北京市怀柔区第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 数列，，，，…的第10项是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过分析可知该数列的奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；而分子为偶数2n（n为项数），分母为奇数或分母比分子大1，即可得到通项公式.
【详解】观察数列的前四项可知，该数列奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；
而分子为偶数2n（n为项数），分母为奇数或分母比分子大1，
故可得通项公式为：，所以.
故选：C.
【点睛】本题考查了根据数列的特点经过分析观察猜想归纳得出数列的通项公式，考查逻辑思维能力和分析能力，属于基础题.
2. 4名同学分别报名参加足球队､篮球队､乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法有（ ）
A. 81种B. 64种C. 24种D. 12种
【答案】A
【解析】
【分析】根据分步乘法计算原理计算出正确答案.
【详解】每个人都有种选择方法，所以不同的报名方法有种.
故选：A
3. 在一段时间内，甲去博物馆的概率为0.8，乙去博物馆的概率为0.7，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是（ ）
A. 0.56B. 0.24C. 0.94D. 0.84
【答案】C
【解析】
【分析】先根据独立事件的乘法公式求出甲乙两人都不去博物馆的概率，进而对立事件求概率的公式即可计算出结果.
【详解】甲乙两人至少有一个去博物馆的对立事件为甲乙两人都不去博物馆，
设甲去博物馆为事件,乙去博物馆为事件，
则甲乙两人都不去博物馆的概率,
因此甲乙两人至少有一个去博物馆的概率,
故选：C.
4. 设随机变量X概率分布如表所示，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率之和为1和期望值得到方程组，求出，得到答案.
【详解】由题意得，，
解得，
故.
故选：B
5. 在的展开式中，常数项为（ ）
A. B. C. 120D. 160
【答案】A
【解析】
【分析】先求出通项，然后令的指数为零求出，再代入计算可得．
【详解】二项式展开式的通项为（且），
令解得，故常数项为.
故选：A
6. 甲、乙、丙、丁和戊名同学进行数学应用知识比赛，决出第 名至第名（没有重名次）. 已知甲、乙均未得到第 名，且乙不是最后一名，则人的名次排列情况可能有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】C
【解析】
【分析】先排好乙，再排好甲，余下3位同学任意排，从而可得左右排名情况.
【详解】由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有种情况；
再排甲，也有种情况；余下人有种排法．故共有种不同的情况.
故选：C.
【点睛】思路点睛：排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑．
7. 把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件概率公式转化为，分别求解事件和实际包含的基本事件的个数，代入求解.
【详解】事件为“两次所得点数均为奇数”，则事件为，，，，，，，，，故；为“至少有一次点数是5”，则事件为，，，，，，所以.
故选：B.
8. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. 12D. 21
【答案】A
【解析】
【分析】由数列的递推关系式推出是等差数列，然后求解即可．
【详解】正项数列满足，，所以，
可得，所以是等差数列，首项为，公差为，
所以，所以，
故选：A．
9. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等7名志愿者将两个吉祥物安装在学校广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由三名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（ ）
A. 15B. 30C. 42D. 50
【答案】B
【解析】
【分析】依题意将7名志愿者分为四人小组与三人小组，再分小明和小李在不在四人小组两种情况讨论，最后按照分类加法计数原理计算可得；
【详解】解：依题意一个吉祥物安排4名志愿者，另一个吉祥物安排3名志愿者，
四人小组包含小明和小李，则有种，
四人小组不包含小明和小李，则有种，综上可得一共有种安排方法；
故选：B
10. 记为数列的前项和．若，则（ ）
A. 有最大项，有最大项B. 有最大项，有最小项
C. 有最小项，有最大项D. 有最小项，有最小项
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合二次函数的性质分析的最大项，再分析的符号，据此分析可得的最大项，即可得答案．
【详解】解：根据题意，数列，，
对于二次函数，，其开口向下，对称轴为，即当时，取得最大值，
对于，时，最大；
且当时，，当时，，当时，，
故当或8时，最大，
故有最大项，有最大项；
故选：．
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. 从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，则不同的选取方法种数为__________(用数字作答).
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意分为两类：2男1女和1男2女，结合分类计数原理和组合数的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，
可分为两类：
第一类，若2男1女，共有种不同的选取方法；
第二类，若1男2女，共有种不同的选取方法，
由分类计数原理，可得不同的选取方法种数为种.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了分类计数原理的应用，以及组合数的计算，其中解答中根据题设条件，合理分类，结合分类计数原理求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
12. 已知，且，则p等于________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项分布期望与方差公式计算即可.
