2025年中考数学二轮复习《圆》解答题专项练习五（含答案）

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如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若OB＝10，CD＝8，求BE的长．
如图，▱ABCD中，⊙O过点A、C、D，交BC于E，连接AE，∠BAE＝∠ACE.
(1)求证：AE＝CD；
(2)求证：直线AB是⊙O的切线.
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的☉O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长.
如图,在△ABC中,以AB为直径作⊙O交BC于点D,∠DAC＝∠B.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)点E是AB上一点,若∠BCE＝∠B,tan∠B＝eq \f(1,2),⊙O的半径是4,求EC的长.
如图，已知在△ABC中，∠A＝90°.
(1)请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切；(保留作图痕迹，不写作法和证明)
(2)若∠B＝60°，AB＝6，则⊙P的面积为 .
如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上.
(1)试说明CE是⊙O的切线；
(2)若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当eq \f(1,2)CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长.
如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)求证：△PBD∽△DCA；
(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长.
如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及其延长线分别交AC，BC于点G，F.
(1)求证：DF垂直平分AC；
(2)求证：FC＝CE；
(3)若弦AD＝5 cm，AC＝8 cm，求⊙O的半径.
如图，已知Rt△ACE中，∠AEC＝90°，CB平分∠ACE交AE于点B，AC边上一点O，⊙O经过点B、C，与AC交于点D，与CE交于点F，连结BF.
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若cs∠CBF＝eq \f(4,5)，AE＝8，求⊙O的半径；
(3)在(2)条件下，求BF的长.
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP.
(1)BD＝DC吗？说明理由；
(2)求∠BOP的度数；
(3)求证：CP是⊙O的切线.
\s 0 答案
证明：(1)连接OD，∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1＝∠2，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODA＝90°，
则AC为圆O的切线；
(2)过O作OG⊥BC，
∴四边形ODCG为矩形，
∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝6，
∴BC＝BG＋GC＝6＋10＝16，
∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，
∴＝，即＝，解得：OA＝，
∴AB＝＋10＝，
连接EF，∵BF为圆的直径，
∴∠BEF＝90°，
∴∠BEF＝∠C＝90°，
∴EF∥AC，∴＝，即＝，
解得BE＝12．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，∠B＝∠ADC
∵四边形ADCE是⊙O内接四边形
∴∠ADC＋∠AEC＝180°
∵∠AEC＋∠AEB＝180°
∴∠ADC＝∠AEB
∴∠B＝∠AEB
∴AE＝CD
(2)如图：连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF.
∵AF是直径
∴∠AEF＝90°
∴∠AFE＋∠EAF＝90°
∵∠BAE＝∠ECA，∠AFE＝∠ACE
∴∠AFE＝∠BAE
∴∠BAE＋∠EAF＝90°
∴∠BAF＝90°且AO是半径
∴直线AB是⊙O的切线
解：如图，连接OD，
SKIPIF 1 < 0
因为☉O与AC相切于点D，
所以OD⊥AC.
所以∠ODC＝90°.
作OF⊥BE于点F，
所以∠OFC＝90°，BE＝2BF.
因为∠C＝90°，
所以∠ODC＝∠C＝∠OFC＝90°，
所以四边形ODCF是矩形，
所以FC＝OD＝OB＝2.
所以BF＝BC﹣FC＝3﹣2＝1.
所以BE＝2BF＝2.
(1)证明：∵AB是直径,
∴∠ADB＝90°,
∴∠B＋∠BAD＝90°.
∵∠DAC＝∠B,
∴∠DAC＋∠BAD＝90°,
∴∠BAC＝90°,
∴AB⊥AC.
又∵AB是直径,
∴AC是⊙O的切线；
(2)解：∵∠BCE＝∠B,
∴EC＝EB,可设EC＝EB＝x.
在Rt△ABC中,tan B＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(1,2),AB＝8,
∴AC＝4.
在Rt△AEC中,∵EC2＝AE2＋AC2,
∴x2＝(8－x)2＋42,解得x＝5,
∴EC＝5.
解：(1)作法：①作∠ABC的平分线BP，交AC于P，
②以P为圆心，以PA为半径作圆，
则⊙P就是符合条件的圆；
证明：过P作PD⊥BC于D，
∵∠BAC＝90°，
∴⊙P与AB相切，
∵BP平分∠ABC，
∴AP＝PD
∵⊙P的半径是PA，
∴PD也是⊙P的半径，即⊙P与BC也相切；
(2)∵∠ABC＝60°，BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝30°，
∴PA＝2eq \r(3)，
∴⊙P的面积＝π×(2eq \r(3))2＝12π，
故答案为：12π.
