数学6.4 平面向量的应用精品课堂检测

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考法一 证线段垂直
【例1】（2023·河南信阳）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．

(1)请用，表示向量；
(2)若，设，的夹角为，若，求证：．
【一隅三反】
1．（2023·山东济南）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．
(1)求重心E的坐标；
(2)用向量法证明：．
2．（2023北京）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
3．（2024湖南）如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.
4．（2024河北）如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：.
考法二 夹角问题
【例2-1】（2023广东深圳）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】（2024四川）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2024·黑龙江）已知为△的外接圆的圆心，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东广州）在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为 .
3．（2023·上海）已知是的外心，且，则 ．
考法三 求线段长度
【例3-1】（2023·海南）在中，角所对的边分别为，.
(1)求角的值；
(2)若，边上的中点为，求的长度.
【例3-2】．（2023·广东广州）如图，在中，是边的中点，与交于点.
(1)求和的长度；
(2)求.
【一隅三反】
1．（2023·河北沧州）如图，在中，.
(1)求的长；
(2)求的长.
2．（2023·山东）如图，在中，，，，点在线段上，且．
(1)求的长；
(2)求．
3．（2023·重庆）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.
(1)求线段，的长；
(2)求的余弦值.
考法四 求几何的最值
【例4-1】（2023·江西南昌）圆的直径，弦，点在弦上，则的最小值是 ．
【例4-2】（2023·广东湛江）在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为 .
【一隅三反】
1．（2023·安徽）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为 .

2．（2023·广东深圳）青花瓷（blue and white prcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是 ．

3．（2023·全国·模拟预测）如图，在四边形中，已知，点在边上，则的最小值为 .
考法五 物理上的应用
【例5-1】（2023·云南）已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（ ）．
A．NB．5NC．10ND．N
【例5-2】（2023·广东佛山）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（ ）（重力加速度）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023·河南焦作）如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 .
2．（2023·全国·高三专题练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则 .

3．（2023·云南曲靖）马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为，）
A．9.2B．7.5C．8.7D．6.5
4．（2023·北京）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论：
①越大越费力，越小越省力；②的范围为；
③当时，；④当时，.
其中正确结论的序号是（ ）

①③B．①④C．②③D．②④
单选题
1．（2023·广东佛山）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．斜三角形D．等腰直角三角形
2．（2023·河南洛阳）在中，，且，则等于（ ）
A．B．C．D．或
3．（2023·浙江温州）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A．25B．5C．D．
4．（2023·黑龙江）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·天津和平）在平面四边形中，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023下·福建漳州·高一校联考期中）已知为所在平面内一点，，，，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·四川）如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·云南）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（ ）
A．B．3C．D．
多选题
9．（2023江西）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．绳子的拉力不断增大B．绳子的拉力不断变小
C．船的浮力不断变小D．船的浮力保持不变
10．（2023湖南）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（ ）
A．越大越费力，越小越省力B．的取值范围为
C．当时，D．当时，
11．（2023·浙江衢州）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）

A．若函数，则函数的最小值为
B．的最大值为
C．在方向上的投影向量为
D．
12（2023·安徽）已知正的边长为，中心为O，P是的内切圆上一点，则（ ）
A．B．满足的点只有1个
C．D．满足的点有2个
填空题
13．（2024·广东佛山）已知中，，边上的高与边上的中线相等，则 .
14．（2023·河北石家庄）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 .
15．（2024·安徽）设点是的中线上一个动点，的最小值是，则中线的长是 .
16．（2023·天津西青）在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，若，与的夹角为，则以下四个结论中：①的最小值为；②当时，；③当时，；④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ．

解答题
17．（2024·重庆）在梯形中，为钝角，，．
(1)求；
(2)设点为的中点，求的长．
18．（2024·吉林长春）在中，角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，且，求.
19．（2024·广东揭阳）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，已知．
(1)求；
(2)若，D为BC的中点，，求a的值．
20．（2024·全国·模拟预测）在中，角的对边分别为，且，．
(1)求的长；
(2)设为边的中点，若线段的长不大于，求的长的最大值．
21．（2024·河南新乡）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，
(1)求；
(2)求的正弦值.
22．（2023·云南玉溪）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求；
(2)若点在边上，，且满足 ，求边长；
请在以下三个条件：
①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线；
其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．