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吉林省十一校联考2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）
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这是一份吉林省十一校联考2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第三章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的运算求解即可.
【详解】
因为，
所以．
故选：B.
2. “所有的长方体都有12条棱”的否定是（ ）
A. 所有的长方体都没有12条棱B. 有些长方体没有12条棱
C. 有些长方体有12条棱D. 所有的长方体不都有12条棱
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称命题否定的方法进行判断.更多优质支援请 嘉 威鑫 MXSJ663 【详解】“所有长方体都有12条棱”的否定是“有些长方体没有12条棱”.
故选：B.
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抽象函数定义域的求法计算即可.
【详解】因为的定义域为，所以，解得．
故选：D.
4. 高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远、跳高三项比赛.已知参加100米短跑比赛的有12人，参加立定跳远比赛的有16人，参加跳高比赛的有13人，同时参加其中两项比赛的有9人，则这三项比赛都参加的有（ ）
A. 3人B. 2人C. 1人D. 4人
【答案】C
【解析】
【分析】作出图形即可得到方程，解出即可.
【详解】设这三项比赛都参加的有人，则，解得．
故选：C.
5. 函数部分图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项C，再由函数在的单调性或值域可得出正确答案.
【详解】由已知，，
则，
故是奇函数，图象关于原点对称，故C项错误；
当时，，则，
故AD项错误，应选B.
又设，且，
则，
故，则有，
即，故在上单调递减.
综上，函数图象的性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致.
故选：B.
6. 设等腰三角形腰长为x，底边长为y，且，则“的周长为16”是“其中一条边长为6”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件等知识确定正确答案.
【详解】若“的周长为16”，则，解得，
所以“其中一条边长为6”.
若“其中一条边长为6”，如，
则，此时三角形的周长为，
即无法得出“的周长为16”，
所以“的周长为16”是“其中一条边长为6” 充分不必要条件.
故选：A
7. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分和两种情况讨论即可.
【详解】不等式转化为．
当，即时，恒成立，符合题意．
当时，，解得．
故的取值范围为．
故选：D.
8. 定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的对称性、单调性确定正确答案.
【详解】依题意，定义域为的函数满足，
所以的图象关于直线对称，
而时，恒成立，
所以在区间上单调递增，
，
，，
，
所以，
所以.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列各选项中的两个函数是同一个函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】AC
【解析】
【分析】由两函数的定义域与对应法则是否相同判断即可.
【详解】选项A，因为，且两函数定义域都是，
故两函数是同一个函数，所以A正确；
选项B，因为的定义域为，而的定义域为，
故两函数不是同一个函数，所以B错误；
选项C，，且定义域都，
故两函数是同一个函数，所以C正确；
选项D，的定义域为，的定义域为，
故两函数不是同一个函数，所以D错误.
故选：AC.
10. 已知幂函数满足，则（ ）
A. B.
C. 的图象经过原点D. 的图象不经过第二象限
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据幂函数的概念与指数幂的运算得，结合图象逐项判断即可得答案.
【详解】设幂函数，根据题意可得，解得，则，
的图象如图所示：
则的图象经过原点，不经过第二象限．
故选：ACD.
11. 已知函数的定义域为，则“为偶函数”的一个必要不充分条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用偶函数的性质逐项判断即可.
【详解】若为偶函数，不一定成立，但，
．
由不能推出为偶函数，所以是“为偶函数”的一个必要不充分条件，故A正确；；
若，则为偶函数，是“为偶函数”的一个充分必要条件，故B错误；
由不能推出为偶函数，所以是“为偶函数”的一个不必要不充分条件，故C错误；
由不能推出为偶函数，所以是“为偶函数”的一个必要不充分条件，故D正确；
故选：AD.
12. 函数在上的最大值为4，最小值为，则的值可能为（ ）
A. B. C. 8D. 9
【答案】BCD
【解析】
【分析】分类讨论得到的图象，然后分、和三种情况讨论求解即可.
