内蒙古自治区呼和浩特市回民区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份内蒙古自治区呼和浩特市回民区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列的通项公式为，则数列是（ ）
A. 以1为首项，为公比的等比数列
B. 以3为首项，为公比的等比数列
C. 以1为首项，3为公比的等比数列
D. 以3为首项，3为公比的等比数列
【答案】A
【解析】因为，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.
故选：A
2. 已知，，则等于（ ）．
A B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
3. 已知是递增的等比数列，且，则其公比满足（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】是等比数列，故，当时， 各项正负项间隔,为摆动数列,故,显然，
由得，又是递增的等比数列，故为递减数列,由指数函数的单调性知.
故选:D
4. 在等差数列中， ，其前项和为，若，则（ ）
A. 2 023B. -2 023C. -2 024D. 2 024
【答案】C
【解析】由是等差数列，设公差为，则
所以，（常数），则也为等差数列.
由，则数列的公差为1.
所以
所以，
所以
故选：C
5. 疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：
附表及公式：
，．
现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断正确的是（ ）
A. 注射疫苗发病的动物数为10
B. 某个发病的小动物为未注射疫苗动物的概率为
C. 能在犯错概率不超过0.005的前提下，认为疫苗有效
D. 该疫苗的有效率约为80%
【答案】ABD
【解析】完善列联表如下：
由列联表知，A正确，
，B正确，
，
不能在犯错概率不超过0.005的前提下，认为疫苗有效，C错误；
疫苗的有效率约为，D正确．
故选：ABD．
6. 8支步枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的步枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设事件A表示“射击时中靶”，事件表示“使用的枪校准过”，事件表示“使用的枪未校准”，则，是的一个划分．
，，，，
根据全概率公式得
，
所以．
故选:B．
7. 某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）
A. 的数据较更集中
B.
C. 甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于
D.
【答案】D
【解析】对于A，Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确；
对于B，因为c与 之间的与密度曲线围成的面积 与密度曲线围成的面积 ，
，正确；
对于C， ，甲种茶青每500克超过的概率 ，正确；
对于D，由B知： ，错误；
故选：D.
8. 复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为A系列、B系列C系列，其中B系列的幅面规格为：，，，…，，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以y表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…，如此对开至规格．现有，，…，纸各一张，已知纸的幅宽为1m，则，，…，这8张纸的面积之和是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意，可得的长、宽分别为，1，
的长、宽分别为1，，
的长、宽分别为，，…，
所以，，…，的面积是首项为，公比为的等比数列，
所以，，…，这8张纸的面积之和为.
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ）
A. 事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”是互斥事件
B. 事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”是对立事件
C. 事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”是相互独立事件
D. 事件“至少有1人投得1点”与事件“甲投得1点且乙没投得2点”是相互独立事件
【答案】AC
【解析】对于选项A，因为甲掷一枚骰子，事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”不可能同时发生，由互斥事件的概念知，所以选项A正确；
对于选项B，甲、乙各投掷一枚骰子，事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”可以同时发生，所以选项B错误；
对于选项C，因为事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”相互间没有影响，所以选项C正确．
对于选项D，至少一人投6点的事件为M，则，
甲投1点且乙没投得2点事件为N，则为，，，故选项D错误．
故选：AC.
10. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 是递减数列B.
C. 当时，D. 当或时，取得最大值
【答案】ACD
【解析】由数列的前项和为，
当时，，
又由，适合上式，
所以数列的通项公式为，
对于A中，由，即，所以数是递减数列，所以A正确；
对于B中，由，所以B错误；
对于C中，当时，，所以C正确；
对于D中，因为的对称轴为，开口向下，
又因为是正整数，且或时，取得最大值，所以D正确.
故选：ACD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若随机变量服从二项分布，且，则
B. 随机事件相互独立，满足，则
C. 若，则
D. 设随机变量服从正态分布，则
【答案】CD
【解析】A选项，因为，所以，
则，故A错误；
B选项，因为随机事件相互独立，则与也相互独立，
，
求解易知错误；
C选项，由条件概率定义
易知，又因为，所以，故C正确；
D选项，随机变量服从正态分布，
可得，
则，故D正确.
故选：CD
12. 设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行n次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】显然，.
蚂蚁爬次仍在上底面的概率为，那么它前一步只有两种情况：
：如果本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率是；
：如果是上一步在下底面，则第步不在上底面的概率是，如果爬上来，其概率应是.
，事件互斥，因此，，整理得，
即，
所以为等比数列，公比为，首项为，
所以，∴.
所以.
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知数列为等差数列，，，则______.
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
因为，，
所以，即，解得，
所以，
故答案为：
14. 已知随机事件，有概率，，条件概率，则______.
【答案】0.82
【解析】∵，∴，.
由乘法公式得.
∴.
故答案为：0.82.
15. 已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则______.
【答案】3
【解析】设等比数列的公比为，则由题意得
，
所以，得，
所以比数列前项和为
，
得，
所以，解得，
故答案为：3
16. 在数列中，， ，则通项公式____．
【答案】
【解析】∵，
∴，
，
，
…
.
以上个等式相加，得．
．
检验：当时，也成立.
所以，数列的通项公式.
故答案：.
四、解答题：本小题共6小题，17题10分，其他题目均为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知随机变量的分布列如表：
若，离散型随机变量满足，求：
（1）的值；
（2）的值.
解：（1）由分布列的性质，可得，解得①，
因为，所以，即②，
联立①②解得，
（2）因为，
所以，
因为，
所以，
.
18. 已知等差数列，前项和为，又．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
解：（1）设等差数列的公差为，首项为，
因为，所以，
所以，由，
解得，
又，所以；
（2）
设，的前项和为，得，
，得
当时，，即，所以
当时，得 ，所以，
则
综上所述：
19. 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：、、、…、，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的平均数；
（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和数学期望；
（3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？
参考数据：，，.
解：（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数
.
（2）参加座谈的11人中，得分在的有人，
所以的可能取值为，，，
所以，，.
所以的分布列为
∴.
（3）由（1）知，，
所以.
得分高于77分的人数最有可能是.
20. 已知在数列中，，前项和.
（1）求、；
（2）求数列的通项公式；
（3）设数列的前项和为，求.
解：（1）由及得，
由及、得；
（2）当时，，整理得，
∴，
验证，当时符合，∴当时，；
（3）由（2）可知，
∴，
21. 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．
参考数据：
参考公式：对于一组数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
（1）赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y(秒/题)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据：
现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；(，用分数表示)
（2）小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值．
解：（1）因为，所以.
因为，
所以，
所以，
所以，
所以所求回归方程为.
（2）随机变量X的所有可能取值为3，4，5，
，
，
.
所以随机变量X的分布列为
.
22. 已知数列、满足，，，.
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求，并证明：.
解：（1）因为，，则，
等式两边同时乘以可得，
即，所以，数列是等差数列.
且，，等差数列公差为，
所以，，
故.
（2）数列的前项和为，且，
则，
所以，，
两式相减可得
，
所以.
又，即为单调递增数列，
所以，即
未发病
发病
总计
未注射疫苗
30
注射疫苗
40
总计
70
30
100
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
未发病
发病
总计
未注射疫苗
30
20
50
注射疫苗
40
10
50
总计
70
30
100
0
1
2
0.4
0
1
2
1 750
0.37
0.55
x(天)
1
2
3
4
5
6
7
y(秒/题)
910
800
600
440
300
240
210
X
3
4
5
P