福建省南平市浦城县2022-2023学年高一数学下学期期末冲刺试卷（二）（Word版附解析）

这是一份福建省南平市浦城县2022-2023学年高一数学下学期期末冲刺试卷（二）（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
1. 复数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照复数的加法和减法法则进行求解.
【详解】
故选：A.
2. 如图是水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图，且轴，轴，则原四边形ABCD的面积是（ ）
A. 14B. C. 28D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：利用斜二测画法，将直观图还原为原图，并由此计算出四边形的面积.
方法二：利用原图和直观图面积的关系，计算出四边形的面积.
【详解】（方法一）还原平面图形，如图左所示，延长，交轴于，如图右所示，画出平面直角坐标系，取，过点E作轴，在EF上截取，，再过点D作轴，过点A作轴，并截取，.连接BC，可得直观图的原平面图形ABCD.
由作出的图形可知，.
（方法二）因为，所以梯形的高为，
故，
则.
故选：C
【点睛】本小题主要考查斜二测画法中的计算，属于基础题.
3. 底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据棱柱体积公式求得结果.
【详解】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是
故选：A
【点睛】本题考查棱柱体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
4. 在中，，则（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由正弦定理即可求出，进而求出.
【详解】由正弦定理可得，
，
，或.
故选：B.
5. 在一个随机试验中，彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，则下列说法正确的是（ ）
A. 与是互斥事件，也是对立事件
B. 与是互斥事件，也是对立事件
C. 与是互斥事件，但不是对立事件
D. 与是互斥事件，也是对立事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念和性质，根据题中条件，逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，
所以与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故A错；
与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故B错；
与是互斥事件，且，所以也是对立事件，故C错；
与是互斥事件，且，
所以也是对立事件，故D正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题型.
6. 下列命题中正确的是（ ）
A. 正方形的直观图是正方形
B. 平行四边形的直观图是平行四边形
C. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
【答案】B
【解析】
【分析】
选项，正方形的直观图是平行四边形；选项，由斜二测画法规则知平行性不变知②正确；选项，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行；选项，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．
【详解】解：选项，正方形直观图是平行四边形，故错误；
选项，由斜二测画法规则知平行性不变，即平行四边形的直观图是平行四边形，故②正确；
选项，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行，故错误；
选项，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误．
故选：．
7. 一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6，方差是3.6，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）
A. 17.2，3.6B. 54.8，3.6C. 17.2，0.4D. 54.8，0.4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据均值和方差的公式计算可结果.
【详解】设一组数据为，平均数为，方差为，所得一组新数据为，平均数为，方差为，
则，，
所以，
所以，所以，
由题意得，
所以，
所以
所以，
所以，所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：熟练掌握几个数据的均值和方差公式是解题关键.
8. 如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知，结合图形，利用中位线，把异面直线所成角的问题转化为三角形的夹角，
根据等角定理以及三角形的性质求解.
【详解】
如图，取中点，连接、，因为E，F分别是中点，
所以，，又，，
所以，，
因，所以，
所以在中，，所以，
因为，根据等角定理可知，
与所成的角的大小是，故B，C，D错误.
故选：A.
二、多项选择题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（ ）
A. 至少有一个白球与都是白球
B. 恰有一个红球与白、黑球各一个
C. 至少一个白球与至多有一个红球
D. 至少有一个红球与两个白球
【答案】BD
【解析】
【分析】根据互斥事件的定义和性质判断.
【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，
在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.
在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；
在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；
在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；
故选：BD.
【点睛】本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题.
10. 已知向量，其中均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A. 与的夹角为钝角
B. 向量在方向上的投影为
C.
D. 的最大值为2
【答案】CD
【解析】
【分析】通过求出，向量在方向上的投影，利用平行关系结合基本不等式，即可得出结论.
【详解】由题意，均为正数，
，
A项，
∵，
∴与的夹角不为钝角，A错误；
B项，
∵，
∴向量在方向上的投影为，B错误；
C项，
∵，，
∴，即，C正确；
D项，
∵，即，当且仅当时等号成立，
∴的最大值为2，D正确；
故选：CD.
11. 下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）
A. 复数是实数充要条件是
B. 复数是纯虚数的充要条件是
C. 若，互为共轭复数，则是实数
D. 若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于虚轴对称
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复数的分类，共轭复数的定义与复数的几何意义判断．
【详解】根据复数的分类，时，才是纯虚数．A正确，B错误，
，则，所以是实数，C正确；
当是实数时，其共轭复数是它本身，对应的点是同一点，不关于虚轴对称，D错．
故选：AC．
12. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（ ）
A. AC⊥B1E
B. B1C∥平面A1BD
C. 三棱锥C1﹣B1CE的体积为
D. 异面直线B1C与BD所成的角为45°
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，由已知可得AC⊥平面BB1D1D，从而可得AC⊥B1E；对于B，利用线面平行的判定定理可判断；对于C，由进行求解即可；对于D，由于BD∥B1D1，所以∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，从而可得结果
【详解】解：如图，

∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D，
又B1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥B1E，故A正确；
∵B1C∥A1D，A1D⊂平面A1BD，B1C平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD，故B正确；
三棱锥C1﹣B1CE的体积为，故C错误；
∵BD∥B1D1，∴∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，又△CB1D1是等边三角形，
∴异面直线B1C与BD所成的角为60°，故D错误.
故选：AB.
【点睛】此题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线所成的角以及体积的计算等知识，考查推理能力，属于中档题
三、填空题.(本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. A工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续5天生产的手套数依次为，，，，（单位：万只），若这组数据，，，，的方差为1.44，且，，，，的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产手套___________万只．
【答案】##
【解析】
【分析】由平均数定义可知，再根据方差的公式即可求得结果.
【详解】由已知得，即，
设，，，，的平均数为，
根据方差的计算公式有
，
∴，
即，又，
∴．
故答案为：．
14. 如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，，则·=_____.
【答案】
【解析】
【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算转化求解即可．
【详解】以为坐标原点，建立直角坐标系如图：
因为直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，
所以，，，，
所以，，
则．
故答案为：
【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，是基本知识的考查．
15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且a=4，b=6，则△ABC的面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据余弦定理，将已知等式化为边的关系，再结合余弦定理，求出角，再次应用余弦定理，求出边，运用面积公式，即可求解.
【详解】解：∵，由余弦定理可得
，
化简得，即，
∵，∴.
又∵a=4，b=6，代入，
得，解得或（舍去），
∴.
故答案为:
【点睛】本题考查余弦定理边角互化，解三角形以及求三角形的面积，属于中档题.
16. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3.
【答案】
【解析】
【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.
【详解】正六棱柱体积为
圆柱体积为
所求几何体体积为
故答案为：
【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.
四、解答题.（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17. 已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值.
【答案】（1）；（2）时，取到最大值2，时，取到最小值.
【解析】
【分析】
（1）利用向量垂直的坐标表示可求得，结合的范围可求得的值；
（2）将函数化简为，根据的范围可求得的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果.
【详解】解:（1）因为，
所以，
于是，
又，所以；
（2）
.
因为，所以，
从而
于是，当，即时，取到最大值2；
当，即时，取到最小值.
【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.
18. 关于的方程有实根，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】
【分析】
设是其实根，代入原方程，利用复数相等的定义求解.
【详解】设是其实根，代入原方程变形为，
由复数相等的定义，得，解得.
19. 某校为庆祝中华人民共和国建国周年，以“不忘初心，牢记使命”为主题开展了“唱红歌”比赛，工作人员根据参赛选手的成绩绘制了如下不完整的统计图表：
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）求上表中的数据、的值；
（2）通过计算，补全频数分布直方图；
（3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？
（4）如果比赛成绩在分以上（含分）的选手为获奖选手，那么我们随机的从本次参赛的所有选手中抽取出一个人，求恰好抽中获奖选手的概率？
【答案】（1），；（2）图见解析；（3）分；（4）.
【解析】
【分析】（1）根据频数、频率和样本容量三者之间的关系可求得、的值；
（2）计算出至分段以及至分段的人数，由此可补充条形图；
（3）根据中位数的定义以及条形图可得出中位数所在的分数段；
（4）计算出比赛成绩在分的选手所占的频率，由此可得出结论.
【详解】（1）总人数（人），，；
（2）由（1）的计算知至分段的人数为人，
至分段的人数为人，
补全条形图如下图所示：
（3）比赛成绩在的人数为，比赛成绩在的人数为，
因此，比赛成绩的中位数落在分；
（4）恰好抽中获奖选手的概率为：.
【点睛】本题考查条形图应用，同时也考查了中位数、频率的计算以及条形统计图的完善，属于基础题.
20. 已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若的内角，，的对边分别为，，且满足，，求的值.
【答案】(1)；(2)1.
【解析】
【详解】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求值域，（2）先根据两角和正弦公式展开化简 得，由正弦定理得，再根据余弦定理得，代入值.
试题解析：（1）

，∴，，∴.
（2）∵由题意可得 有，
，
化简可得：，∴由正弦定理可得：，∵，∴余弦定理可得： ，∵，∴，所以.
21. 如图所示，在长方体中，，点E是的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）求二面角的正切值.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）连接交于点O，连接，易得，再利用线面平行的判定定理证明.
（2）由长方体的特征得到，再由，利用线面垂直的判定定理证得平面即可.
（3）易得，再由平面平面，得到，可得平面，由是二面角的平面角求解.
【详解】（1）如图所示：
连接交于点O，连接，则O为的中点.
∵E是的中点，∴
又平面，平面，
∴平面.
（2）由题意可知，四边形是正方形，
∴.
∵平面，平面，
∴.
∵平面，平面，，
∴平面.
又平面，
∴，即.
（3）在中，，，，
∴
∵平面平面，
∴.
∵平面，平面，，
∴平面.
又∵平面，
∴.
∴是二面角的平面角.
在A中，∵，，，
∴，
∴二面角的正切值为.
【点睛】方法点睛：几何法求线线角、线面角、二面角的常用方法：
（1）求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
（2）线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．
（3）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．
22. 如图所示，已知在三棱锥中，，M为的中点，D为的中点，且为正三角形．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）若，求三棱锥的体积．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）
【解析】
【分析】(1)先证，可证平面.
(2)先证平面，得，结合可证得平面.
(3)等积转换，由，可求得体积.
【详解】证明：因为为的中点，为的中点，

所以是的中位线，.
又平面，平面，
所以平面.
（2）证明：因为为正三角形，为的中点，所以.
又，所以.
又因为，，所以平面.
因为平面，所以.
又因为，，
所以平面.
(3)因为平面，，
所以平面，即是三棱锥的高.
因为，为的中点，为正三角形，
所以.
由平面，可得，
在直角三角形中，由，可得.
于是.
分数段
频数
频率