾股定理求出，进而得到D点坐标，待定系数法求出函数解析式即可．
解：∵矩形， A的坐标为，
∴，点B的横坐标为4，
∵折叠，
∴，
∵E在y轴上，D为的中点，
∴点D的横坐标为2，
过点D作，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
故选B．
1．如图，矩形的两边，分别位于轴、轴上，点的坐标为，是边上的一点． 将沿直线翻折，使点恰好落在对角线上的点处，若点在一反比例函数图象上，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴正半轴上，，C为中点，将沿翻折，使点A落在反比例函数图象上的处，且，则k的值是（ ）
A．B．C．-3D．
3．如图，中，，，在x轴上，，点A在函数的图象上，将沿翻折，点B恰好落在此函数图象上的点D处，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，将矩形放在直角坐标系中，其中顶点的坐标为，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点则线段的长为（ ）
A．B．1C．D．
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，将正方形对折，使与重合，折痕为，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为，交于点D，反比例函数的图象过点D，且与交于点M，则点M的坐标为 ．
6．如图，正方形的边长为4，点D是边的中点，连接，将沿折叠得到，与交于点F．若反比例函数的图像经过点F，则m的值为 ．
7．如图，的顶点B，C分别落在反比例函数和的图象上，连结，将沿着翻折，点的对应点恰好落在的图象上，与交于点．已知的面积为，，则的值为 ．
8．如图，将一块直角三角板放在平面直角坐标系中，，，点在第一象限，过点的双曲线为，在轴上取一点，过点作直线的垂线，以直线为对称轴，线段经轴对称变换后的像是．设，
（1）当点与点A重合时，t的值是 ；
（2）当落在双曲线上时，t的值是 ．
9．如图，反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象交于A，B两点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)当时，请写出x的取值范围．
(3)如图，P是线段上的一点，过点P分别作轴，轴，垂足分别为D，C，与反比例函数图象分别交于点F，E，连接．将沿着直线翻折，点O的对应点为，得到菱形，请求出的度数．
10．如图1，将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点的坐标为，折叠纸片使点落在轴上的点处，折痕为，过点作轴的平行线交于点，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)如图2，当点与点重合时，求点的坐标；
(3)如图3，在(2)的条件下，点是线段上一动点，点是线段上一动点，过点的反比例函数的图象与线段相交于点，连接，，，，当四边形的周长最小时，求点，点的坐标．
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．要求反比例函数的解析式，只需求得点E的坐标．根据点B的坐标，可知矩形的长和宽；从而再根据锐角三角函数求得点E的坐标，运用待定系数法进行求解．
【详解】解：过E点作于F，
由条件可知：，，
所以，
则E点坐标为，
设反比例函数的解析式是，
则有
故选：D．
2．A
【分析】由折叠的性质得，，证明是等边三角形得，求出，A′D=1，可得，进而可求出反比例函数解析式．
【详解】如图，
由折叠的性质得，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，C为中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，A′D=1，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及待定系数法求反比例函数解析式，求出是解答本题的关键．
3．C
【分析】过点作轴于点，根据折叠的性质可得，，根据含角的直角三角形的性质可得和的长，设，则点，，根据点和点在同一个反比例函数的图象上，列方程，即可求解．
【详解】解：过点作轴于点，如图所示：
，，
根据折叠，可得，，
，
，
，
根据勾股定理，可得，
∵中，，，，
∴，
设，
则点，，
点和点在同一个反比例函数的图象上，
，
解得，
∴，
∴，
故选：C．
4．A
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，图形的折叠变换及性质，矩形的性质，勾股定理等，设，根据矩形的性质得，，，再由折叠的性质得，，则，利用勾股定理求出，则，进而在中由勾股定理求出，从而得点，则反比例函数的表达式为，然后根据点的纵坐标为4得点，据此可得的长,理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握图形的折叠变换及性质，矩形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
【详解】解：设，
四边形为矩形，点，
，，，
由折叠的性质得：，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为：，
反比例函数的图象与边交于点，
点的纵坐标为4，
对于，当时，，
点，
．
故选：A．
5．
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、正方形的折叠问题、勾股定理等知识，利用正方形和折叠的性质、勾股定理等知识求出，得到点D的坐标为，求出反比例函数解析式，再把点M的横坐标代入，即可得到答案．
【详解】解：∵正方形的边长为2，将正方形对折，使与重合，折痕为，
∴，,，
∴
