山东省曲阜市夫子学校2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)

这是一份山东省曲阜市夫子学校2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2024的倒数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
答案：C．
2．（3分）如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则该几何体是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．分解因式：a3﹣a＝a（a2﹣1）
D．2a2•4a3＝8a5
答案：D．
4．（3分）不等式组，的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：D．
5．（3分）如图，⊙O中，，连接AB，AC，BC，OB，OC，若∠ACB＝65°，则∠BOC的度数为（ ）
A．130°B．115°C．100°D．150°
答案：C．
6．（3分）2023年全国教育工作会议于1月12日在北京召开，会议重点谈到了要重视学生的“读书问题”，为落实会议精神，某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）
A．3，3B．3，7C．2，7D．7，3
答案：A．
7．（3分）今日，上海疫情防控形势严峻，某工厂计划生产1000套防护服，由于工人加班加点，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x套防护服，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：B．
8．（3分）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B．
9．（3分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＜0．以下结论正确的是（ ）
①abc＞0；②点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，当x1＜0＜x2时，y1＜y2；③一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一个解是﹣4；④3a+c＜0．
A．①③B．①②C．③④D．②④
答案：C．
10．（3分）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（﹣1，0），每一次将△AOB绕着点O顺时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2023的坐标为（ ）
A．（﹣22023，0）B．（22022，0）
C．（﹣22022，22022）D．（﹣22023，﹣22023）
答案：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（3分）石墨烯目前是世界上最薄也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其厚度仅0.00000000035cm，将数据0.00000000035用科学记数法表示为 3.5×10﹣10 ．
12．（3分）化简分式的结果是 ．
13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，点E，直线DE与交AB交于点F，交AC于点G，CF与BG交于点H，若BC＝2，则HG的长为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象与菱形OABC的边OC，AB分别交于点M，N，且OM＝2MC，OA＝6，∠COA＝60°，则N的横坐标为 3+ ．
15．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝2．将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上点D处，折痕交OA于点C，点E为OB的中点，点P为线段CB上一个动点，连接OP，PE，DP，过点D作DF⊥BC于点F，下列说法：①当点P运动到CB的中点时，四边形COPD为菱形，②，③OP+PE的最小值为，④阴影部分面积为，正确的是 ①③④ （填序号）．
三、解答题：本大题共7题，满分55分.解答应写出文字说明、证明过程或推演过程.
16．（6分）（1）计算：+（2023﹣π）0﹣+2sin60°．
（2）先化简，再求值：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（x+3）（x+1），其中x为方程x2﹣6x﹣2023＝0的解．
解：（1）+（2023﹣π）0﹣+2sin60°
＝3+1﹣（﹣1）+2×
＝3+1﹣+1+
＝5；
（2）（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（x+3）（x+1）
＝x2﹣2x+1+x2﹣4﹣（x2+4x+3）
＝x2﹣2x+1+x2﹣4﹣x2﹣4x﹣3
＝x2﹣6x﹣6，
∵x2﹣6x﹣2023＝0，
∴x2﹣6x＝2023，
∴当x2﹣6x＝2023时，原式＝2023﹣6＝2017．
17．（7分）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 50 ，圆心角β＝ 144 度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．
解：（1）本次调查的样本容量是：10÷20%＝50，
则圆心角β＝360°×＝144°，
故答案为：50，144；
（2）成绩优秀的人数为：50﹣2﹣10﹣20＝18（人），
补全条形统计图如下：
（3）1200×＝480（人），
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，
∴恰好抽到A，C两人同时参赛的概率为＝．
18．（7分）某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图．
（1）若纪念品在成本价的基础上经过两次涨价，售价为67.5元，求这两次平均增长率为多少？
（2）当销售单价为多少元时，每天的获利最大，最大利润是多少？
（3）物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持（1）中函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元，求m的值．
解：（1）这两次平均增长率为x，
30（1+x）2＝67.5，
解得：x＝0.5或﹣2.5（舍去）．
∴这两次平均增长率为50%；
（2）设解析式为y＝kx+b，
根据图象可知，点（30，100）、（50，60）在y＝kx+b上，
∴，
解得，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+160；
设每天获利w元，
根据题意得w＝（x﹣30）⋅（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，
∴当x＝55时，w取最大值为1250，
答：当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元．
（3）由（2）知，当w最大＝1200时，﹣2（x﹣55）2+1250＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∴m的值为50，
即m＝50．
