新高考数学考前考点冲刺精练卷29《平面向量基本定理及坐标表示》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
若向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，7)，则eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A.(﹣2，﹣4) B.(2，4) C.(6，10) D.(﹣6，﹣10)
【答案解析】答案为：B
下列向量组中，能表示它们所在平面内所有向量的一个基底是( )
A.a＝(1，2)，b＝(0，0) B.a＝(1，﹣2)，b＝(3，5)
C.a＝(3，2)，b＝(9，6) D.a＝(﹣eq \f(3,4)，eq \f(1,2))，b＝(3，﹣2)
【答案解析】答案为：B
已知A(﹣1，2)，B(2，﹣1)，若点C满足eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝0，则点C的坐标为( )
A.(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)) B.(﹣3，3) C.(3，﹣3) D.(﹣4，5)
【答案解析】答案为：D
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(a，b)，n＝(cs B，cs A)，则“m∥n”是“△ABC是等腰三角形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案解析】答案为：D
解析：由m∥n，得bcs B﹣acs A＝0，即sin Bcs B＝sin Acs A，
所以sin 2B＝sin 2A，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形；
反之，△ABC是等腰三角形，若a＝c≠b，则不能得到m∥n，
所以“m∥n”是“△ABC是等腰三角形”的既不充分也不必要条件.
已知a＝(1，2＋sin x)，b＝(2，cs x)，c＝(﹣1，2)，若(a﹣b)∥c，则锐角x等于( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
【答案解析】答案为：C
已知在平面直角坐标系Oxy中，P1(3，1)，P2(﹣1，3)，P1，P2，P3三点共线且向量eq \(OP3,\s\up6(—→))与向量a＝(1，﹣1)共线，若eq \(OP3,\s\up6(—→))＝λeq \(OP1,\s\up6(—→))＋(1﹣λ)eq \(OP2,\s\up6(—→))，则λ等于( )
A.﹣3 B.3 C.1 D.﹣1
【答案解析】答案为：D
解析：设eq \(OP3,\s\up6(—→))＝(x，y)，则由eq \(OP3,\s\up6(—→))∥a知x＋y＝0，所以eq \(OP3,\s\up6(—→))＝(x，﹣x).若eq \(OP3,\s\up6(—→))＝λeq \(OP1,\s\up6(—→))＋(1﹣λ)eq \(OP2,\s\up6(—→))，则(x，﹣x)＝λ(3，1)＋(1﹣λ)·(﹣1，3)＝(4λ﹣1，3﹣2λ)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4λ－1＝x，,3－2λ＝－x，))所以4λ﹣1＋3﹣2λ＝0，解得λ＝﹣1.
如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若eq \(CA,\s\up6(→))＝λeq \(CE,\s\up6(→))＋μeq \(DB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
A.eq \f(6,5) B.eq \f(8,5) C.2 D.eq \f(8,3)
【答案解析】答案为：B
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴eq \(CA,\s\up6(→))＝(﹣2，2)，eq \(CE,\s\up6(→))＝(﹣2，1)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(1，2)，∵eq \(CA,\s\up6(→))＝λeq \(CE,\s\up6(→))＋μeq \(DB,\s\up6(→))，∴(﹣2，2)＝λ(﹣2，1)＋μ(1，2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2λ＋μ＝－2，,λ＋2μ＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))故λ＋μ＝eq \f(8,5).
已知△ABC的三边分别是a，b，c，设向量m＝(sin B﹣sin A，eq \r(3)a＋c)，n＝(sin C，a＋b)，且m∥n，则B的大小是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(5π,6) C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)
【答案解析】答案为：B
解析：因为m∥n，所以(a＋b)(sin B﹣sin A)＝sin C(eq \r(3)a＋c).由正弦定理得(a＋b)(b﹣a)＝c(eq \r(3)a＋c)，整理得a2＋c2﹣b2＝﹣eq \r(3)ac，由余弦定理得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(－\r(3)ac,2ac)＝﹣eq \f(\r(3),2).又0 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A.a＋b B.eq \f(1,2)a＋b C.a＋eq \f(1,2)b D.a＋eq \f(2,3)b
【答案解析】答案为：C
解析：设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AC＝2AB，所以∠BAC＝eq \f(π,3)，∠ACB＝eq \f(π,6)，又∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝eq \f(π,6)，则根据圆的性质得BD＝AB，又因为在Rt△ABC中，AB＝eq \f(1,2)AC＝r＝OD，所以四边形ABDO为菱形，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b.
