湖北省孝感市云梦县2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)

这是一份湖北省孝感市云梦县2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得：x＋1≥0，
解得：x≥−1，
故选：C．
2. 以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，5B. ，，
C. ，，D. 9、16、25
【答案】B
【解析】A． ，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B． 能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C． ，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D． ，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3. 下列计算中，正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A.与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B.与不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C.，原式计算错误，不符合题意；
D.，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
4. 下列根式中，化简后能与进行合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A.能与进行合并，符合题意；
B.不能与进行合并，不符合题意；
C.不能与进行合并，不符合题意；
D.不能与进行合并，不符合题意；
故选：A．
5. 如图，在中，，点为边的中点，，，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】在中，，，，
由勾股定理得：，
点为边的中点，
．
故选：C．
6. 如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）

A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】A.由，，可以判定四边形平行四边形，本选项不符合题意；
B.由，，可以判定四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
C.由，，可以判定四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
D.由，，不能判定四边形是平行四边形，本选项符合题意；
故选：D．
7. 如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（ ）
A. B. 8C. D.
【答案】C
【解析】如图所示：和交于点O
四边形是菱形，，
，，，
，
，
在中根据勾股定理得：
，
，
，
故选：C．
8. 如图，在正方形中，E为上一点，连接，交对角线于点F，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】四边形是正方形，
，，，
在和中
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
9. 如图，在平行四边形中，于点，是的中点，是的中点，已知，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】B
【解析】连接交于点，连接，，
∵平行四边形，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；故选B．
10. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F，为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】矩形中，，，
，，，
，
由作图过程知平分，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
故选：A．
二、填空题
11. 计算的结果是______.
【答案】2
【解析】 ()2=2．
12. 如图，平行四边形的周长为，与相交于点，交于点，连接，则的周长为______．
【答案】6
【解析】四边形平行四边形，
，，
，
是线段的中垂线，
，
，
的周长，
又平行四边形的周长为，
∴，
故答案为：6．
13. 点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则______．
【答案】
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故答案为：．
14. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈尺）一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是______尺．
【答案】
【解析】设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：．
解得：，
折断处离地面的高度为尺，
故答案为：
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上的一点，连结AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处，当△CEB'为直角三角形时，CE的长为_______．
【答案】或
【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图所示，
连结AC，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E＝∠B＝90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，如图，
∴EB＝EB′，AB＝AB′＝6，
∴CB′＝10−6＝4，
设BE＝x，则EB′＝x，CE＝8−x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2＋CB′2＝CE2，
∴x2＋42＝（8−x）2，
解得x＝3，
∴BE＝3，
∴CE=8-3=5；
②当点B′落在AD边上时，如图所示，
此时ABEB′为正方形，
∴BE＝AB＝6，
∴CE=8-6=2；
综上所述，CE的长为2或5．
故答案为：2或5．
三、解答题
16. 计算：
（1）；
（2）．
（1）解：，
；
（2）解：
．
17. 已经，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
解：（1），
，
；
（2），
．
18. 先化简，再求值：，其中，．
解：原式
，
当，时，
原式．
19. 如图，点在平行四边形的对角线上，连接，过点作，交对角线于，求证：．

证明：∵，
，
，
，
在平行四边形中，，
，
在和中，，
，
．
20. 如图，矩形的对角线相交于点，，．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的周长．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
四边形矩形，
，，．

四边形是菱形．
（2）解：四边形是矩形，
．
．
又
设，则．
．
解得（负值舍去）．
，
又四边形是菱形
四边形的周长等于4．
21. 如图所示，矩形中，以对角线为底边，作等腰直角（点在上方），，，连接，过点作，交于．
（1）求证：；
（2）若，，连接，请求出的长．
（1）证明：如图，设与交于点，则，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
；
（2）解：如图所示，连接，
由（1）可知：
，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
而由（1）可知，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
B、E、F三点共线 ，
．
22. 2024年2月7日，云梦县楚王城公园（南片）开园迎客．开园当天，建设东路年货集市、非遗赶大集、文艺晚会和烟火晚会等丰富多彩的文娱活动精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“云上王城，龙凤呈祥”的美好图景．如图，公园在建设东路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．
（1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
解：（1）由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米；
（2）按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
23. （1）【问题发现】学习矩形后，小明发现：矩形两条对角线的平方和，等于它四边的平方和，即：如图1，在矩形中，有，请你证明小明的发现的正确性．
（2）【一般探究】如图2，在中，小明的发现还成立吗？请说明理由．
（3）【拓展应用】如图3，在中，为的中点，，，，求的长．
（1）证明：四边形是矩形，
，，
，，
；
（2）解：在中，小明的发现还成立，即：，
理由如下：
如图：分别过点作的垂线，垂足分别为，
四边形是平行四边形，
，，，
，
又，
，，
在直角三角形中，由勾股定理得：
，
同理，在直角三角形中，由勾股定理得：
，
；
（3）解：如图，延长到，使，连接，
，，
四边形是平行四边形，
由（2）可知：，
，
．
24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，是边上一点，连接，以为一边在的右侧作正方形，连接．

（1）求证：．
（2）若，求点的坐标．
（3）如图，当点在上运动时，请直接写出的最小值．
（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作轴于，过点作轴于，则，

∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
（3）解：如图，过点作轴于，延长至，使，则，

∵四边形、四边形都为正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，∴，
∵，∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
当点共线时，最小，最小值等于的长，
∵，，
∴，
∴的最小值为．