河南省信阳市光山县2024年中考三模数学试卷(解析版)

这是一份河南省信阳市光山县2024年中考三模数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列实数中，最大的是（ ）
A. 0B. C. 3D.
【答案】C
【解析】∵，
∵，∴所给的四个实数中，最大的数是．
故选：C．
2. 下列实物图中，主视图和左视图一样的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知主视图和左视图一样只有D选项；
故选D．
3. 2023年我国经济持续发展，国内生产总值达到126万亿元，同比增长．其中126万亿用科学记数法可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】126万亿，
故选：C．
4. 如图，直线与相交于点O，射线在内部，且于点O．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
5. 计算的结果是（ ）
A. 2B. C. 0D.
【答案】B
【解析】，
故选：B．
6. 如图，⊙是的外接圆，是的直径，点P在上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】是⊙的直径，
，
，
，
，
由圆周角定理得：
故选：C．
7. 关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C 有一个实数根D. 没有实数根
【答案】B
【解析】方程整理得：，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：B.
8. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设立春用表示，立夏用表示，秋分用表示，大寒用表示，树状图如下，
由上可得，一共有种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是．
故选：A．
9. 如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点A和点B是切点，交于点E，交于点D，．若，则的长为（ ）
图1 图2
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】与相切于点A，
，
；
，
，
，
∴，
即是等边三角形，
；
；
，
，
与相切于点B，
，
，
；故选：C．
10. 如图①，在▱ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y，y是x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a值为（ ）
A. 3B. 4C. 14D. 18
【答案】A
【解析】由图②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4，
过点B作BH⊥DC于点H，
设CH=x，则DH=8-x，
则BH2=BC2-CH2=BD2-DH2，即：BH2=42-（8-x）2=62-x2，
解得：，
则：，
则，
故选：A．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利______元（用含a的式子表示）
【答案】
【解析】根据题意得，一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利元．
故答案为：．
12. 若与互为相反数，则______．
【答案】
【解析】∵与互为相反数，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，，
∴，
故答案为：．
13. 2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形图若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“二等奖”对应扇形的圆心角度数为______．

【答案】108
【解析】，
“二等奖”对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：108．
14. 黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形，再作正方形，得到黄金矩形……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】∵四边形是黄金矩形，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积．
故答案为：．
15. 如图，在中，，将线段绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当点在的边上时，恰好，则点到直线的距离为________．
【答案】或
【解析】∵四边形为平行四边形，
∴，
由题意知，分在上，在上两种情况求解：
①当在上，如图①，过点作于点，
由旋转的性质可得，∴，
又∵，∴为等边三角形，∴，
∴；
②当在上时，如图②，连接，过点作于点，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，∴，
综上所述，点到直线的距离为或．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. （1）计算：；
（2）化简：．
解：（1）；
（2）.
17. 我国老龄化趋势越来越严重，为积极应对人口老龄化，深入实施积极应对人口老龄化国家战略，必须大力发展养老事业和养老产业，构建居家、社区机构相协调、医养康养相结合的养老服务体系，加强老年健康服务和管理．某个社会调查小组想了解养老机构老年人的身体健康状况，从“国泰”和“民安”两所养老院各随机抽取了十名老人两年中生病住院的次数的数据，（单位：次），并进行整理和分析（住院次数用x表示，共分为四个等级：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
国泰养老院10个老年人两年中生病住院的次数：1，2，3，3，4，4，4，5，8，9．
民安养老院10个老年人两年中生病住院的次数里B等级包含的所有数据为：
5，3，3，3，4．
民安养老院被抽取的住院次数扇形统计图：

国泰、民安养老院被抽取的住院次数统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中 ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为哪个养老院的老年人身体健康状况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）国泰和民安两所养老院分别有老年人150和120人，请你估计这两所养老院两年中住院次数为B等级的人数共有多少人？
解：（1）∵国泰养老院10个老年人两年中生病住院的次数中4出现的次数最多，
∴；，
∴；
∴，
∴民安养老院10个老年人两年中生病住院的次数里A等级有2个数据，
∵一共随机抽取了十名老人两年中生病住院的次数的数据，
∴中位数为第5个数据和第6个数据的平均数，
∵第5个数据为3，第6个数据为4，
∴，
故答案为：4，3.5，20；
（2）∵两个养老院的平均数和A等级占百分比相同，
∵国泰养老院的中位数和众数都大于民安养老院，
∴国泰养老院的老年人身体健康状况更好；
（3）（人），
∴估计这两所养老院两年中住院次数为B等级的人数共有150人．,
18. 如图，是菱形的对角线，．
（1）请用尺规作图作的垂直平分线，垂足为E，交于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接，求的值．
解：（1）如图所示，直线即为所求；
（2）∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
作于，则，