【详解】当时，；
当时，．作出的图象，如图所示．
当时，由，即，解得．
当时，．
当时，由，即，解得．
当时，．
根据在上的最大值为4，最小值为，可对作如下讨论：
若，则，不合题意；
若，则，不合题意；
若，则，令，解得（舍去）或5．
综上可得，，，故．
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 某停车场的收费规则：停车1小时以内（含1小时整）收费5元；停车超过1小时，超出部分按每小时2元收费，不足1小时按1小时收费．王先生某日上午10：00进入该停车场停车，当日下午2：35驶出该停车场，则王先生应付的停车费为______元．
【答案】13
【解析】
【分析】根据题意得到王先生的停车时长，然后求停车费即可.
【详解】依题意得，王先生的停车时长为4小时35分，则按5小时计费，王先生应付的停车费为元．
故答案为：13.
14. 已知是定义在上的奇函数，则______，______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由定义区间的对称性可解得，再由奇函数定义求解参数即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，解得，
又因为是奇函数，
则恒成立，
即恒成立，
化简得，因为该等式对恒成立，
所以.
故答案为：；.
15. 已知，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】因为，所以，
则．
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故答案为：
16. 已知是定义在上的单调函数，且，，则______．
【答案】14
【解析】
【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式求.
【详解】，，是定义在上的单调函数，
则为定值，设，则，
，解得，得，
所以.
故答案为：14.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式得到集合，然后求交集即可；
（2）根据得到，然后分和两种情况求解即可.
【小问1详解】
当时，，
因为，所以．
【小问2详解】
因为，所以．
当时，，解得．
当时，，解得．
综上，m的取值范围为．
18. 已知正实数，满足．
（1）求的最大值；
（2）证明：．
【答案】（1）9 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求最大值即可；
（2）利用基本不等式证明即可.
【小问1详解】
解：因为，，，所以，
则，解得，即，
当且仅当时，等号成立．
故的最大值为9．
【小问2详解】
证明：（方法一）因为，
解得或（舍去），
当且仅当时，等号成立．
故，即得证．
（方法二）由（1）得，则，故，即得证．
19. 已知函数．
（1）求的解析式；
（2）试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．
【答案】（1）
（2）单调递增，证明详见解析
【解析】
【分析】（1）利用凑配法求得的解析式.
（2）先求得的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明.
【小问1详解】
，
所以.
【小问2详解】
，
在上单调递增，证明如下：
设，
，
其中，所以，
所以，所以在上单调递增.
20. 已知某污水处理厂的月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．
（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？
（2）请写出该厂每月获利（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值，
【答案】（1）当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低
（2），最大值为万元
【解析】
【分析】（1）先求得，利用基本不等式求得正确答案.
（2）先求得的解析式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，，解得，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
所以当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低.
【小问2详解】
依题意，，
当万吨时，取得最大值为万元.
21. 已知关于的不等式．
（1）若原不等式的解集为或，求的值；
（2）若，且原不等式的解集中恰有8个质数，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集和方程的根之间的关系求解即可；
（2）根据不等式的解集和质数的定义列不等式求解即可.
【小问1详解】
由题意得，1是关于的方程的两根，且，
则，，
解得．
【小问2详解】
不等式可化，
因为，所以关于的方程的两根为1，，
且，
因为关于的不等式的解集为：，
解集中恰有8个质数，
所以，
解得，即的取值范围为．
22. 已知定义在上的函数满足，，．
（1）试判断的奇偶性，并说明理由．
（2）证明：．
【答案】（1）偶函数，证明见详解
（2）证明详解
【解析】
【分析】（1）令，可得，再令，结合偶函数的定义即可判定；
（2）令，可得，又，即可证明原不等式成立.
【小问1详解】
为偶函数，理由如下：
令，
由，
得，又，
所以，
令，则，
所以，即，，
故为偶函数.
【小问2详解】
令及，可得
，
所以，即，
又，
当时，等号成立，
故，
即，
故原不等式得证.
