2024-2025学年上海市闵行中学高二（上）学情调研数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市闵行中学高二（上）学情调研数学试卷（9月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.“a=1”是直线(a+1)x+(a−1)y+2a=0(a∈R)与圆x2+y2=4相交的( )条件．
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分也非必要
2.已知F为抛物线C：y2=8x的焦点，M为C上一点，且|MF|=4，则M到x轴的距离为( )
A. 4B. 4 2C. 8D. 16
3.已知曲线G：x|x|+y|y|=4，O为坐标原点，则下列结论中正确的是( )
A. 曲线G关于直线y=−x成轴对称图形
B. 经过坐标原点O的直线l与曲线G有且仅有一个公共点
C. 直线l：x+y=2与曲线G所围成的图形的面积为π−2
D. 设直线l：y=kx+2，当k∈(−1,0)时，直线l与曲线G有两个公共点
4.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P(x,y)，定义[OP]=|x|+|y|．
对于下列两个命题：
①设点P是直线y=kx+1(k∈R)上任意一点，则“使得[OP]最小的点P有无数个”的充要条件是“k=±1”；
②设点P是椭圆x24+y2=1上任意一点，则[OP]max= 5．
则下列判断正确的是( )
A. ①真②真B. ①真②假C. ①假②真D. ①假②假
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.经过点P(1, 3)、Q(4,0)两点的直线l的倾斜角α为______．
6.方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，则实数k的取值范围是______．
7.抛物线y2=4x的焦点坐标是 ．
8.两条直线l1：x+(1+m)y−2=0和l2：mx+2y+4=0平行，则m= ______．
9.设两圆C1：x2+y2−1=0与圆C2：x2+y2−2x+4y=0的公共弦所在的直线方程为______．
10.直线2x+5y−3=0关于点M(−1,2)对称的直线方程是______．
11.直线x− 2y+2=0与直线 2x+2y=1所成夹角的余弦值等于______．
12.已知直线l：y=x+m与曲线x= 1−y2有两个公共点，则实数m的取值范围是______．
13.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与直线y=2x无公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为______．
14.圆C：x2+(y−2)2=R2(R>0)上恰好存在2个点，它到直线y= 3x−2的距离为1，则R的取值范围为______．
15.双曲线Γ：x2−y26=1的左右焦点分别为F1、F2，过坐标原点的直线与Γ相交于A、B两点，若|F1B|=2|F1A|，则F2A⋅F2B= ______．
16.已知点F是椭圆x2a2+y2=1(a>1)的右焦点，点P(0,3)到椭圆上的动点Q的距离的最大值不超过2 5，当椭圆的离心率取到最大值时，则|PQ|+|QF|的最大值等于______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题15分)
已知向量a=(4,3),b=(−1,2)．
(1)求向量a与b夹角的余弦值；
(2)若向量(a−λb)//(2a+b)，求实数λ的值．
18.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点A(m,n)，B(2,1)，C(−2,3)．
(1)求BC边所在直线的方程；
(2)若△ABC的面积等于7，且点A的坐标满足2m−3n+6=0，求点A的坐标．
19.(本小题15分)
如图，某苗圃有两个入口A、B，|AB|=100，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的C处，已知|CA|=80，|CB|=88，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系．

(1)工人计划将树苗分别沿C−A−P和C−B−P两条折线段路线搬运至P(7,1)处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由；
(2)工人准备将C处树苗运送到苗圃内的点P处，计划合理设计点P的位置，使得沿C−A−P和C−B−P两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点P的轨迹方程．
20.(本小题15分)
已知圆C：(x−a)2+(y−2+a)2=1，点A(3,0)，O为坐标原点．
(Ⅰ)若a=1，求圆C过点A的切线方程；
(Ⅱ)若直线l：x−y+1=0与圆C交于M、N两点，且OM⋅ON=32，求a的值；
(Ⅲ)若圆C上存在点P，满足|OP|=2|AP|，求a的取值范围．
21.(本小题18分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，点(1, 22)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点T(m,n)在椭圆C上(点T不在坐标轴上)，证明：直线mx2+ny=1与椭圆C相切；