∵展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为，交于点D，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴
解得，
∴，
∴
∴点D的坐标为
∴，
∴，
∴，
当时，
∴点M的坐标为，
故答案为：
6．##
【分析】先根据正方形的性质和折叠性质得到，，设，再利用两点坐标距离公式解方程求得，进而利用待定系数法求得直线的表达式为和直线的表达式为，联立方程组求得，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求得m值即可．
【详解】解：∵正方形的边长为4，点D是边的中点，
∴，，则，，，
∵沿折叠得到，
∴，，
设，则，，
解得，，则，
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
∵，
∴直线的表达式为，
联立方程组，解得，
∴，
∵反比例函数的图象经过点F，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合，涉及反比例函数图象与一次函数图象的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、折叠性质、两点坐标距离公式、解方程等知识，利用数形结合思想建立各知识的联系是解答的关键．
7．
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠问题．根据已知条件可得，进而得出；过点，点，点作轴，轴，轴，垂足分别为，证明得出，，则，根据得出，进而求得，即可求解．
【详解】解：，
，
，
过点，点，点作轴，轴，轴，垂足分别为，如图所示
则．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
又∵
∴，
，，
，
，
，
，
解得．
，
．
故答案为：．
8． 4 或
【分析】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到图形翻折变换的性质、反比例函数图象上点的坐标特点即用待定系数法求一次函数的解析式等知识．
（1）根据轴对称变换的性质得到当点与点重合时，直线垂直平分，则，由，，根据含30度的直角三角形三边的关系得到，然后由点坐标为，则，，在中利用勾股定理得到，求出的值；
（2）连接，，作轴于点，由图形翻折变换的性质可知直线是线段的垂直平分线，所以，再由可知，所以，故是线段的垂直平分线，由待定系数法求出直线的解析式，故可得出直线的解析式，由此可得出点的坐标，进而可得出的值．
【详解】解：点与点重合时，直线垂直平分，如图1，
连，则，
，，
，
，
点坐标为，则，，
在中，，即，
解得，
故答案为：4；
（2）解：连接，，作轴于点，
点于点重合，
直线是线段的垂直平分线，
，
，
∴，
，
是线段的垂直平分线，
设直线的解析式为，
，，
，
，即，
直线的解析式为，
点在反比例函数的图象上，
反比例函数的解析式为：①．
，
直线的解析式为：②，
①②联立得，或，
当时，
，
，
，
，
，即；
当时，点在轴负半轴，与点关于轴对称，
，
故答案为：或．
9．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析、根据函数图象确定不等式的解集、菱形的性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）直接将代入求得k的值即可；
（2）联立反比例函数和直线的解析式求得A、B的坐标，然后再根据函数图象确定的x取值范围即可；
（3）设，则，由菱形的性质可得，据此结合两点间距离公式可求得，则；再证四边形是矩形，可得易证是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：接将代入可得：，解得：，
所以反比例函数的解析式为．
（2）解：联立反比例函数和直线的解析式可得，解得：，
∴,
根据函数图象可知：时，x的取值范围为：．
（3）解：设，则，
∵将沿着直线翻折，点O的对应点为，得到菱形，
∴,
∴，解得：，
∴，
∵过点P分别作轴，轴，垂足分别为D，C，
∴四边形是矩形，
∴
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴．
10．(1)详见解析
(2)
(3)点的坐标为，点的坐标为
【分析】（1）由题意得出，推出，由折叠的性质得出，，从而得出，推出四边形是平行四边形，结合，即可得证；
（2）由折叠可得，由勾股定理可得，推出，设，则，，再由勾股定理计算即可得解；
（3）由(2)得坐标为，设点坐标为，根据反比例函数的性质得出坐标为，作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，则，，连结，，得出，，四边形的周长，推出当四点共线时四边形的周长最小，待定系数法求出直线的解析式为：，即可得解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且轴
折叠纸片使点落在轴上点处，折痕为，
，，
∴
四边形是平行四边形
又
四边形为菱形．
（2）解：点与点重合，
设，则，，
在中，，即，
解得，
点的坐标为；
（3）解：由(2)得坐标为，
设点坐标为，
点都在反比例函数的图象上，
，，
即：，
解得，
坐标为，
作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，则，，
连结，
，，
四边形的周长，
当四点共线时四边形的周长最小，
设直线的解析式为，把，，代入，得
，
解得，
直线的解析式为：，
令，即，得，
点的坐标为，点的坐标为．
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定定理、勾股定理、反比例函数的图象与性质、一次函数的应用、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．