北京市师范大学第二附属中学2025届高三上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知，，则第几象限角（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
3. 设，且，则（ ）
A B. C. D.
4. 若数列满足，且，则数列前项和等于（ ）
A. B. C. D.
5. 下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增且存在零点的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的图象与直线的公共点不少于两个，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）
11. 复数，则__________________.
12. 曲线在点处的切线方程为________．
13. 紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机的特有装置．根据某机构对失事飞机的调查得知：失踪飞机中有后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器；而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器．则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器飞机的比例为______（填写百分数），现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为______．
14. 若函数有零点，则k的取值范围为________．
15. 数列的前n项和为，若数列与函数满足：①的定义域为R；②数列与函数均单调递增；③使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”．有下面四个结论：
（1）与具有“单调偶遇关系”
（2）与不具有“单调偶遇关系”
（3）与数列具有“单调偶遇关系的函数有有限个
（4）与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个
其中正确结论的序号为__________．
三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
16. 已知函数（，）.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定.
（1）求的解析式；
（2）设，，求函数的最小值与单调递减区间.
条件①：；
条件②：为偶函数；
条件③：的最大值为1；
条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，判断的单调性．
18. 如图，在三棱柱中，平面，

（1）求证：平面；
（2）若，求
①与平面所成角的正弦值；
②直线与平面的距离.
19. 2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和．某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如下表：
假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立，用频率估计概率.
（1）从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；
（2）从全校高中部和初中部所有学生中各随机抽取2名学生，求这4名学生中恰有2人清楚垃圾分类后处理方式的概率；
（3）从样本中随机抽取1名男生和1名女生，用“”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式；用“”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式．直接写出方差和的大小关系.（结论不要求证明）
20. 设函数，.曲线在点处的切线方程为.
（1）求a的值；
（2）求证：方程仅有一个实根；
（3）对任意，有，求正数k的取值范围.
21. 对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则记．
（1）写出集合和；
（2）证明：对任意，存在，使得；
（3）设集合求证：中元素个数是完全平方数．
高中部
初中部
男生
女生
男生
女生
清楚
12
8
24
24
不清楚
28
32
38
34