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq \(DE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )
A.eq \f(5,8) B.eq \f(1,4) C.1 D.eq \f(5,16)
【答案解析】答案为：A
解析：eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))﹣eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，所以λ＝eq \f(1,4)，μ＝﹣eq \f(3,4)，故λ2＋μ2＝eq \f(5,8).
二、多选题
(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则下列结论正确的是( )
A.eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋b B.eq \(BC,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,2)a＋b C.eq \(BM,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b D.eq \(EF,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,4)a＋b
【答案解析】答案为：ABD
解析：eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋b，故A正确；
eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝﹣eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,2)a＋b，故B正确；
eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))＝﹣eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝﹣eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b，故C错误；
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,4)a＋b，故D正确.
(多选)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，﹣3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，﹣1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m﹣2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A.﹣2 B.eq \f(1,2) C.1 D.﹣1
【答案解析】答案为：ABD
解析：各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形.因为eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))﹣eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，﹣1)﹣(1，﹣3)＝(1，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))﹣eq \(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m﹣2)﹣(1，﹣3)＝(m，m＋1).假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)﹣2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形.
三、填空题
已知向量a＝(1，2)，b＝(2，﹣2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
【答案解析】答案为：eq \f(1,2).
解析：由题意得2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)，所以4λ﹣2＝0，解得λ＝eq \f(1,2).
在△ABC中，点P在BC上，且eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，点Q是AC的中点，若eq \(PA,\s\up6(→))＝(4，3)，eq \(PQ,\s\up6(→))＝(1，5)，则eq \(AQ,\s\up6(→))＝________，eq \(BC,\s\up6(→))＝________.
【答案解析】答案为：(﹣3，2) (﹣6，21)
解析：eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))﹣eq \(PA,\s\up6(→))＝(1，5)﹣(4，3)＝(﹣3，2)，eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(AQ,\s\up6(→))＝(4，3)＋2(﹣3，2)＝(﹣2，7)，eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(PC,\s\up6(→))＝3(﹣2，7)＝(﹣6，21).
如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若eq \(CG,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))＋μeq \(CB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝________.
【答案解析】答案为：eq \f(1,2)
解析：由题图可设eq \(CG,\s\up6(→))＝xeq \(CE,\s\up6(→))(0 已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2).若(2m＋n)∥(m﹣2n)，则λ＝________.
【答案解析】答案为：0
解析：由题意得，2m＋n＝(3λ＋4，4)，m﹣2n＝(﹣λ﹣3，﹣3)，∵(2m＋n)∥(m﹣2n)，∴﹣3(3λ＋4)﹣4(﹣λ﹣3)＝0，解得λ＝0.
已知O为坐标原点，点A(6，3)，若点P在直线OA上，且|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(PA,\s\up6(→))|，P是OB的中点，则点B的坐标为____________.
【答案解析】答案为：(4，2)或(﹣12，﹣6)
解析：∵点P在直线OA上，∴eq \(OP,\s\up6(→))∥eq \(PA,\s\up6(→))，又∵|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(PA,\s\up6(→))|，∴eq \(OP,\s\up6(→))＝±eq \f(1,2)eq \(PA,\s\up6(→))，设点P(m，n)，
则eq \(OP,\s\up6(→))＝(m，n)，eq \(PA,\s\up6(→))＝(6﹣m，3﹣n).
①若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(PA,\s\up6(→))，则(m，n)＝eq \f(1,2)(6﹣m，3﹣n)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,2)6－m，,n＝\f(1,2)3－n，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝1，))∴P(2，1)，∵P是OB的中点，∴B(4，2).
②若eq \(OP,\s\up6(→))＝﹣eq \f(1,2)eq \(PA,\s\up6(→))，则(m，n)＝﹣eq \f(1,2)(6﹣m，3﹣n)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,2)6－m，,n＝－\f(1,2)3－n，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－6，,n＝－3，))∴P(﹣6，﹣3)，
∵P是OB的中点，∴B(﹣12，﹣6).
综上所述，点B的坐标为(4，2)或(﹣12，﹣6).