【详解】解：因为，
所以，解得
故答案为：
13. 同一种产品由甲､乙､丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为0.95､0.90､0.80，甲､乙､丙三家产品数占比例为，将三家产品混合在一起.从中任取一件，求此产品为正品的概率___________.
【答案】0.86
【解析】
【分析】由全概率公式计算所求概率.
【详解】由全概率公式，得所求概率.
故答案为：.
14. 已知数列满足：，，数列是递增数列，试写出一个满足条件的实数的值_________________．
【答案】1（取满足的任何一个实数值）
【解析】
【分析】根据题意，由数列是递增数列，可得，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】因为数列是递增数列，且，
则，即，
整理可得，即，
因为，即，所以，所以.
故答案为：1（取满足的任何一个实数值）
15. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和.下列关于“斐波那契数列”的结论：①，②，③，④.其中，所有正确结论的序号是_______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】利用斐波那契数列的递推公式一一判定结论即可.
【详解】对于①，由题意可知，所以①正确；
对于②，显然，所以②错误；
对于③，易知，
所以
，所以③正确；
对于④，，
，
累加得，
显然，所以④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握斐波那契数列的递推公式，并对其转化变形，从而得解.
三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16. 设，，已知
（1）求实数的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）-2； （2）-2；
（3）128.
【解析】
【分析】（1）根据二项式定理得到方程，求出；
（2）赋值得到，，计算出答案；
（3）令得到答案.
【小问1详解】
根据二项式定理可得，
，解得；
【小问2详解】
由（1）知，，令得
再令得
所以；
【小问3详解】
在式子中，
令可得
17. 袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.
（1）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；
（2）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列.
【答案】（1）分布列见解析；
（2）分布列见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意，由超几何分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由二项分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果；
【小问1详解】
由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，，
所以，X的分布列为：
【小问2详解】有放回地抽取3次，可看作3次独立重复试验，每次抽取到黑球的概率均为，
由题意可知Y的可能取值为0，1，2，3，，
所以，Y的分布列为：
18. 已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和的最大值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用分类整合思想先令求，再令，求得；
（2）由二次函数结合数列的取值得出的最大值.
【小问1详解】
由数列的前n项和，
①当时，；
②当时， ；
当时，不满足，所以数列.
【小问2详解】
因为；因为，
所以当时，有最大值为．
19. 在等差数列中，已知
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值；
（3）是不是数列中的项？
【答案】（1）或；
（2）-5或13； （3）详解见解析.
【解析】
【分析】（1）由等差数列的性质得，解方程组可得和的值，可得公差d，则通项公式可求；
（2）分别求出在不同通项公式下的的值；
（3）把分别代入两个不同的通项公式，求解n的值得答案
【小问1详解】
由，得，
又，所以，
所以，故是一元二次方程的两个实根，
解得或
当时，公差
数列的通项公式为：
当时，公差，
数列的通项公式为：
【小问2详解】
当时，
当时，
【小问3详解】
当时，由，解得，不合题意，
所以不是数列中的项
当时，由，解得，所以是数列中的第20项.
另解：（1）由，得，
又，所以=7，
设数列的公差为则，
化简整理的，解得
数列的通项公式为：或 下解同前
20. 自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
【答案】；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200
【解析】
【分析】
（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；
（Ⅱ）所有可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；
（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．
【详解】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，
所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为．
（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，
,
,
.
所以的分布列为
所以的数学期望为.
（Ⅲ）在随机抽取100名顾客中，
使用自由购的共有人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.
【点睛】本题考查统计表，随机变量X的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题．
21. 民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞.
（1）估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；
（2）求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；
（3）根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲､乙､丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望.
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得；
（2）可看成次独立重复试验模型求解概率；
（3）分别计算出甲、乙、丙能被招飞院校录取的概率，按步骤求出离散型随机变量的分布列.
【小问1详解】
因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立，
所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率.
【小问2详解】
因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，
所以甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率.
【小问3详解】
因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，且预估甲､乙､丙三人的高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，
所以甲能被招飞院校录取的概率，
乙能被招飞院校录取的概率，
丙能被招飞院校录取概率.
依题意的可能取值为，
所以，
，
，
.
所以的分布列为：
所以
X
0
1
2
3
P
a
b
X
0
1
2
3
P
Y
0
1
2
3
P
20以下
70以上
使用人数
3
12
17
6
4
2
0
未使用人数
0
0
3
14
36
3
0
1
2
3
0
1
2
3