(3)设点P在直线x=−1上(点P在椭圆C外)，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，若△PAB和△OAB的面积之和为1，求直线AB的方程．
参考答案
1.A
2.A
3.C
4.A
5.5π6
6.(−∞,−1)∪(4,+∞)
7.(1,0)
8.1
9.2x−4y−1=0
10.2x+5y−13=0
11.13
12.(− 2,−1]
13.(1, 5]
14.(1,3)
15.4
16.：3 2+2 10．
17.解：(1)因为a⋅b=4×(−1)+3×2=2，
|a|= 42+32=5，|b|= (−1)2+22= 5，
设a与b的夹角为θ，
所以csθ=a⋅b|a||b|=25 5=2 525；
(2)因为a−λb=(4+λ,3−2λ)，2a+b=(7,8)，
又(a−λb)//(2a+b)，
所以8(4+λ)−7(3−2λ)=0，解得λ=−12．
18.解：(1)因为B(2,1)、C(−2,3)，
可得kBC=3−1−2−2=−12，
所以BC边所在直线的方程为y−1=−12(x−2)，
整理得x+2y−4=0；
(2)点A(m,n)到直线BC的距离d=|m+2n−4| 12+22=|m+2n−4| 5，
又|BC|= (−2−2)2+(3−1)2=2 5，因为S△ABC=7，
即12×2 5×|m+2n−4| 5=7，即|m+2n−4|=7，
又点A的坐标满足2m−3n+6=0，
所以m+2n−4=72m−3n+6=0或m+2n−4=−72m−3n+6=0，
解得m=3n=4或m=−3n=0，
所以点A的坐标为(3,4)或(−3,0)．
19.解：(1)C−B−P的长度最短，理由如下：
由|AB|=100，可得A(−50,0)，B(50,0)，又P(7,1)，
∴|AP|= (7+50)2+(1−0)2=5 130，|BP|= (7−50)2+(1−0)2=5 74，
路线C−A−P的长度为|CA|+|AP|=80+5 130，
路线C−B−P的长度为|CB|+|BP|=88+5 74，
∵80+5 130>88+5 74，∴路线C−B−P的长度最短．
(2)设点P(x,y)，已知|CA|+|AP|=|CB|+|BP|，
可得|PA|−|PB|=|CB|−|CA|=80,y>0)．
20.解：(Ⅰ)若a=1，圆C：(x−1)2+(y−1)2=1，可得圆心为(1,1)，半径为r=1．
设斜率存在，过点A的切线方程为：y=k(x−3)，A(3,0)在圆外，有两条切线方程．
则由r=d=|k−1−3k| k2+1=1，
解得：k=0或k=−43．
∴过点A的切线方程为y=0，或4x+3y−12=0．
(Ⅱ)直线l：x−y+1=0与圆C交于M、N两点，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
∵OM⋅ON=32，
∴x1x2+y1y2=32…①
联立方程组：x−y+1=0(x−a)2+(y−2+a)2=1，消去y，可得：x1x2=a2−a…②
消去x，可得：y2y1=a2−a+2…③
把②③代入①解得：a=12．
(Ⅲ)圆C：(x−a)2+(y−2+a)2=1，圆心为(a,2−a)，半径r=1，
圆心在直线y=2−x上，
设P坐标为(x,y)，
∵|OP|=2|AP|，
可得：x2+y2=4(x−3)2+4y2
化简可得：x2+y2−8x+12=0，
表示圆心为(4,0)，半径r=2的圆．
圆C的圆心为(a,2−a)，半径r=1，
圆心在直线y=2−x上，如图：
两圆心的最大距离为1+2=3，
即两圆心的最大距离d≤3，
故得：(4−a)2+(0−2+a)2≤3，
解得：52≤a≤72，
故得a的取值范围是[52,72].
21.解：(1)由题知，12a2+( 22)2b2=12b=2，解得a= 2,b=1，
所以椭圆C的标准方程x22+y2=1．
(2)证明：因为点T(m,n)在椭圆C上，所以m22+n2=1，即m2+2n2=2，
联立x22+y2=1mx2+ny=1消去y整理得(2n2+m2)x2−4mx+4−4n2=0，
即2x2−4mx+2m2=0，即(x−m)2=0，显然方程有唯一解，
所以直线mx2+ny=1与椭圆C相切．
(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(−1,t)，
将x=−1代入x22+y2=1，解得y=± 22，
因为点P在椭圆C外，所以t 22，所以2t2−1>0，
由(2)可得，切线PA，PB的方程分别为x1x2+y1y=1,x2x2+y2y=1，
因为点P在切线PA，PB上，所以−x12+ty1=1,−x22+ty2=1，
所以点A，B在直线−x2+ty=1，即直线AB的方程为x−2ty+2=0，
联立x−2ty+2=0x2+2y2−2=0得(2t2+1)y2−4ty+1=0，Δ>0，
则y1+y2=4t2t2+1,y1y2=12t2+1，
所以|AB|= 4t2+1 (y1+y2)2−4y1y2= 4t2+1 (4t2t2+1)2−42t2+1
=2 (4t2+1)(2t2−1)2t2+1，
记点O，P到直线AB的距离分别为d1，d2，
则d1=2 2t2+1,d2=|2t2−1| 2t2+1=2t2−1 2t2+1，
因为△PAB和△OAB的面积之和为1，
所以12|AB|(d1+d2)= (4t2+1)(2t2−1)2t2+1×(2 2t2+1+2t2−1 2t2+1)= 2t2−1=1，
解得t=±1，所以AB的方程为x−2y+2=0或x+2y+2=0．