江苏省南京市联合体2024--2025学年上学期九年级数学月考试卷

这是一份江苏省南京市联合体2024--2025学年上学期九年级数学月考试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
总分：120分 时间：120分钟
一、单选题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A．B．C．D．
2．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A．B．C．D．
3．以原点为圆心，5为半径，点的坐标为，则点与的位置关系是（ ）
A．点在内B．点P在上C．点P在外D．点P在上或外
4．如图，是直径，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ）
A．1B．C．2D．4
6．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7．一元二次方程的根是______．
8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
9．某菜鸟驿站第一天揽件100件，第三天揽件169件，设该菜鸟驿站揽件日平均增长率为，根据题意所列方程为______．
10．如图，是半圆的直径，点在半圆上．若，则的度数为______．
11．已知直角三角形的两条直角边分别为6、8，则它的外接圆半径______．
12．若弦长等于半径，则弦所对圆周角的度数是______．
13．若三角形的两边长分别是2和4，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为______．
14．平面上一点与上点的最短距离为2，最长距离为10，则半径为______．
15．已知是关于的方程的两根，则的值是______．
16．如图，在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则______．
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（8分）解方程：
（1）（2）
18．（6分）如图，在中，点是的中点，分别是半径和的中点．求证：．
19．（8分）已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为，且满足，求实数的值．
20．（8分）如图这是一个残缺的圆形部件，已知是该部件圆弧上的三点．
（1）利用尺规作图作出该部件的圆心；（保留作图痕迹）
（2）若是等腰三角形，底边，腰，求该部件的半径．
21．（8分）如图，为的直径，是弦延长线上一点，，的延长线交于点，连接．
（1）求证；
（2）若的度数为，求的度数．
22．（8分）某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．
（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．
（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．
23．（8分）如图，四边形内接于，连接相交于点．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，连接，求证：．
24．（8分）已知，在中，设所对的圆周角为．求证：
证明；圆心可能在的一边上，内部和外部（如图①、②和③）．
如图①，当圆心在的一边上时．
，
，
，
，即
请你完成图②、图③的证明．
25．（8分）如图，为的直径，弦，垂足为点为弧上一动点，的延长线相交于点，连接．
（1）求证：；
（2）已知，，求的大小．
26．（8分）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为 ①，
解得，．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，，．
（1）解方程．
（2）解方程
27．（10分）问题背景：在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．教材原题：如图1，是的高，是的中点．点、是否在以点为圆心的同一个圆上？为什么？
小军在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点，则点四点也在同一个圆上．
（1）请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可）
直接应用：当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：
三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决．
（2）如图3，的两条高相交于点，连接并延长交于点．
求证：为的边上的高．
拓展延伸：在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：
（3）在（2）的条件下连接（如图4），设，则的度数为______．（用含的式子表示）
九上10月素养练习参考答案：
6．D
【详解】解：如图，取的中点，连接．
，，
点在以为圆心，为半径的上，
当共线时，的值最小，
是直径，，
，
，
的最小值为．
7．8．，且9．10．
11．512．或13．1014．6或4
15．2022
【详解】解：是关于的方程的根，
，
，即，
，
与是关于的方程的两根，
，原式．
16．
【详解】解：连接，
由三角形任意两边之差小于第三边得，当共线时最小，即，
设的弧度为，
的弧度为：，
，
的弧度为：，
由折叠得，的弧度为，
的弧度为：，
点为弧中点，
的弧度为：，
的弧度为：，
即所对圆心角为，
设半圆的半径为，
，，
解得：
半径为2，故答案为：．
17．（1），（2），
【详解】（1）解：
移项，得：，
配方，得：，
即．
两边同时开方，得：，
，．
（2）解：
，，
则，或，
解得：，．
18．【详解】证明：连接，如图所示：
，且分别是半径和的中点，，
是的中点，，，
在和中，，
，．
19．（1）详见解析；（2）．
【详解】证明：（1），
，
，
无论取何值时，总有，
，
无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2），，
，，
，．
20．（1）见解析
（2）圆片的半径为
【详解】（1）解：如图所示：分别作弦和的垂直平分线交点即为所求的圆心；
（2）解：连接交于．
，，
，，
设圆片的半径为，
在中，，
解得：，
圆片的半径为．
21．（1）见解析（2）
【详解】（1）如图：连接
是的直径，即
又 ．
（2）弧AE的度数为
又，且
．
22．（1）98（万元）；（2）20万元
【详解】（1）由题意，得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：，则此时，平均每周的销售利润是：（万元）；
（2）设每辆汽车降价万元，根据题意得：
，
解得，，
当时，销售数量为（辆）；
当时，销售数量为（辆），
为了尽快减少库存，则，此时每辆汽车的售价为（万元），
答：每辆汽车的售价为20万元．
23．【详解】（1），，
即，，
，；
（2）作直径，连接，如图2，
，，，
，，，
为直径，，
，，
即．
24．【详解】解：图②证明：如图②所示，连接并延长交圆于，
，
，，
，，
，，
，
，即；
图③证明：如图③所示，延长交圆于，
，
由图①的证明可知，
．
25．（1）见解析（2）
【详解】（1）解：连接，
是圆内接四边形的外角，
，，
，
为的直径，弦，，
，，．
（2）连接，
为的直径，，，
弦，，
在中，，
，
在中，，
，，
是等边三角形，
，，
，．
26．（1），．；（2），
【详解】（1）设，原方程可化为，
解得，．
由，得，．
由，得方程，
，此时方程无解．
所以原方程的解为，．
（2）原方程可化为，
设，原方程可化为，
解得，．
由，得，．
由，此时方程无解．
所以原方程的解为，．
27．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【详解】证明：（1）点四点也在同一个圆上，理由如下：
连接，
是的中点，
是的高，
，均为直角三角形
，
点四点也在同一个圆上；
点四点在同一个圆上，理由如下：
连接，取的中点，连接，如图，
则，
是的高，
，均为直角三角形
，
点四点在同一个圆上；
（2）连接，由点四点共圆得，
由点四点共圆得，
，
，，
，，
为的边上的高
（3）是边上的高，
点四点共圆
点四点共圆
是的高，
，
，
，
；
题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
B
A
B
C
D