设，则，，，
∴．
19. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数）
解：过作，垂足为，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵的长为，高为，
∴．
∴在中，()．
∵，，
∴．
∴．
∴设．
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．∴．
即信号塔的高为．
∴能求出信号塔的高，信号塔的高为．
20. 某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买1副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需要175元，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需要140元．
（1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
（2）已知该中学需要购买两种球拍共40副，羽毛球拍的数量不超过20副．现商店推出两种购买方案，方案A：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案B：按总价的八折付款试说明选择哪种购买方案更实惠．
解：（1）设购买一副乒乓球拍需x元，购买一副羽毛球拍需y元．
由题意．得，解得，
答：购买一副乒乓球拍需35元，购买一副羽毛球拍需70元．
（2）设购买羽毛球拍a副，则购买乒乓球拍副，按方案A购买，总费用为元，按方案B购买，总费用为元．
根据题意，得，
．
当时，有，解得．
∴．
当时，有，解得．
当时，有，解得．∴．
综上所述，当时，选择购买方案A更实惠；
当时，选择购买方案A、购买方案B一样实惠；
当时，选择购买方案B更实惠．
21. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）连接，求的面积；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
解：（1）将代入反比例函数，解得，
∴，将代入，得，
将，点代入，，解得，
∴；
（2）设一次函数与x轴交于点D，
令，则，令，则，
∴面积
；
；
（3）设点，又，
由旋转知：为等腰直角三角形，
∴，
解得，
∴.
22. 年月日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由小时缩短为小时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽为，入口最高处为米．
（1）求抛物线解析式；
（2）王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平移，最高处降为米，求平移后的抛物线解析式；
（3）双向四车道的地面宽至少要米，则（2）中的建议是否符合要求？
解：（1）由图知，此抛物线对称轴为轴，顶点坐标，，
故设抛物线解析式为，
把点坐标代入解析式得：，
解得，
抛物线解析式为；
（2）由题意可知，抛物线向左平移，向下平移使最高点降为，
抛物线解析式为；
（3）（2）中的建议不符合要求，理由：
令中的，
则，
整理得，
解得，，
，
，
∴（2）中的建议不符合要求．
23. 数学兴趣小组的同学在学习中点知识时，遇到如下一个问题：如图①，在边长为4的正方形中，点是边的中点，，连接，点分别是的中点，连接，求的长．小组成员展开讨论，方法多样、其中小佳同学的做法最具有推广性．

根据以上信息，请回答以下问题：
（1）点是中点的依据是__________________________
（2）请根据小佳同学的思路写出具体的证明过程．
（3）如图③，在中，，，将绕着点顺时针旋转，，分别是，的中点，当点落在的边上时（不包含顶点），求的长度．

解：（1）由题意可知：四边形是矩形，，
点是对角线的中点，
，
，
点是的中点，
点是中点的依据是：矩形的对角线平分且相等，
故答案为：矩形的对角线平分且相等；
（2）如图①，过点作，垂足为，连接，

四边形是正方形，
，
，
，
四边形是矩形，
点是对角线的中点，
点是的中点．
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
正方形边长为4，点是的中点，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，由勾股定理可得，
；
（3）当点落在边上时，分两种情况，情况1，落在边上，情况2，落在边上，
在中，，，
，
，
，
情况1：当点落在边上时，如图②，

由旋转可知：，
，
是等边三角形，
此时点恰好与点重合，且，
，分别是，的中点，
；
情况2：方法一：当点落在边上时，分别以和为对角线构造矩形，如图③，连接，

则点和点为的中点，
是的中位线，
延长，交于点，
，
在中，，
由勾股定理可得，，
；
方法二：如图③，矩形和矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
综上所述：当点落在的边上时（不包含顶点），的长度为2或．平均数
中位数
众数
A等级占百分比
国泰养老院
4.3
4
a
民安养老院
4.3
b
3
小佳同学是这样思考的：
题目中有两个中点，我想到用中位线，但是这两个中点所在的线段是交叉状态，所以可以通过轴对称将它变成“共顶点”的图形、这样就可以构造出三角形的中位线．具体如下：如图②．过点作，垂足为，易证四边形是矩形，连接、则点也是的中点，连接，则是的中位线，计算出的长度即可求出的长度．