2022-2023学年广东省佛山市顺德区君兰中学八年级（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省佛山市顺德区君兰中学八年级（下）期中数学试卷，共15页。

A．B．
C．D．
2．（3分）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°．AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，则△AEF的周长为（ ）
A．2B．1C．4D．3
4．（3分）如图，点A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（3分）已知点M（1﹣m，2m+6）在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1B．﹣3＜m＜1C．m＞﹣3D．m＜﹣3
6．（3分）把图中的五角星图案，绕着它的中心点O进行旋转，若旋转后与自身重合，则至少旋转（ ）
A．36°B．45°C．72°D．90°
7．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，沿BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．EC＝CFB．∠DEF＝90°C．AC＝DFD．AC∥DF
8．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转a°，得到△AED，若点D恰好在CB的延长线上，则∠BDE等于（ ）
A．B．aC．aD．180°﹣a
9．（3分）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个
步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B＞90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C＞90°，即∠B+∠C＞180°
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①②B．③④②①C．①②③④D．③④①②
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（ ）
A．15°或20°B．20°或30°C．15°或30°D．15°或25°
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）不等式3x﹣1≥x+3的解集是 ．
12．（3分）等腰三角形中有一个角为100°，则其顶角的度数为 度．
13．（3分）如图，已知AC＝BD，要使得△ABC≌△DCB，根据“SSS”判定方法，需要再添加的一个条件是 ．
14．（3分）一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是 ．
15．（3分）直线y＝x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在坐标轴上，若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有 个．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解不等式组：．
17．（8分）用尺规完成作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．
如图，作出△ABC的BC边上的高．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°，可以得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后的△A2B2C2．
19．（9分）已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D＝180°，判断AE、AD和BE的关系，并说明理由．
20．（9分）某校为改善教师的办公环境，计划购进A，B两种办公椅共100把．经市场调查：购买A种办公椅2把，B种办公椅5把，共需600元；购买A种办公椅3把，B种办公椅1把，共需380元．
（1）求A种，B种办公椅每把各多少元？
（2）因实际需要，购买A种办公椅的数量不少于B种办公椅数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其它因素），实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买办公椅的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
21．（9分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象分别与x轴和y轴相交于C、A（0，6）两点，且与正比例函数y2＝﹣2x的图象交于点B（﹣2，m）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围；
（3）点D是一次函数y1图象上一点，若S△OCD＝2S△OCB，求点D的坐标．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．
（1）求证：OC＝AD；
（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果改变，请说明理由；
（3）当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？
23．（12分）△ABC和△DEC是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE．
【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．
【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【拓展应用】如图3，在△ACD中，∠ADC＝45°，CD＝，AD＝4，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
2． 解：由x≤1得x≤3，
所以不等式组的解集为1＜x≤3，
在数轴上的表示为：
故选：A．
3． 解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝EB+EF+FC＝BC，
∵BC＝2，
∴△AEF的周长为2，
故选：A．
4． 解：由点A（2，0）的对应点A1（4，b）知向右平移2个单位，
由点B（0，1）的对应点B1（a，2）知向上平移1个单位，
∴a＝0+2＝2，b＝0+1＝1，
∴a+b＝3，
故选：B．
5． 解：根据题意，得：，
解不等式①，得：m＜1，
解不等式②，得：m＜﹣3，
则不等式组的解集为m＜﹣3，
故选：D．
6． 解：五角星可以被中心发出的射线平分成5部分，
那么最小的旋转角度为：360°÷5＝72°．
故选：C．
7． 解：∵Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，
∴AC∥DF，△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，∠DEF＝∠ABC＝90°，AC＝DF，BC＝EF，
∴BC﹣CE＝EF﹣CE，即BE＝CF，
∴选项B、C、D正确，不符合题意，
选项A错误，符合题意；
故选：A．
8． 解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转a°，得到△AED，
∴∠CAD＝α°，CA＝AD，∠ADE＝∠C，
∴∠C＝∠ACD＝（180°﹣α°），
∴∠BDE＝180°﹣α°，
故选：D．
