北京市第十三中学2023-2024学年高二上学期期中测试数学试题

这是一份北京市第十三中学2023-2024学年高二上学期期中测试数学试题，共9页。试卷主要包含了直线的倾斜角为，已知向量，则的位置关系是，圆与圆的位置关系为，已知直线，已知直线与圆交于两点，且等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第2页至第4页，答题纸第1页至第3页.共150分，考试时间120分钟.请在答题纸上侧密封线内书写班级､姓名､准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸交回.
第I卷（选择题 共40分）
一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，则的位置关系是（ ）
A.垂直 B.平行 C.异面 D.不确定
3.已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
4.圆与圆的位置关系为（ ）
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
5.已知直线.若，则实数的值是（ ）
A.0 B.2或-1 C.0或-3 D.-3
6.已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
7.已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数等于（ ）
A.2 B. C.2或-2 D.或
8.如图，在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（ ）
A. B. C. D.1
9.已知方程，对于该方程所表示的曲线给出下列结论，结论正确的是（ ）
A.曲线仅有两条对称轴
B.曲线经过5个整点
C.曲线上任意一点到原点距离不小于
D.曲线围成的封闭图形面积不超过2
10.已知两点，若直线上至少存在三个点，使得是直角三角形，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二､填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.）
11.已知，则线段的中点坐标是__________.
12.经过点且与直线垂直的直线方程为__________.
13.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是__________.
14.在空间直角坐标系中，已知点，则直线与所成角的大小是__________.
15.已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为__________.
16.已知点，点在圆上，则的取值范围是__________；若与圆相切，则__________.
17.已知四棱锥的高为和均是边长为的等边三角形，给出下列四个结论：
①四棱锥可能为正四棱锥；
②空间中一定存在到五个点距离都相等的点；
③可能有平面平面；
④四棱锥的体积的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是__________.
三､解答题：（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.如图，在直三棱柱中，分别为的中点
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19.已知圆过原点和点，圆心在轴上.
（1）求圆的方程；
（2）直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程.
20.如图，四边形为梯形，，讦边形为平行四边形.
（1）求证：平面；
（2）若平面，，求：
（i）直线与平面所成角的正弦值；
（ii）点到平面的距离.
21.如图，在长方体中，分别是棱的中点.
（1）请判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：若不存在，说明理由.
22.已知圆为过点且斜率为的直线.
（1）若与圆相切，求直线的方程；
（2）若与圆相交于不同的两点，是否存在常数，使得向量与共线？若存在，求的值：若不存在，请说明理由.
北京市第十三中学2023~2024学年第一学期
高二年级数学期中测试答案
一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
二､填空题（共7小题，每小题5分，共35分）
11. 12. 13. 14.
15. 16.； 17.①②④
三､解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
18.（1）连接，因为分别为的中点，所以
在三棱柱中，.所以四点共面.
因为分别为的中点，所以.
所以四边形为平行四边形.所以.因为平面平面，所以平面.
（2）由题设平面，所以.因为，
所以两两垂直.如图建立空间直角坐标系.
所以.
.平面的一个法向量是
设平面的法向量为，
则即
令，则.于是，设二面角的平面角为，
则，由图可知为锐角，所以.
19.（1）设圆的圆心坐标为.依题意，在，解得
从而圆的半径为，所以圆的方程为.
（2）依题意，圆C的圆心到直线的距离为4
显然直线符合题意.
当直线的斜率存在时，设其方程为，即
所以解得，所以直线的方程为
综上，直线的方程为或.
20.（1）如图，在射线上取点，使，连接.
由题设，得，所以四边形为平行四边形.
所以且.
又四边形为平行四边形，所以且.
所以且..所以四边形为平行四边形，
所以.因为平面平面，所以平面.
（2）（i）因为平面平面，
所以.又，所以两两相互垂直.
如图建立空间直角坐标系，则.
所以.
设平面的法向量为，
则
即令，则.于是.
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成他的正弦值为.
（ii），所以点到平面的距离为.
21.（1）证明：取的中点，连接，
因为分别为中点，所以
平面平面，
所以平面平面，因为平面，所
以平面
（2）因为为长方体，所以
如图建系，，平面的一个法向量为，
，则直线与平面所成角的正弦值为.
（3）线段上不存在一点，使得点到平面的監离是，
思路一：由（1）知平面，点到平面的距离即为点到平面的距离.，易求得平面的一个法向量为
点到平面的距离为.
所以线段上不存在一点，使得点到平面的距离是.
思路二：假设线段上存在一点，使得点到平面的距离是，设，
则，且，平面的一个法向量为，
点Q到平面的距离为
所以线段HF上不存在一点Q，使得点Q到平面的距离是.
22.（1）圆，所以圆心为
过且斜率为的直线方程为，即
与圆相切，则圆心到直线的距离
解得：或，所以，切线或
（2）设，
联立直线与圆得
直线与圆交于两个不同的点等价于
解不等式，得，由韦达定理：，
则
而，
所以与共线等价于
，解得，因为，故没有符合题意的常数.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
B
B
C
C
C
C
D
B