福建省厦门市翔安区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

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满分：150分；考试时间：120分钟
出卷校：厦门市翔安第一中学 命题人：杨娇缘
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题有且只有一个选项正确）
1.2024年巴黎奥运会的运动项目图标采用大胆的对称美学，下列是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2.函数y=−x2−1的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
3.下列方程中，无实数根的方程是（ ）
A．B．x2+2x+1=0 C．x2−2x+3=0D．x2−4=0
4.要得到抛物线y=13(x+4)2，可将抛物线y＝13x2（ ）
A．向上平移4个单位B．向下平移4个单位
C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位
5.关于x的一元二次方程ax2−bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（ ）
A．x=b±b2−4ac2aB．x=b2±b2−4ac2aC．x=−b±b2−4ac2D．x=−b±b2−4ac2a
6.用配方法解方程x2−4x＝2时，左右两边需同时加上的常数是（ ）
A．16B．4C．2D．1
图1
7.对于二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向下 B．图象的对称轴为直线x＝﹣1
C．当x<−1时，y随x的增大而增大 D．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）
8.抛物线的部分图象如图1，对称轴为直线，则当时，的取值
范围是（ ）
A．B．C．D．−49.如图2，用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，场地
的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用
图2
其它材料），若设垂直于墙的一边长为x m，那么可列方程为（ ）
A．x12−2x−12=20B．x12−2x+12=20
C．x(12−2x−1)=20D．x(12−2x+1)=20
10.如图3，将△ABC绕点C逆时针旋转α度后得到△DEC，点A，B
图3
的对应点分别为点D，E，连接AD，BE，BE与CD交于点F，点
A，B，E，F在同一直线上，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝DFB．∠BCE+∠CBE＝∠DEC
C．BC∥DED．AB+BC＝AE
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11.如图4，正方形ABCD中，边DC上有一点E，将△ADE顺时针
图4
旋转后得到△ABG，旋转中心是点 ，旋转了 °．
12.抛物线y＝mx2与y=−23x2的形状相同，而开口方向相反，则m的值是 ．
13.已知x1，x2是方程2x2−5x+2＝0的两根，则x1+x2= ，x1x2= ．
14.已知抛物线的对称轴为直线x=−1，且经过点（−3，），（−4，），
试比较和的大小： （填“”、“ ”或“”．
15.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
16.如图5，抛物线与轴交于，，交
轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，
则下列结论：①2a+b=0；②；③使△ABC是等腰三角
形的a值有2个；④若点是抛物线上第一象限上的动点，
当的面积最大时图5
，m=1.5，其中正确的有 . （填序号）
三．解答题（本大题有9小题，共86分）
17.（本题满分8分）
解方程：（1）x2−9=0； （2）．
18.（本题满分8分）
如图，点A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）求△ABC面积；
（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1，
直接写出点C1的坐标为 ；
19．（本题满分8分）已知二次函数y＝x2−4x+3．
（1）补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象；
（2）根据图象回答：
当0＜x＜3时，y的取值范围是 .
20．（本题满分8分）中考百日誓师大会后，数学陈老师考虑到本学期仅剩下三次“大考”（市质检、区质检、中考），为了激励本班学生提高数学成绩，设计两种提分方案：方案①，在上学期质检数学成绩的基础上，每次“大考”增加10分；方案②，在上学期质检数学成绩的基础上，每次“大考”增加10%.
（1）已知本班小王，小李两位学生上学期质检数学成绩都是50分，小王选择方案①，小
李选择方案②，若两位学生都恰好达到方案要求，求第二次“大考”中两人的数学成绩；
若本班学生小明上学期质检数学成绩50分，经过努力，第二次“大考”的数学成绩
72分，求两次“大考”成绩的平均增长率？若此平均增长率不变，小明第三次“大考”的数学成绩是多少分？
21．（本题满分8分）定义：若关于的一元二次方程的两个根为x1和x2（x1≤x2），分别以、为横、纵坐标得到点，，则称点为该方程的“两根点”．
（1）求方程x2=5x的“两根点”的坐标；
（2）已知点是关于的一元二次方程x2−（2m−1）x+m2−m=0的“两根点”，若
点在直线上，求m的值．
22．（本题满分10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′）．
（1）用尺规作图作出△A′O′B；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：点C、O、O′和A′四点共线．
23．（本题满分10分）研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．该试剂挥发过程中剩余质量（克)随时间（分钟）变化的数据（0≤x≤20），并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示：
经过描点构造函数模型来模拟两种场景下随变化的函数关系，发现场景的图象
是抛物线的一部分，场景的图象是直线的一部分，
分别求出场景、相应的函数表达式；
查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂
在哪种场景下发挥作用的时间更长？
24．（本题满分12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CP′，连接PP′，AP′．
（1）判断线段AP′与BP的数量关系，并说明理由；
（2）当∠APB＝135°时，
①求∠P′AP的度数；
②若M为AB的中点，连接PM，依题意补全图形，
判断PM与PP′的数量关系，并说明理由．
25．（本题满分14分）已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．
（1）若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6）．
①求抛物线的解析式；
②已知当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；
（2）若点P在第一象限，且PA＝PO，过点P作PD⊥x轴于D，将抛物线y＝x2+bx+c平
移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形OABC的形
状，并说明理由．x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
−1


…