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第三章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的运算求解即可.
【详解】
因为，
所以．
故选：B.
2. “所有的长方体都有12条棱”的否定是（ ）
A. 所有的长方体都没有12条棱B. 有些长方体没有12条棱
C. 有些长方体有12条棱D. 所有的长方体不都有12条棱
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称命题否定的方法进行判断.更多优质支援请 嘉 威鑫 MXSJ663 【详解】“所有长方体都有12条棱”的否定是“有些长方体没有12条棱”.
故选：B.
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抽象函数定义域的求法计算即可.
【详解】因为的定义域为，所以，解得．
故选：D.
4. 高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远、跳高三项比赛.已知参加100米短跑比赛的有12人，参加立定跳远比赛的有16人，参加跳高比赛的有13人，同时参加其中两项比赛的有9人，则这三项比赛都参加的有（ ）
A. 3人B. 2人C. 1人D. 4人
【答案】C
【解析】
【分析】作出图形即可得到方程，解出即可.
【详解】设这三项比赛都参加的有人，则，解得．
故选：C.
5. 函数部分图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项C，再由函数在的单调性或值域可得出正确答案.
【详解】由已知，，
则，
故是奇函数，图象关于原点对称，故C项错误；
当时，，则，
故AD项错误，应选B.
又设，且，
则，
故，则有，
即，故在上单调递减.
综上，函数图象的性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致.
故选：B.
6. 设等腰三角形腰长为x，底边长为y，且，则“的周长为16”是“其中一条边长为6”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件等知识确定正确答案.
【详解】若“的周长为16”，则，解得，
所以“其中一条边长为6”.
若“其中一条边长为6”，如，
则，此时三角形的周长为，
即无法得出“的周长为16”，
所以“的周长为16”是“其中一条边长为6” 充分不必要条件.
故选：A
7. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分和两种情况讨论即可.
【详解】不等式转化为．
当，即时，恒成立，符合题意．
当时，，解得．
故的取值范围为．
故选：D.
8. 定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的对称性、单调性确定正确答案.
【详解】依题意，定义域为的函数满足，
所以的图象关于直线对称，
而时，恒成立，
所以在区间上单调递增，
，
，，
，
所以，
所以.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列各选项中的两个函数是同一个函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】AC
【解析】
【分析】由两函数的定义域与对应法则是否相同判断即可.
【详解】选项A，因为，且两函数定义域都是，
故两函数是同一个函数，所以A正确；
选项B，因为的定义域为，而的定义域为，
故两函数不是同一个函数，所以B错误；
选项C，，且定义域都，
故两函数是同一个函数，所以C正确；
选项D，的定义域为，的定义域为，
故两函数不是同一个函数，所以D错误.
故选：AC.
10. 已知幂函数满足，则（ ）
A. B.
C. 的图象经过原点D. 的图象不经过第二象限
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据幂函数的概念与指数幂的运算得，结合图象逐项判断即可得答案.
【详解】设幂函数，根据题意可得，解得，则，
的图象如图所示：
则的图象经过原点，不经过第二象限．
故选：ACD.
11. 已知函数的定义域为，则“为偶函数”的一个必要不充分条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用偶函数的性质逐项判断即可.
【详解】若为偶函数，不一定成立，但，
．
由不能推出为偶函数，所以是“为偶函数”的一个必要不充分条件，故A正确；；
若，则为偶函数，是“为偶函数”的一个充分必要条件，故B错误；
由不能推出为偶函数，所以是“为偶函数”的一个不必要不充分条件，故C错误；
由不能推出为偶函数，所以是“为偶函数”的一个必要不充分条件，故D正确；
故选：AD.
12. 函数在上的最大值为4，最小值为，则的值可能为（ ）
A. B. C. 8D. 9
【答案】BCD
【解析】
【分析】分类讨论得到的图象，然后分、和三种情况讨论求解即可.
