河北省邯郸市武安市第一中学2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题（Word版附解析）

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1. 下列图象中，不能表示函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】函数的定义要求定义域中任意一个自变量，都存在唯一确定的函数值值与之对应.
【详解】C选项的函数图像中存在，对应两个不同的函数值，故不是函数图像.
故选：C
2. 下列表示正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）若，则；（5）.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的概念、元素与集合的关系、集合间的基本关系进行判断．
【详解】空集中不含任何元素，故（1）正确；空集是任何集合的子集，故（2）正确；
由得，所以，故（3）错误；
若，即集合是集合的子集，则，故（4）正确；
两个集合间的关系不能用符号，故（5）错误.
故选：C.
3. 已知实数a，b，c满足，则下列不等式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由不等式的性质可得A错误，D错误；作差之后通分化简可得B正确；举反例令，，可得C错误；
【详解】对于A，因为，所以，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，当，，时，，，，故C错误；
对于D，因为，，所以，故D错误．
故选：B．
4. “其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案.
【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”充分条件；
又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件，
综合知“身正”是“令行”的充要条件，
故选：C．
5. 已知非负实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件可得，利用“”乘以构建基本不等式，再根据不等式性质即可求解.
【详解】因为，所以，则，
所以，
根据不等式性质可知，
当且仅当时等号成立，即满足条件，
所以，
所以的最小值为.
故选：B
6. 若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围.
【详解】令，对称轴方程为，
若存在，使不等式成立，
等价于，
当时，即时，，解得，
因为，所以；
当时，即时，，解得，
因为，所以；
因为，所以.
故选:C.
7. 已知集合．若，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】，，使得成立，只需，解之即可.
【详解】因为，所以，则.
，，使得成立，
所以只需，
所以，所以.
故选：B
8. 已知在上满足，则实数取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中条件，先判断函数单调递减，再由分段函数解析式，列出不等式组求解，即可得出结果.
【详解】因为在上满足，
所以在上单调递减，
需满足以下三个条件：
（1）在上单调递减，只需；
（2）在上单调递减，此时显然，函数的对称轴为，所以只需且；
（3）在处，第一段的函数值要大于等于第二段的函数值，即；
因此由，解得，
即实数的取值范围为.
故选：B
二、多选题（每小题6分）
9. 已知满足，且，那么下列各式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，判断出，由不等式性质得到A正确；B选项，先得到，结合得到B正确；C选项，求出，由不等式性质得到C错误；D选项，作差法比较出.
【详解】A选项，因为，所以，又，故，A正确；
B选项，因为，，所以，
又，故，所以，B正确；
C选项，因为，所以，
两边同乘以，得，C错误；
D选项，因为，所以，故，D正确.
故选：ABD
10. 下列命题为假命题的是（ ）
A. “，”的否定是“，”
B. “”是“”的充分不必要条件
C. “”是“”的充分不必要条件
D. “且”是“”的必要不充分条件
【答案】AD
【解析】
【分析】由含有一个量词的命题的否定判断选项A；由不等式性质结合充分条件必要条件的定义判断选项B,D, 充分条件必要条件的定义判断选项C.
【详解】对A，全称量词命题的否定是特称命题，“，”的否定是“，”A选项为假命题；
对B，可以得出，“”是“”的充分条件，
当符合得出，“”是“”的不必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件，B选项正确；
对C，可以得出，“”是“”的充分条件，
当符合得出，“”是“”的不必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件，C选项正确；
对D，且，可得，得，“且”是“”的充分条件
符合，但是且不成立，“且”是“”的不必要条件
则“且”是“”的充分不必要条件，D选项为假命题．
故选：AD．
11. 已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A. B. 若，则x的值是
C. 的解集为D. 的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】将代入，得，将代入，可知A正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程可判断BC正误；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D正确.
【详解】对于A，因为，则，
所以，故A正确；
对于B，当时，，解得：（舍）；
当时，，解得：（舍）或；
的解为， 故B正确；
对于C，当时，，解得：；
当时，，解得：；
的解集为，故C错误；
对于D，当时，；
当时，；
的值域为， 故D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分）
12. 已知，，且，满足这样的集合的个数______.
【答案】7
【解析】
【分析】根据子集和真子集概念的理解，从元素由少到多的顺序将集合逐个列举即得.
【详解】由题意，集合可以取：共7个.
故答案为：7.
13. 单板滑雪是北京冬奥会比赛项目之一，如图，若，某运动员自起跳点起跳后的运动轨迹（虚线部分）可近似看作一元二次函数图象，运动员竖直高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系式，则运动员竖直高度不低于48m时，水平距离最多为______m.
【答案】97.5
【解析】
【分析】由题意直接代入后解一元二次不等式即可；
【详解】由题意可得，，
即，
解得，
因此，运动员水平距离最多为97.5m.
故答案为：97.5.
14. 已知函数表示不大于的最大整数，如，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先求解的范围，再根据函数的定义，即可求解.
【详解】不等式，得，
所以，所以不等式解集为.
故答案为：
四、解答题
15. 设全集，集合，集合
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由交集、并集运算即可求解；
（2）由，列出不等式求解即可.
【小问1详解】
当时，，
，
.
【小问2详解】
因为，所以，
又 ，，
即 ，
解得，
故实数的取值范围为.
16. （1）已知，求的解析式；
（2）已知函数，，，用表示、中的较小者，记为，求的解析式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）令，则，可得出，，由此可得出的表达式，由此可得出函数的解析式；
（2）分别解不等式、，结合可得出函数的解析式.
【详解】（1）设，则，则，所以，，
所以，，其中，
则．
（2）由，即，即，解得，
由，即，即，解得或，
所以，.
17. 某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲场所．如图，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为100平方米的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺彩色水磨石地坪，造价为每平方米105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米40元．
（1）设长为米，总造价为S元，求S关于的函数解析式；
（2）若市面上花坛造价每平方米1000到3000元不等，该小区投入到该休闲场所的资金最多29500元，问花坛造价最多投入每平方米多少元?
【答案】（1）；
（2）2100
【解析】
【分析】（1）利用几何图形的特征计算图形面积即可；
（2）利用（1）的结论结合基本不等式可知，解不等式即可.
【小问1详解】
由题意可得，正方形的面积为，阴影部分面积为，
所以，且，则，
则
；
【小问2详解】
由（1）可知，
，
当且仅当时，即时，等号成立，
由于投入到该休闲场所的资金最多29500元，
所以
解得，当时，符合题意，
所以花坛造价最多投入每平方米2100元．
18. 已知函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可；
（2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可.
【小问1详解】
由.
得，所以，
若，即，上式可化为：，解得；
若，即，上式可化为：，解得；
若，即，上式可化为：，
因为，所以，所以，
所以：或.
综上可知：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【小问2详解】
不等式，即，
所以，
因为恒成立，所以：.
问题转化：存在，使得成立，所以，
设，令，则，
因为（当且仅当，即时取等号），
所以，当且仅当时取等号.
所以综上可知：的取值范围为.
【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解.
19. 已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了．
（1）请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
（2）利用（1）的结论比较的大小；
（3）证明命题：设，证明：．
【答案】（1），证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证；
（2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解；
（3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证.
【小问1详解】
由题意，可得不等式.
证明：由，
因为，可得，
所以，即.
【小问2详解】
由，
由（1）中的结论，可得，即.
【小问3详解】
证明：因为，
由（1）中的结论，可得，
所以①，
又由，同理可得，
则，
由上述结论，可得，所以②，
综合①②，得.