江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区2024年中考第一次模拟数学试卷(解析版)

这是一份江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区2024年中考第一次模拟数学试卷(解析版)，共21页。
1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上．
2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题．
3．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）
1. 有理数的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】有理数的相反数是，故选：A．
2. 今年3月12日是我国第46个植树节，全国绿化委员会办公室公布的《中国国土绿化状况公报》显示，2023年，我国完成造林5997万亩．5997万用科学记数法表示是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】万，该数有8个位数，根据科学记数法要求表示为，
故选：B．
3. 整数满足，则的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】，，整数满足，
，
即，则整数的值为，故选：C．
4. 若一次函数的函数值随的增大而增大，则值可能是（ ）
A. 0B. －1C. －2D. －3
【答案】A
【解析】一次函数的函数值随的增大而增大，
，解得，
综合四个选项中的数值，满足题意，
故选：A．
5. 学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12，下列关于这组数据描述正确的是（ ）
A. 众数为10B. 平均数为10
C. 方差为2D. 中位数为9
【答案】A
【解析】A、10出现2次，出现次数最多，故众数是10，该项正确；
B、，故该项错误；
C、方差为，故该项错误；
D、中位数为10，故该项错误；故选：A．
6. 有一个正边形绕旋转中心旋转后与自身重合，则的值可能为（ ）
A. 6B. 9C. 10D. 12
【答案】D
【解析】正方形绕旋转中心旋转后与自身重合，
由正多边形性质可知，当一个正边形的边数是的整数倍时，正边形绕旋转中心旋转后与自身重合，正边形满足题意，故选：D．
7. 如图，在矩形中，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，若，则矩形的周长为（ ）
A. 8B. 12C. 24D. 36
【答案】C
【解析】由题中尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线，连接，如图所示：
，，
在矩形中，，则，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
在中，，，，则由勾股定理可得，且,
在矩形中，，，
矩形的周长为，
故选：C．
8. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点，下列说法：①；②；③与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为；⑤当时，函数有最大值，其中正确的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线过点，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为，
∵，∴，故③错误；
令y=0，则，解得：，
∴方程的两根为，故④正确；
，
∵，
∴当时，函数有最大值，
∵直线经过点，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，函数有最大值，故⑤错误；
∴正确的有2个．
故选：A
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 计算：（3a）2=_____．
【答案】9a2
【解析】（3a）2=32×a2=9a2，
故答案为9a2
10. 计算的结果等于___________．
【答案】18
【解析】，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键．
11. 若有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意得，
解得：，
故答案为：
12. 方程解为______．
【答案】
【解析】，
∴，
解得：，
故答案为：．
13. 有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，，，0．背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是______．
【答案】
【解析】，，，，0中有一个无理数，混合后随机抽取一张，有5种等可能的结果，
混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是，
故答案为：．
14. 如图，正方形的边长为1，对角线，相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】四边形是正方形，
，，
，
则在等腰中，
由勾股定理可得，
由正方形性质可知，，
阴影部分的面积，
故答案为：．
15. 如图，四边形是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积是9，则______．
【答案】
【解析】连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，∴轴，
∴，，
∴，
∴，
∵平行四边形的面积是9，
∴，∴
∵反比例函数的图象在第四象限，
∴，故答案为：．
16. 如图，已知中，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】连接，如图所示：
以为直径作，
，
则，
，
动点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示：
连接，在中，由三角形三边关系可得，从而当三点共线时，可取到最小值，为，
已知中，，，
在中，，则的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
解：
．
18. 解关于的不等式组：．
解：，
由①得；
由②得；
不等式组的解集为．
19. 已知，求代数式的值．
解：原式，
由可得，
将代入原式可得，原式．
20. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
即，
解得：．
21. 一只不透明的袋子中装有3个小球，分别标有编号1，2，3，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为_______；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求两次摸到的小球编号的和是偶数的概率是多少？（用列表或画树状图的方法说明）
解：（1）一只不透明的袋子中装有3个小球，分别标有编号1，2，3，这些小球除编号外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的情况只有一种，
（球的编号是2），故答案为：；
（2）根据题意，列表如下：
由表可知，共有种等可能的结果，其中偶数有种，
（两次摸到的小球编号的和是偶数）．
22. 3月5日，某学校师生积极参加“学雷锋志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有_______人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“文明宣传”对应圆心角度数；
（3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“敬老服务”项目的师生人数．
解：（1）本次调查的师生共有：（人），
“文明宣传”的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：300；
（2）由（1）知“文明宣传”的人数为人，
在扇形统计图中，“文明宣传”对应的圆心角度数为；
（3）由条形统计图中数据可知样本中“敬老服务”的人数为人，
（人）．
23. 如图，某学习小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点在同一水平线上）．
（1）求从点到点的过程中上升的高度；
（2）求大树的高度（结果保留根号）．
解：（1）过点作，如图所示：
斜坡的坡比为（点在同一水平线上），
，
设，，
从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，
，
在中，，解得，
从点到点的过程中上升的高度为米；
（2）过点作，如图所示：
四边形是矩形，则，
在中，，，则，
解得；
在中，，，则，
解得；
由（1）知，，，则，，
，
，即，
解得，
大树的高度为米．
24. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）设直线交轴于点，点，分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标．
解：（1）将点，代入，
得，解得，
点，反比例函数的解析式为；
将点，代入，
得，解得，
一次函数的解析式为．
（2）将代入，得，
，．
若四边形是平行四边形，
则，且，
设，，
则，
解得．
或．
25. 3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种树苗的价格是树苗基地的倍，用元在市场上购买的种树苗比在树苗基地购买的少捆．
（1）求树苗基地每捆种树苗的价格．
（2）树苗基地每捆种树苗的价格是元．学校决定在树苗基地购买，两种树苗共捆，且种树苗的捆数不超过种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对、两种树苗均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
解：（1）设树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆，依题意，
得
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆；
（2）设购买捆种树苗，则购买捆种树苗，共花费元，
∵
解得：
∵，随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，最小值为
26. 【问题初探】如图1，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．求证：．
【拓展研究】如图2，已知内接，，点是的中点，过点作，垂足为点．求证：＋．
【解决问题】如图3，已知等腰三角形内接于，，为上一点，连接、，，的周长为，，求的长．
解：[问题初探]∵，
∴
∴
∴
∴
∴；
[拓展研究] 在上取点，使得，连接，
∵是的中点，
∴，则
∵，∴又
∴∴
∵∴
∴，
[解决问题]过点作于点，
∵
∴为的中点，
由（2）可得
∵的周长为，，
∴，
∴，
∵，∴，
∴．
27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求面积的最大值；
（3）当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）抛物线，
对称轴为，
抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，
，，则，解得，
，，
将代入得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）由得：，
设直线：，将，代入得，解得，
直线：，
在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为，根据，，则分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；
当在轴之间时，如图所示：
，，
，
，，
抛物线开口向下，当时，有最大值，为；
当在轴右边时，过作轴，如图所示：
，，
，
，对称轴为，，
抛物线开口向上，则当时，随着的增大而增大，即当时，有最大值，为；
，
当时，面积有最大值，为；
（3）由（1）知，当时，，
解得或，
，
当在上方，即时，如图所示：
，
当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；
由（1）（2）可知，，，且，，
当时，，
，，
即，解得（舍去）或；
当时，，，
，即，解得（舍去）或（舍去）；
当在下方，即时，如图所示：
，
当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；
由（1）（2）可知，，，且，，
当时，，
，
，即，解得（舍去）或；
当时，，
，
，即，解得（舍去）或；
综上所述，存在点，使以为顶点的三角形与相似，此时，、或．
②
①
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6