南京市联合体2024-2025九年级上学期期中数学试卷及答案

这是一份南京市联合体2024-2025九年级上学期期中数学试卷及答案，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知⊙O的半径为1，点P在⊙O外，则OP的长（ ）
A. 大于1B. 小于1C. 大于2D. 小于2
3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B. C. D.
4. 小明在处理一组数据“12，12，28，15，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
5. 如图，已知点，，，都在上，，，下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7. 一组数据为1，，3，2，则这组数据的极差是__________．
8. 写出一个解为1和2的一元二次方程：___________________．
9. 某公司对应聘者进行创新、综合知识、语言三项测试，其三项成绩分别为72分、50分、88分，若给这三个分数分别权1，2，1，则应聘者的加权平均分数为______分．
10. 用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是______．
11. 一元二次方程的两根是，，且，则的值为________．
12. 如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为_________．
13. 如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E，则扇形面积为__________．
14. 如图，正八边形，连接交于点I，则___________．
15. 对于两个不相等的实数，，规定表示，中较大的数，例如．则方程
的解为__________________．
16. 如图，在边长为5的正方形中，点E，F，G分别在边上，与交于点P，，，则长的最小值为____________．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．）
17. 解方程：
（1） （2）
18. 某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：_____________，______________；
（2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为和请判断_____________；（填“>”、“<”或“=”）；
（3）请你根据统计知识，利用数据对七、八年级的成绩进行比较与评价．
19. 如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为45，墙的最大可用长度为10m，求边的长．
20. 已知关于x的一元二次方程（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根；
（2）若方程的一个根是另一个根的两倍，求方程的两个根．
21. 如图，在的内接四边形中，，对角线是的直径．求证：四边形是矩形．
22. 某种商品原价为100元，经过连续两次降价，发现第二次降价后的价格比第一次降价后的价格少16元．若两次降价的百分率相同且不超过，求降价的百分率．
23. 用直尺和圆规作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积．
（1）如图①，已知扇形，过点O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
（2）如图②，已知扇形，作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
24. 某商家购进一批产品，成本为10元/件，分为“线上”和“线下”两种销售方式．“线上”销售时：售价为16元/件，且每件产品商家需多付2元快递费；“线下”销售时：售价为12元时，线下月销量为1200件，售价每增加1元，线下月销量就减少100件．该商家本月计划购进1500件，预计全部售完，且“线上”销量小于“线下”销量．“线下”如何定价才可使“线上”和“线下”的月利润共可达到6900元？
25. 定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”．
（1）下列方程是“和谐方程”的是 ．
①；②；③．
（2）若方程是“和谐方程”，求m的值．
（3）若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系．
26. 如图，在中，过点的与，分别相切于点，，交，交于点，．连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的半径．
27. 【问题提出】
当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？
【数学眼光】
如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．
【数学思维】
平均数
众数
中位数
七年级参赛学生成绩
m
87
八年级参赛学生成绩
85
n
小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C水平线上任取异于点C的点，连接交于点D，连接，．
（1）按照小明的思路完成证明过程；
【问题解决】
（2）如图③，若墙壁上展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？
（3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含a，b，m的代数式表示）
南京市联合体2024−2025第一学期期中学情分析练习卷
九年级数学
一、选择题
1. C
2. A
3. B
4. B
5. C
6. D
二、填空题
7. 4
8.
9. 65
10. 10
11. －10
12. 5
13.
14. 67.5
15. ，
16.
三、解答题
17.（1），
（2），
18.（1）80，86
（2）
（3）从众数和方差上看，八年级比七年级成绩的大众水平较高，且较为稳定；从中位数看七年级成绩比八年级中等水平较高，综上，我认为八年级的成绩较好．
19.∵，则矩形的长，依题意，得：
即
，
当时，，舍去
当时，成立
答：边的长为5米
20. （1）证明：由题意得，
∵
∴
∴不论m为何值，该方程总有实数根
（2）∵
∴
解得
∵方程的一个根是另一个根的两倍
∴或
∴原方程的两个根为或
21.证明：是的直径
在和中
又
四边形是平行四边形

平行四边形是矩形
22.解：设降价的百分率为x
由题意得：
整理得：
解得：
两次降价的百分率相同且不超过
答：降价百分率为
23.（1）
（2）
24.解：设“线下”定价为x元/件，由题意得：
整理得：
解得：
当时，“线上”销量小于“线下”销量，符合题意
当时，“线上”销量大于“线下”销量，不符合题意，舍去
答：“线下”定价为15元/件
25. 定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”．
（1）下列方程是“和谐方程”的是 ．
①；②；③．
（2）若方程是“和谐方程”，求m的值．
（3）若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系．
（1）②③；
（2）解：∵
∴
∵方程是“和谐方程”
∴
∴
即
解得：
（3）解：对于
则
∵方程为“和谐方程”
∴
∵
∴，即（或）
26. （1）证明：四边形是的内接四边形
四边形是平行四边形
，
又
四边形是平行四边形；
（2）解：与，分别相切于点，，且，
由（1）可得，四边形是平行四边形
，，
如图，连接交于点，连接，过点作于点
又
四边形是矩形
，
设的半径为
则
在中，
即：
解得：
的半径为
27.（1）
视角最大，站在此处观赏最理想
（2）连接，，，，作于点
由题知，米，
为等边三角形
米
米
四边形为矩形
米
米
距地面的距离为（米)
即点C距地面的距离为1.2米
（3）展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米
米
，
米
米
由（2）同理可知，四边形为矩形
米