已知|eq \(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，点C在∠AOB内，且eq \(OC,\s\up6(→))与eq \(OA,\s\up6(→))的夹角为30°，设eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，则eq \f(m,n)的值为______.
【答案解析】答案为：3.
解析：∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，∴eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3))，eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))＝(m，eq \r(3)n).∵tan 30°＝eq \f(\r(3)n,m)＝eq \f(\r(3),3)，∴m＝3n，即eq \f(m,n)＝3.
四、解答题
平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(﹣1，2)，c＝(4，1).
(1)若(a＋kc)∥(2b﹣a)，求实数k；
(2)若d满足(d﹣c)∥(a＋b)，且|d﹣c|＝eq \r(5)，求d的坐标.
【答案解析】解：(1)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b﹣a＝(﹣5，2)，
由题意得2×(3＋4k)﹣(﹣5)×(2＋k)＝0，解得k＝﹣eq \f(16,13).
(2)设d＝(x，y)，则d﹣c＝(x﹣4，y﹣1)，
又a＋b＝(2，4)，|d﹣c|＝eq \r(5)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－4－2y－1＝0，,x－42＋y－12＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝3.))
∴d的坐标为(3，﹣1)或(5，3).
已知A(﹣2，4)，B(3，﹣1)，C(﹣3，﹣4).设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(CA,\s\up6(→))＝c，且eq \(CM,\s\up6(→))＝3c，eq \(CN,\s\up6(→))＝﹣2b.
(1)求3a＋b﹣3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量eq \(MN,\s\up6(→))的坐标.
【答案解析】解：由已知得a＝(5，﹣5)，b＝(﹣6，﹣3)，c＝(1，8).
(1)3a＋b﹣3c＝3(5，﹣5)＋(﹣6，﹣3)﹣3(1，8)
＝(15﹣6﹣3，﹣15﹣3﹣24)＝(6，﹣42).
(2)方法一 ∵mb＋nc＝(﹣6m＋n，﹣3m＋8n)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
方法二 ∵a＋b＋c＝0，∴a＝﹣b﹣c，
又a＝mb＋nc，∴mb＋nc＝﹣b﹣c，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
(3)设O为坐标原点，∵eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))﹣eq \(OC,\s\up6(→))＝3c，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(3，24)＋(﹣3，﹣4)＝(0，20).∴M(0，20).
又∵eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))﹣eq \(OC,\s\up6(→))＝﹣2b，∴eq \(ON,\s\up6(→))＝﹣2b＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(12，6)＋(﹣3，﹣4)＝(9，2)，
∴N(9，2)，∴eq \(MN,\s\up6(→))＝(9，﹣18).
已知a＝(1，0)，b＝(2，1).
(1)当k为何值时，ka﹣b与a＋2b共线；
(2)若eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值.
【答案解析】解：(1)ka﹣b＝k(1，0)﹣(2，1)＝(k﹣2，﹣1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
∵ka﹣b与a＋2b共线，
∴2(k﹣2)﹣(﹣1)×5＝0，即2k﹣4＋5＝0，解得k＝﹣eq \f(1,2).
(2)方法一 ∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq \f(3,2).
方法二 eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)，
∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，
∴8m﹣3(2m＋1)＝0，即2m﹣3＝0，∴m＝eq \f(3,2).
如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线.
(1)设eq \(PG,\s\up6(→))＝λeq \(PQ,\s\up6(→))，将eq \(OG,\s\up6(→))用λ，eq \(OP,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))表示；
(2)设eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))＝yeq \(OB,\s\up6(→))，求证：eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)是定值.
【答案解析】 (1)解：eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(PG,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋λeq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋λ(eq \(OQ,\s\up6(→))﹣eq \(OP,\s\up6(→)))＝(1﹣λ)eq \(OP,\s\up6(→))＋λeq \(OQ,\s\up6(→)).
(2)证明：由(1)得eq \(OG,\s\up6(→))＝(1﹣λ)eq \(OP,\s\up6(→))＋λeq \(OQ,\s\up6(→))＝(1﹣λ)xeq \(OA,\s\up6(→))＋λyeq \(OB,\s\up6(→))，
因为G是△OAB的重心，所以eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→)).
又eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))不共线，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－λx＝\f(1,3)，,λy＝\f(1,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＝3－3λ，,\f(1,y)＝3λ.))
所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝3，即eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)为定值.