黑龙江省龙东多校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省龙东多校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．过点，且一个方向向量为的直线方程为( )
A.B.C.D.
2．若直线与的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
3．已知点，直线，则过点P且与直线l垂直的直线方程为( )
A.B.
C.D.
4．在坐标平面内，与点的距离为3，且与点的距离为2的直线共有( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
5．已知圆与圆相交于A，B两点，且，则实数( )
A.或B.C.D.
6．已知，，且，则的概率为( )
A.B.C.D.
7．我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”，平面，，，E，F，G分别为棱，，的中点，则点G到平面的距离为( )
A.B.C.D.
8．已知点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，点，则当实数t变化时，的最小值为( )
A.8B.7C.6D.5
二、多项选择题
9．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷出的点数之和是3”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则( )
A.A与C互斥B.B与D对立C.A与B独立D.B与C独立
10．已知P是直线上的动点，O为坐标原点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则( )
A.的最小值为
B.的最大值为
C.当点P的坐标为时，直线经过点
D.当直线的方程为时，点P的坐标为
11．设直线系（其中，m，n均为参数，，），则( )
A.不存在m，n，使直线系M中所有直线恒过定点
B.当时，存在一个圆与直线系M中所有直线都相切
C.当时，坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为，最小值为1
D.当，时，若存在点，使其到直线系M中所有直线的距离不大于1，则
三、填空题
12．若直线与直线平行，则实数m的值为________.
13．若圆上有且只有两个不同的点到直线的距离等于2，则的取值范围是________.
14．已知过点且斜率为的直线与圆相交于A，B两点，则的值等于.
四、解答题
15．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，现在约定乙先投.
(1)求投篮结束时，甲、乙各只投1个球的概率；
(2)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率；
(3)求乙获胜的概率；
16．瑞士数学家欧拉（Euler）在所著的《三角形的几何学》一书中证明了“任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上”这一结论，后人称这条直线为三角形的欧拉线.在中，已知，，且欧拉线的方程为.
(1)求外心F的坐标；
(2)求重心G的坐标；
(3)求垂心H的坐标.
17．已知圆，动圆D的圆心D在y轴上，且与圆C外切，圆D与y轴交于A，B两点，点P的坐标为.
(1)当点D在y轴上运动时，求的最小值；
(2)是否存在x轴上的定点Q，使得点D在y轴上运动时，是定值，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
18．已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，，则叫做向量与的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在正四棱锥中，，且.
(1)求正四棱锥的体积V；
(2)若P为侧棱上的点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若点E是侧棱（包含端点）上的一个动点，当直线与平面所成角最大时，求的值.
19．已知点M，N的坐标分别为和，动点Q满足到点M的距离是它到点N的距离的2倍，动点Q的轨迹为曲线E，曲线E与y轴的交点分别为S，T点.点P是直线上的一个动点，直线，分别与曲线E相交于A，B两点（均与S，T不重合）.
(1)若是等腰三角形，求点P的坐标；
(2)求证：直线过定点，并求出定点坐标；
(3)求四边形面积的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，即.
故选：B.
2．答案：A
解析：由可得，
因为两条直线的交点在第一象限，故且，故，
故，解得或.
故选：A.
3．答案：D
解析：因为直线，
所以设与直线l垂直的直线方程为，
将点代入方程得，，所以，
所以所求直线方程为，即.
故选：D
4．答案：C
解析：与点的距离为3的点的轨迹为圆，其方程为：；
与点的距离为2的点Q的轨迹为圆，其方程为：；
而，故两圆相外切，
而满足题设条件的直线为两圆的公切线，因两圆外切，故公切线的条数为3，
故选：C
5．答案：A
解析：由圆与圆的两方程相减可得：
相交弦的直线方程为：，
又由圆的圆心坐标为，半径为2，结合弦长，
可得圆心到相交弦的距离为：，
则由点到直线的距离公式可得：，化简得：，
解得或.
故选：A.
6．答案：B
解析：根据，，，则满足的条件
，，，，，，，，，，，，，共有13种，
而，，，则满足的条件，，，，，，，，，共有9种，故.
故选：B.
7．答案：B
解析：依题意，如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，设平面的法向量为，
所以，取，
所以点G到平面的距离.
故选：B
8．答案：C
解析：点在直线上，
圆心关于直线对称点，
圆关于直线l对称圆
如图：
连接与圆B交直线l于点P，连接交圆A于Q，
此时最小，，
故选：C
9．答案：ACD
解析：试验的样本空间
，
事件，
，，
对于A，事件A与C没有公共的基本事件，A与C互斥，A正确；
对于B，显然是B中元素，也满足事件D，即B与D可以同时发生，B错误；
对于C，，，，，A与B独立，C正确；
对于D，，，，B与C独立，D正确.
