吉林省洮北区九校联考2024-2025学年高一上学期期中测数学试卷[解析版]

这是一份吉林省洮北区九校联考2024-2025学年高一上学期期中测数学试卷[解析版]，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. “，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】“，”的否定是“，”.
故选：B.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由不能推出，但由必有，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】由，，则，
即中元素的个数为.
故选：C.
4. 若函数，且，则（ ）
A. B. 0 C. D. 1
【答案】B
【解析】，.
故选：B.
5. 若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值集合为（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】依题意，一元二次不等式对一切实数都成立，
所以，解得，
所以的取值集合为.
故选：A.
6. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以，则，
而，易知，
所以，且，
所以.
故选：A.
7. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为，则，
由，解得，所以函数的定义域为.
故选：D.
8. 已知函数满足对任意的，恒成立，则函数的值域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题设在定义域上递增，所以，
而在上递增，故其值域是.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（ ）
A. 3B. C. 3.5D. 6
【答案】BCD
【解析】因是的真子集，
若，则，解得，符合题意；
若，则，解得，
故需使或，解得或；
综上所述：或.
故选：BCD.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若是奇函数，则必有且
B. 函数在定义域上单调递减
C. 是定义在R上的偶函数，当时，，则当时，
D. 若在R上是增函数，且，，则
【答案】CD
【解析】对于A，当且时，，其定义域为，
又，则是奇函数，
所以当奇函数时，不一定有，故A错误；
对于B，对于，，，
则，所以在不单调递减，故B错误；
对于C，因为是定义在上的偶函数，当时，，
所以当时，，则，故C正确；
对于D，因为，，
则，即，则，
因为在上是增函数，所以，，
则，故D正确.
故选：CD.
11. 已知实数满足，且，则的值可以为（ ）
A. B. 7C. D. 5
【答案】AB
【解析】令，
由题意，且，
得，且，
则，
当且仅当，即时等号成立，
由，解得，此时，故A正确；
由，故CD错误；
B项，由方程组，又，解得，故B正确.
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】由题可得，解得且，
所以函数的定义域为.
13. 已知甲地下停车库收费标准如下：（1）停车不超过1小时免费；（2）超过1小时且不超过3小时，收费5元；（3）超过3小时且不超过6小时，收费10元；（4）超过6小时且不超过9小时，收费15元；（5）超过9小时且不超过12小时，收费18元；（6）超过12小时且不超过24小时，收费24元．小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，若他在当天18：30将车开出车库，则他需交的停车费为______．乙地下停车库的收费标准如下：每小时2元，不到1小时按1小时计费．若小林将车停入乙车库（停车时长不超过24小时），要使得车停在乙车库比甲车库更优惠，则小林停车时长的最大值为______．
【答案】15 7
【解析】小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，在当天18：30将车开出车库，
则停车时长为8小时8分钟，满足超过6小时且不超过9小时，所以需交停车费15元；
设小林的停车时长为小时，则在乙车库需交停车费为元，
根据题意知当停车时长超过9小时后，乙车库停车比甲车库停车更贵，
当停车时长超过6小时且不超过9小时，要使得乙车库停车比甲车库停车更优惠，
则，解得，
所以小林的停车时长最大值为7小时.
14. 已知函数，，，.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为，，所以，
又对于任意的，存在，使得，则，
又，，
当时，，所以，解得，
当时，，所以，解得，
综上，的取值范围是，
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若中整数元素的个数为3，写出的一个值.
解：（1），
当时，，故.
（2），，
因为中整数元素的个数为3，故的整数为，
故，故.
所以的一个值可以为（答案不唯一）.
16. 已知幂函数的图象经过点.
（1）求的解析式.
（2）设函数.
①判断的奇偶性；
②判断在上的单调性，并用定义加以证明.
解：（1）依题意，设幂函数，则，解得，
所以.
（2）①为奇函数，理由如下：由（1）得，，
则其定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为奇函数；
②在上单调递减，证明如下：
任取，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以函数在上单调递减.
17. 已知，．
（1）比较与的大小；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求的取值范围．
解：（1），
∴a2+a-2ab-b2=a-b2+a>0，
.
（2），
由，得，
即，解得或（舍去），
可得，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为49.
（3）设函数，，任取，且，
则，
，且，，，
，即，所以函数是上的增函数.
，
由，，.
所以的取值范围为.
18. 已知函数的定义域为，，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）讨论函数最小值.
解：（1）因为，
令，则，
又，有，故.
（2）令，有，
即，得，
令，有，
即，得，
令，有，
即，得，
令，有，
令，有，则，
联立，解得，
所以.
（3）由（2）得，，
其图象开口向上，对称轴为，又，
当，即时，在上单调递增，
则；
当，即时，在上单调递减，则；
当，即时，
.
19. 笛卡尔积是集合论中的一个基本概念，由法国数学家笛卡尔首次引入.笛卡尔积在计算机科学、组合数学、统计学等领域中有广泛的应用.对于非空数集，定义且，将称为“与的笛卡尔积”.
（1）若，，求.
（2）若集合是有限集，将的元素个数记为.已知是非空有限数集，，且对任意的集合恒成立，求的取值范围，并指明当取到最值时，和满足的关系式及应满足的条件.
解：（1）因，，
则，
，
故.
（2）设，
则（*），，
则当且仅当时，等号成立；
因对任意集合恒成立，故得，即；
当时，，即，
则由（*）可得，则，故