19．（8分）如图，△ABC中∠ACB＝90°，CD是中线，以CD为直径的⊙O交BC于点E，作EF⊥AB于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若CD＝9，sin∠DCB＝，求EF的长．
（1）证明：连接OE，如图，
∵△ABC中∠ACB＝90°，CD是中线，
∴CD＝BD＝AB，
∴∠DCB＝∠B．
∵OC＝OE，
∴∠DCB＝∠OEC，
∴∠OEC＝∠B，
∴OE∥BD．
∵EF⊥AB，
∴OE⊥EF，
∵OE为⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接DE，如图，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°．
在Rt△CDE中，
∵sin∠DCB＝，
∴DE＝CD＝3．
∴CE＝．
∵DC＝DB，DE⊥BC，
∴BE＝CE＝6．
∵DE•BE＝BD•EF，
∴DE•BE＝BD•EF，
∴3×6＝9EF，
∴EF＝2．
20．（8分）阅读新知
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．
即：在数列a1，a2，a3，…，an（n为正整数）中，若，，…，则数列a1，a2，a3，…，an（n为正整数）叫做等比数列．其中a1叫数列的首项，a2叫第二项，…，an叫第n项，q叫做数列的公比．
例如：数列1，2，4，8，16，…是等比数列，公比q＝2．
计算：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和．
解：令S＝1+3+32+33+…+3100，则3S＝3+32+33+34+…+3100+3101．
因此3S﹣S＝3101﹣1．所以．
即1+3+32+33+…+3100＝．
学以致用
（1）选择题：下列数列属于等比数列的是 C
A.1，2，3，4，5
B.2，6，18，21，63
C.56，28，14，7，3.5
D．﹣11，22，﹣33，44，﹣55
（2）填空题：已知数列a1，a2，a3，…，an是公比为4的等比数列，若它的首项a1＝3，则它的第n项an等于 3×4n﹣1 ．
（3）解答题：求等比数列1，5，52，53，…前2024项的和．
解：（1）由题意可得，
，故选项A中的数列不是等比数列；
，故选项B中的数列不是等比数列；
，故选项C中的数列是等比数列；
，故选项D中的数列不是等比数列；
故答案为：C；
（2）∵数列a1，a2，a3，…，an是公比为4的等比数列，它的首项a1＝3，
∴它的第n项an＝a1•qn﹣1＝3×4n﹣1，
故答案为：3×4n﹣1；
（3）设S＝1+5+52+53+…+52023，
则5S＝5+52+53+…+52023，
5S﹣S＝52024﹣1，
4S＝52024﹣1，
S＝，
即前2024项的和是．
21．（9分）如图1，在正方形ABCD中，AE平分∠CAB，交BC于点E，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点G，交AB的延长线于点F．
（1）求证：BE＝BF；
（2）如图2，连接BG、BD，求证：BG平分∠DBF；
（3）如图3，连接DG交AC于点M，求的值．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠EAB+∠AEB＝90°，
∵AG⊥CF，
∴∠FCB+∠CEG＝90°，
∵∠AEB＝∠CEG，
∴∠EAB＝∠FCB，
在△ABE和△CBF中，，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴BE＝BF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CAB＝45°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAG＝∠FAG＝22.5°，
在△AGC和△AGF中，，
∴△AGC≌△AGF（ASA），
∴CG＝GF，
∵∠CBF＝90°，
∴GB＝GC＝GF，
∴∠GBF＝∠GFB＝90°﹣∠FCB＝90°﹣∠GAF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠DBG＝180°﹣∠ABD﹣∠GBF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DBG＝∠GBF，
∴BG平分∠DBF；
（3）解：连接BG，如图3所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝AB，∠DCA＝∠ACB＝45°，∠DCB＝90°，
∴AC＝DC，
∵∠DCG＝∠DCB+∠BCF＝∠DCB+∠GAF＝90°+22.5°＝112.5°，∠ABG＝180°﹣∠GBF＝180°﹣67.5°＝112.5°，
∴∠DCG＝∠ABG，
在△DCG和△ABG中，，
∴△DCG≌△ABG（SAS），
∴∠CDG＝∠GAB＝22.5°，
∴∠CDG＝∠CAG，
∵∠DCM＝∠ACE＝45°，
∴△DCM∽△ACE，
∴＝＝．
22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+6（m＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）当m＝﹣6时，直接写出点A，C，D的坐标；
（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若，
①求m的值．
②将直线CD向上平移n个单位得到直线L，直线L与抛物线只有一个公共点，求n的值．
（3）如图2，在（2）的条件下，若点Q为OC的中点，连接BQ，动点P在第一象限的抛物线上运动，过点P作x轴的垂线．垂足为H，交BQ于点M，交直线ED于点J，过点M作MN⊥DE，垂足为N．是否存在PM与MN和的最大值？若存在，求出PM与MN和的最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）把m＝﹣6代入抛物线y＝mx2﹣4mx+4m+6得y＝﹣6x2+24x﹣18，
令y＝0时，则﹣6x2+24x﹣18＝0，
则x1＝1，x2＝3，
∵点A在点B的左侧，
∴A（1，0），
令x＝0时，则y＝﹣18，即C（0，﹣18），
当时，
则y＝﹣6×4+24×2﹣18＝﹣24+48﹣18＝6，
∴D（2，6），
∴综上，点A（1，0），C（0，﹣18），D（2，6）；
（2）①过点D作DF⊥BE于点F，过点C作CG⊥DF于点G，如图所示：
∴CG∥BE，
∴∠BED＝∠DCG，
∵，
∴，
由y＝mx2﹣4mx+4m+6＝m（x﹣2）2+6可知顶点D（2，6），
令x＝0时，则y＝4m+6，即C（0，4m+6），
∴DF＝6，FG＝4m+6，
∴DG＝DF﹣FG＝﹣4m，CG＝2，
∴，
解得：；
②由①得，
设直线DE的解析式为y＝kx+b，
则有：，
解得：，
∴直线DE的解析式为，
则直线CD向上平移n个单位得到直线L为，
当直线L与抛物线只有一个公 共点时，则，
整理得2x2﹣4x+3n＝0，
Δ＝（﹣4）2﹣24n＝0，
解得：；
（3）存在，理由如下：
由（2）可知：直线DE的解析式为，，，
∴，，
令y＝0时，则，
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴B（5，0），
∵点Q为OC的中点，
∴，
设直线BQ的解析式为y＝k1x+b1，
则有：，
解得：，
∴直线BQ的解析式为，
∵，JH⊥BE，
∴，即，
∴，
∴，
设，即0＜a＜5，则有，
∴，，
∴MN＝MJ•sin∠EJH＝a+1，
∴，
∵，且0＜a＜5，
综上所述，存在，当a＝3时，PM+MN有最大值，最大值即为．
册数
1
2
3
4
5
人数
2
5
7
4
2