2023-2024学年北京市怀柔区青苗学校高二（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京市怀柔区青苗学校高二（上）期中数学试卷，共5页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在同一坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x+a正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知直线l过点A（﹣3，1），且与直线x﹣2y+3＝0垂直，则直线l的一般式方程为（ ）
A．2x+y+3＝0B．2x+y+5＝0C．2x+y﹣1＝0D．2x+y﹣2＝0
3．已知直线l：y＝x﹣8．则下列结论正确的是（ ）
A．点（2，6）在直线l上
B．直线l的倾斜角为
C．直线l在y轴上的截距为8
D．直线l的一个方向向量为＝（1，﹣1）
4．若直线经过A（1，0），B（4，）两点，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
5．直线的斜率为（ ）
A．1B．﹣1C．D．
6．已知向量，，且，那么实数x+y等于（ ）
A．3B．﹣3C．9D．﹣9
7．若，，则＝（ ）
A．（﹣4，1，0）B．（﹣4，1，﹣4）C．（4，﹣1，0）D．（4，﹣1，﹣4）
8．在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3），B（3，3，5），则线段AB的长度为（ ）
A．3B．4C．D．
9．已知点A（2，1，0）和点B（0，﹣3，4），则向量＝（ ）
A．（﹣2，﹣4，4）B．（2，4，﹣4）C．（﹣2，﹣2，4）D．（2，2，﹣4）
10．过点A（1，4）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．x﹣y+3＝0B．x+y﹣5＝0
C．4x﹣y＝0或x+y﹣5＝0D．4x﹣y＝0或x﹣y+3＝0
11．已知直线l经过点P（﹣1，3），且与直线x﹣2y+3＝0平行，则直线l的方程为（ ）
A．x﹣2y﹣5＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x+y﹣5＝0D．x﹣2y+7＝0
12．如图，在三棱锥O﹣ABC中，D是BC的中点，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
13．已知点M（1，0），P（0，1），，过M的直线l（不垂直于x轴）与线段PQ相交，则直线l斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
14．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，，则l1∥l2
B．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，，则α⊥β
D．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则l∥α
二、填空题
15．已知点A（1，1），B（﹣1，5），则线段AB中点C的坐标为 ．
16．已知向量＝（1，2，﹣2），＝（﹣2，﹣4，k），若，则k的值为 ．
17．已知直线l1：（a﹣3）x+（1﹣a）y﹣1＝0，l2：（a﹣1）x+（2a﹣3）y+1＝0，则当实数a＝ 时，l1∥l2．
18．已知A（4，8），B（2，4），C（3，y）三点共线，则y＝ ．
19．已知直线l1：ax+y+1＝0，l2；x﹣2y+1＝0，若l1⊥l2，则实数a＝ ．
20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是 ．
①直线BD1⊥平面A1C1D
②三棱锥D﹣A1C1P的体积为定值
③异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
④直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
三、解答题
21．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝1，E是PB的中点．
（1）求直线BD与直线PC所成角的余弦值；
（2）求证：PC⊥平面ADE；
（3）求点B到平面ADE的距离．
22．求满足下列条件的直线方程：
（1）经过点A（2，﹣3），且与直线4x﹣y﹣2＝0平行；
（2）经过点B（﹣1，3）和C（1，2）；
（3）倾斜角是，在y轴上的截距是7．
23．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P﹣CD﹣B余弦值的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离．
24．已知三角形的顶点为A（﹣2，1），B（3，2），C（1，﹣4）．
（1）求BC边上的中线所在直线方程；
（2）求BC边上的高线所在直线方程．
25．如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，，点E在PD上，且．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值；
（3）证明：在线段BC上存在点F，使PF∥平面EAC，并求线段BF的长．
26．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且，点F为棱PC上的点，平面ADF与棱PB交于点E．
（1）求证：EF∥AD；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小．
条件①：
条件②：平面PAD⊥平面ABCD；
条件③：PB⊥FD．
27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD＝2AD，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．
（1）求证：PA∥平面MNC；
（2）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值．
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