9． 解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B＞90°，
2、由AB＝AC，得∠B＝∠C＞90°，即∠B+∠C＞180°，
3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，
故选：D．
10． 解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∵∠B﹣∠A＝10°，
∴∠A＝40°，∠B＝50°，
设∠ACD＝x°，则∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝180°﹣40°﹣x°＝（140﹣x）°，
由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，
当∠DFE＝∠E＝40°时，
∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，
∴∠FDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴140﹣x＝100+40+x，
解得x＝0（不存在）；
当∠FDE＝∠E＝40°时，
∴140﹣x＝40+40+x，
解得x＝30，
即∠ACD＝30°；
当∠DFE＝∠FDE时，
∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，
∴∠FDE＝，
∴140﹣x＝70+40+x，
解得x＝15，
即∠ACD＝15°，
综上，∠ACD＝15°或30°，
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：3x﹣1≥x+3，
移项，得3x﹣x≥3+1，
合并同类项，得2x≥4，
系数化为1，得x≥2．
故答案为：x≥2．
12． 解：（1）当100°角为顶角时，其顶角为100°；
（2）当100°为底角时，100°×2＞180°，不能构成三角形．
故它的顶角是100°．
故答案为：100．
13． 解：添加AB＝DC．
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
∴添加一个适当的条件是AB＝DC．
故答案为：AB＝DC．
14． 解：由图可知：当x＞﹣2时，y＞0，即kx+b＞0；
因此kx+b＞0的解集为：x＞﹣2．
故答案为：x＞﹣2
15． 解：令直线y＝x+1中，y＝0，解得x＝﹣1，直线y＝x+1与x轴的交点为A（﹣1，0），
令x＝0，解得y＝1，直线y＝x+1与y轴的交点为B（0，1），
分三种情况考虑：
①以AB为底，C在原点；
②以AB为腰，且A为顶点，C点有3种可能位置；
③以AB为腰，且B为顶点，C点有3种可能位置，
则满足条件的点C最多有7个．
故答案为：7
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：，
解不等式①，得：x＜5，，
解不等式②，得：x＞﹣4，
∴不等式组的解集为﹣4＜x＜5．
17． 解：如图，AD为所作．
18． 解：（1）如图所示△A1B1C1，即为所求：A1（0，﹣5），B1（2，2），C1（0，2）；
（2）如图所示：△A2B2C2．即为所求．
19． 解：AE＝AD+BE．理由如下：
在AE上截取AM＝AD，连接CM，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
在△AMC和△ADC中，
，
∴△AMC≌△ADC（SAS），
∴∠3＝∠D，
∵∠B+∠D＝180°，∠3+∠4＝180°，
∴∠4＝∠B，
∴CM＝CB，
∵CE⊥AB，
∴ME＝EB（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合），
∵AE＝AM+ME，
∴AE＝AD+BE．
20． 解：（1）设A种办公椅x元/把，B种办公椅y元/把，
依题意得：，
解得：．
答：A种办公椅100元/把，B种办公椅80元/把．
（2）设购买A种办公椅m把，则购买B种办公椅（100﹣m）把，
依题意得：m≥3（100﹣m），
解得：m≥75．
设实际所花费用为w元，则w＝[100m+80（100﹣m）]×0.9＝18m+7200．
∵k＝18＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝75时，w取得最小值，最小值＝18×75+7200＝8550，此时100﹣m＝25．
答：当购买75把A种办公椅，25把B种办公椅时，实际所花费用最省，最省的费用为8550元．
21． 解：（1）把B（﹣2，m）代入y＝﹣2x中得m＝4，
∴B（﹣2，4），
把A（0，6）、B（﹣2，4）代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式y＝x+6；
（2）观察图象可知，当y1＞y2时，x＞﹣2；
（3）由S△OCD＝OC•yD＝×OC×|yD|，S△OCB＝×OC×4，
∵S△OCD＝2S△OCB，
∴|yD|＝8，
∴yD＝±8，
代入y＝x+6得x＝2或x＝﹣14，
∴D点的坐标为（2，8）或（﹣14，﹣8）．
22． 解：（1）∵△AOB，△CBD都是等边三角形，
∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC，
∴∠OBC＝∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
∵，
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴OC＝AD；
（2）点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，理由如下：
∵△AOB是等边三角形，
∴∠BOA＝∠OAB＝60°，
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD＝∠BOC＝60°，
∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°；
（3）∵△OBC≌△ABD，
∴∠BOC＝∠BAD＝60°，
又∵∠OAB＝60°，
∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，
在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，
∴AE＝2，
∴AC＝AE＝2，
∴OC＝1+2＝3，
∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．
23． 解：【观察猜想】AE⊥BD，AE＝BD，
证明：在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠CAE+∠AEC＝90°，
∵∠CAE＝∠CBD，∠AEC＝∠BEF，
∴∠DBC+∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BD；
【探究证明】线段BD和线段AE的数量关系和位置关系仍然成立，
证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBD+∠CGB＝90°，
∵∠CAE＝∠CBD，∠AGF＝∠CGB，
∴∠CAE+∠AGF＝90°，
∴∠BFA＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BD；
【拓展应用】如图，在CD的左侧以C为直角顶点作等腰直角△CDE，连接AE，
∴∠DCE＝90°，CE＝CD＝，∠CDE＝45°，
∴DE＝＝2，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝45°+45°＝90°，
∴AE＝＝＝2，
∵将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
由【探究证明】知BD＝AE，
∴BD＝2．