【详解】当时，；
当时，．作出的图象，如图所示．
当时，由，即，解得．
当时，．
当时，由，即，解得．
当时，．
根据在上的最大值为4，最小值为，可对作如下讨论：
若，则，不合题意；
若，则，不合题意；
若，则，令，解得（舍去）或5．
综上可得，，，故．
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 某停车场的收费规则：停车1小时以内（含1小时整）收费5元；停车超过1小时，超出部分按每小时2元收费，不足1小时按1小时收费．王先生某日上午10：00进入该停车场停车，当日下午2：35驶出该停车场，则王先生应付的停车费为______元．
【答案】13
【解析】
【分析】根据题意得到王先生的停车时长，然后求停车费即可.
【详解】依题意得，王先生的停车时长为4小时35分，则按5小时计费，王先生应付的停车费为元．
故答案为：13.
14. 已知是定义在上的奇函数，则______，______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由定义区间的对称性可解得，再由奇函数定义求解参数即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，解得，
又因为是奇函数，
则恒成立，
即恒成立，
化简得，因为该等式对恒成立，
所以.
故答案为：；.
15. 已知，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】因为，所以，
则．
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故答案为：
16. 已知是定义在上的单调函数，且，，则______．
【答案】14
【解析】
【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式求.
【详解】，，是定义在上的单调函数，
则为定值，设，则，
，解得，得，
所以.
故答案为：14.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式得到集合，然后求交集即可；
（2）根据得到，然后分和两种情况求解即可.
【小问1详解】
当时，，
因为，所以．
【小问2详解】
因为，所以．
当时，，解得．
当时，，解得．
综上，m的取值范围为．
18. 已知正实数，满足．
（1）求的最大值；
（2）证明：．
【答案】（1）9 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求最大值即可；
（2）利用基本不等式证明即可.
【小问1详解】
解：因为，，，所以，
则，解得，即，
当且仅当时，等号成立．
故的最大值为9．
【小问2详解】
证明：（方法一）因为，
解得或（舍去），
当且仅当时，等号成立．
故，即得证．
（方法二）由（1）得，则，故，即得证．
19. 已知函数．
（1）求的解析式；
（2）试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．
【答案】（1）
（2）单调递增，证明详见解析
【解析】
【分析】（1）利用凑配法求得的解析式.
（2）先求得的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明.
【小问1详解】
，
所以.
【小问2详解】
，
在上单调递增，证明如下：
设，
，
其中，所以，
所以，所以在上单调递增.
20. 已知某污水处理厂的月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．
（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？
（2）请写出该厂每月获利（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值，
【答案】（1）当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低
（2），最大值为万元
【解析】
【分析】（1）先求得，利用基本不等式求得正确答案.
（2）先求得的解析式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，，解得，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
所以当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低.
【小问2详解】
依题意，，
当万吨时，取得最大值为万元.
21. 已知关于的不等式．
（1）若原不等式的解集为或，求的值；
（2）若，且原不等式的解集中恰有8个质数，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集和方程的根之间的关系求解即可；
（2）根据不等式的解集和质数的定义列不等式求解即可.
【小问1详解】
由题意得，1是关于的方程的两根，且，
则，，
解得．
【小问2详解】
不等式可化，
因为，所以关于的方程的两根为1，，
且，
因为关于的不等式的解集为：，
解集中恰有8个质数，
所以，
解得，即的取值范围为．
22. 已知定义在上的函数满足，，．
（1）试判断的奇偶性，并说明理由．
（2）证明：．
【答案】（1）偶函数，证明见详解
（2）证明详解
【解析】
【分析】（1）令，可得，再令，结合偶函数的定义即可判定；
（2）令，可得，又，即可证明原不等式成立.
【小问1详解】
为偶函数，理由如下：
令，
由，
得，又，
所以，
令，则，
所以，即，，
故为偶函数.
【小问2详解】
令及，可得
，
所以，即，
又，
当时，等号成立，
故，
即，
故原不等式得证.
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