故选：ACD
10．答案：ACD
解析：设，，
所以当，即时，取得最小值，A正确；
对于B选项，如下图所示：
连接、，则，，由切线长定理可得，
因为，，，则，
所以，且，
由图可知，为锐角，当且仅当时，等号成立，
故，无最大值，故B错误；
设，则以为直径的圆的方程为，
又圆O的方程为，两圆相减得直线的方程为，
故当点P的坐标为时，直线的方程为，
直线的方程为，点满足，
所以直线经过点，故C正确；
当直线的方程为时，结合知，,，
即点P的坐标为，故D正确.
故选：ACD
11．答案：BCD
解析：A.当时，直线系，
因为，所以直线系M过定点，故A错误.
B.当时，直线系，
设圆，圆心到直线的距离，
故存在一个圆与直线系M中所有直线都相切，故B正确.
C.当时，直线系，
原点到直线M的距离，
其中，
，
所以，
所以坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为，最小值为1，故C正确.
D.当，时，，
点到直线系M的距离，
化简，，
若，则，
当时，，成立；当时，不成立；
若，则或，有最大值，
则，即，则；
若，则，有最大值0，
则，即，则，
综上所述：，故D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：由题意可得，即，故或，
当时，两直线分别为，，此时两直线重合，故舍去；
当时，两直线分别为，，符合要求；
综上所述，实数m的值为.
故答案为：.
13．答案：
解析：圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
又圆上有且只有两个不同的点到直线的距离等于2，
所以，即，所以的取值范围是.
故答案为：
14．答案：7
解析：由题设，设的中点为M，
因为，故在圆外，
则，
设圆心为C，连接,,，则，
故
故答案为：7.
15．答案：(1)；
(2)；
(3)
解析：（1）设分别表示乙、甲在第i次投篮投中.
则，，，
所求的概率为.
（2）所求的概率为
.
（3）所求的概率为
.
16．答案：(1)；
(2)；
(3).
解析：（1）因为，所以线段垂直平分线的斜率为，
又因为的中点坐标为，
所以垂直平分线方程为，即，
因为外心F既在的垂直平分线上，又在欧拉线上，
所以解方程组，得，所以外心F的坐标为.
（2）设，则，
因为重心G在欧拉线上，
所以，即，
因为，所以，
所以解方程组，得或
当，时，点C与点B重合，不满足题意，所以点C的坐标为，
所以重心G的坐标为.
（3）垂心H在边上的高所在直线上，
由（2）可知，，又，故边所在直线垂直于x轴，
所以边上的高所在直线方程为，
解方程组，得，
所以垂心H的坐标为.
17．答案：(1)；
(2)存在定点
解析：（1）设圆D的圆心，半径为，
因为圆D与圆C外切，所以，所以
因为，所以，即，
不妨设点，，
若，则，此时，
若，，此时，
所以，
因为，所以当时，取最小值.
（2）设，
同理可得，
若存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，是定值，
所以，即.
所以存在定点，当圆D在y轴上运动时，是定值.
18．答案：(1)；
(2)；
(3)3
解析：（1）设和相交于点O，取的中点为K，连接，
因为，故,的夹角即为,的夹角，
故，
所以，所以，
所以正四棱锥的体积.
（2）以O为原点，,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为P在上，且平面，
所以平面的一个法向量为，
又因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
（3）因为点E是侧棱（包含端点）上的一个动点，则，
设，由，得，
所以
因为点E在上，所以平面的法向量就是平面的法向量，
设平面的一个法向量为，，
因为，且，所以，可以取，
设直线与平面所成角为，
则，
因为，所以当时，取得最大值，
此时直线与平面所成角最大，所以，所以的值等于3.
19．答案：(1)或；
(2)证明见解析，定点；
(3).
解析：（1）设点，由，得，
整理得曲线E的轨迹方程为，由对称性不妨令,，
设点，若是等腰三角形，则，解得，
所以点P的坐标为或.
（2）由（1）知,，，则直线的斜率，直线的斜率，有，
而，则直线的斜率，即，
设直线，代入得：，
设,，则，，
因为，
整理得，
则，而，解得，
所以直线恒过定点.
（3）由（2）得，，
则，
令，则，
而，则当时，取得最大值，此时，
所以当直线方程为时，四边形面积的最大值为.