2023-2024学年江苏省无锡市江阴市华士实验学校九年级（上）第一次段考数学试卷.

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市江阴市华士实验学校九年级（上）第一次段考数学试卷.，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为( )
A. ax2+bx+c=0B. x2−2=(y+3)2
C. x2+3x−5=0D. x2=0
2.已知x=0是关于x的一元二次方程2x2+3x+k−4=0的一个根，则k的值为( )
A. 4B. −4C. ±1D. ±4
3.用配方法解一元二次方程x2−10x+11=0，此方程可化为( )
A. (x−5)2=14B. (x+5)2=14C. (x−5)2=36D. (x+5)2=36
4.已知⊙O的半径是4，OP=7，则点P与⊙O的位置关系是( )
A. 点P在圆内B. 点P在圆上C. 点P在圆外D. 不能确定
5.如图，⊙O的直径AB=8，弦CD⊥AB于点P，若BP=2，则CD的长为( )
A. 2 5 B. 4 2 C. 4 3 D. 8 2
6.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=45°，AB=6，则⊙O的半径长为( )
A. 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 4 2
7.如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A=26°，则∠D的度数是( )
A. 26° B. 38° C. 52° D. 64°
（第5题图） （第6题图） （第7题图）
8.已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定
9.如图，矩形OABC，B(−4,3)，点M为△ABC的内心，将矩形绕点C顺时针旋转90°，则点M的对应点坐标为( )
A. (−2,6 ) B. (6,−1) C. ( 1，1 ) D. (−1,6)
10.如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3,4)，P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点.若点A、B关于原点O对称，则AB长的最小值为( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8

（第9题图） （第10题图）
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11.一元二次方程3x(x+1)=3x+3的解是______．
12.已知圆弧所在圆的半径为12，所对的圆心角为60°，则这条弧的长度为______.
13.已知x1，x2是一元二次方程2x2+x−3=0的两个实数根，则x1+x2的值是______．
14.如图所示，点B，D，C是⊙A上的点，∠BCD=130°，则∠BAD=______．
15.如图，点A在半圆O上，BC是直径，AB=AC.若AB=2，则BC的长为______．
（第14题图） （第15题图）
16.《九章算术》中提出了如下问题：今有产不加高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是______ ．
17.如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升______cm．
18.如图，菱形ABCD中，AB=2，DE⊥BC于点E，F为CD的中点，连接AE，AF，EF.若∠AFE=90°，则△AEF的外接圆半径为______．
（第17题图） （第18题图）
三、解答题（本大题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8分)解下列方程：
(1)x2+2x−2=0. (2)x(x−1)=x；
20．（本小题8分）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，求m的值．
21.(本小题10分)已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以腰AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，连接OD，DE．
(1)求证：BD=DC．
(2)若∠BAC=50°，求∠ODE的度数．
22．（本小题10分）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：．
(1)求的值；
(2)已知关于x的方程[x，2x－1]*[mx＋1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围
23.(本小题10分)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若CF=2，EC=4，求圆O的半径．
24.(本小题10分)已知关于x的一元二次方程x2+(m−3)x−3m=0．
(1)证明：无论m取何值，此方程必有实数根；
(2)等腰三角形ABC中，AB=1，AC、BC的长是此方程的两个根，求m的值．
25.(本小题10分)如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
(1)求拱桥的半径．
(2)有一艘宽为7.8m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．
(本小题10分)今年大德福超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月的月平均增长率．
(2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？
27.(本小题10分)如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
(1)尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
(2)在(1)的条件下，若∠APB=60°，PM=3，则所作的⊙O的劣弧EQ \O\AL(MN,\S\UP5(⌒))与PM、PN所围成图形的面积是______ ．
28.(本小题10分)如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点(Q在P、H之间)，我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ·PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4)，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点______(填“A”、“B”、“C”或“D”)，⊙O关于直线m的“特征数”为______；
②若直线n的函数表达式为y= 3x+4，求⊙O关于直线n的“特征数”；
(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M(1,4)，点F是坐标平面内一点，以F为圆心， 2为半径作⊙F.若⊙F与直线l相离，点N(−1,0)是⊙F关于直线l的“远点”.且⊙F关于直线l的“特征数”是4 5，求直线l的函数表达式．