解：(1)连接OC，如图1，
∵CA＝CE，∠CAE＝30°，
∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，
∴∠OCE＝90°，
∴CE是⊙O的切线；
(2)过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，
由题可得CH＝h.在Rt△OHC中，CH＝OCsin∠COH，
∴h＝OCsin60°＝eq \f(\r(3),2)OC，∴OC＝eq \f(2\r(3),3)h，
∴AB＝2OC＝eq \f(4\r(3),3)h；
(3)作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，
则∠AOF＝∠COF＝eq \f(1,2)∠AOC＝eq \f(1,2)(180°﹣60°)＝60°.
∵OA＝OF＝OC，
∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF＝AO＝OC＝FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF＝DO.
过点D作DH⊥OC于H，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴DH＝DCsin∠DCH＝DCsin30°＝eq \f(1,2)DC，
∴eq \f(1,2)CD＋OD＝DH＋FD.
根据两点之间线段最短可得：
当F、D、H三点共线时，DH＋FD(即eq \f(1,2)CD＋OD)最小，
此时FH＝OFsin∠FOH＝eq \f(\r(3),2)OF＝6，
则OF＝4eq \r(3)，AB＝2OF＝8eq \r(3).
∴当eq \f(1,2)CD＋OD的最小值为6时，
⊙O的直径AB的长为8eq \r(3).
(1)证明：∵圆心O在BC上，
∴BC是圆O的直径，
∴∠BAC＝90°，
连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DAC，
∵∠DOC＝2∠DAC，
∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC，
∵PD∥BC，
∴OD⊥PD，
∵OD为圆O的半径，
∴PD是圆O的切线；
(2)证明：∵PD∥BC，
∴∠P＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠P＝∠ADC，
∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，
∴∠PBD＝∠ACD，
∴△PBD∽△DCA；
(3)解：∵△ABC为直角三角形，
∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100，
∴BC＝10，
∵OD垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵BC为圆O的直径，
∴∠BDC＝90°，
在Rt△DBC中，DB2＋DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝100，
∴DC＝DB＝5eq \r(2)，
∵△PBD∽△DCA，
∴PB：DC＝BD：AC，
则PB＝eq \f(25,4).
证明： (1)∵DF⊥DE，AC∥DE，
∴DF⊥AC，
∴DF垂直平分AC；
(2)由(1)知AG＝GC，又∵AD∥BC，
∴∠DAG＝∠FCG，
又∠AGD＝∠CGF，
∴△AGD≌△CGF，
∴AD＝FC.
∵AD∥BC且AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD＝CE，
∴FC＝CE.
(3)连接AO，∵AG＝GC，AC＝8 cm，
∴AG＝4 cm，GD＝eq \r(25－16)＝3 (cm).
设圆的半径为r，则AO＝r，OG＝r－3，
由勾股定理得AO2＝OG2＋AG2，
∴r2＝(r－3)2＋42，
∴r＝eq \f(25,6) cm.
(1)证明：连接OB，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CB平分∠ACE，
∴∠OCB＝∠BCF，
∴∠OBC＝∠BCF，
∴∠ABO＝∠AEC＝90°，
∴OB⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
(2)解：连接DF交OB于G，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CEA，
∴DF∥AE，
∴∠CDF＝∠CAB，
∵∠CDF＝∠CBF，
∴∠A＝∠CBF，
∴cs∠CBF＝cs∠CEF＝eq \f(4,5)，
∵AE＝8，
∴AC＝10，
∴CE＝6，
∵DF∥AE，
∴DF⊥OB，
∴DG＝GF＝BE，
设BE＝2x，则DF＝4x，CD＝5x，
∴OC＝OB＝2.5x，
∴AO＝10﹣2.5x，AB＝8﹣2x，
∵AO2＝AB2+OB2，
∴(10﹣2.5x)2＝(8﹣2x)2+(2.5x)2，解得：x＝eq \f(3,2)(负值舍去)，
∴⊙O的半径＝eq \f(15,4)；
(3)解：由(2)知BE＝2x＝3，
∵AE是⊙O的切线；
∴∠BCE＝∠EBF，
∵∠E＝∠E，
∴△BEF∽△CEB，
∴，∴＝，
∴EF＝eq \f(3,2)，
∴BF＝eq \f(3,2)eq \r(5).
解：(1)BD＝DC.理由如下：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；
(2)∵AD是等腰△ABC底边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝DE.
∴BD＝DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠DCE＝∠ABC＝eq \f(1,2)(180°﹣30°)＝75°，
∴∠DEC＝75°，
∴∠EDC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∵BP∥DE，
∴∠PBC＝∠EDC＝30°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝75°﹣30°＝45°，
∵OB＝OP，
∴∠OBP＝∠OPB＝45°，
∴∠BOP＝90°；
(3)设OP交AC于点G，如图，则∠AOG＝∠BOP＝90°，
在Rt△AOG中，∠OAG＝30°，∴＝，
又∵＝＝，∴＝，∴＝，
又∵∠AGO＝∠CGP，
∴△AOG∽△CPG，
∴∠GPC＝∠AOG＝90°，
∴OP⊥PC，
∴CP是⊙O的切线；