2023-2024学年内蒙古自治区呼和浩特市回民区高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年内蒙古自治区呼和浩特市回民区高二上学期期中数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设，向量，，且，则（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】C
【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示，求得的值，结合向量模的计算公式，即可求解.
【详解】由向量且，
可得，解得，所以，，
则，所以.
故选：C.
2．在三棱锥中，平面平面，，，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】建立空间直角坐标系，写出点和点坐标，利用空间中两点间距离公式即可求解.
【详解】如图：建立以为原点的空间直角坐标系，
则，，，
∴，
故选：C
3．直线的倾斜角是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】A
【分析】求出直线的斜率，然后求解倾斜角．
【详解】直线的斜率为：，
设倾斜角是，则，
可得．
故选：A．
4．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD所成的角为60°；
④AB与CD所成的角为60°．
其中错误的结论是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】C
【分析】取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．根据线面垂直的判定及性质可判断①的真假；求出AC长后，可以判断②的真假；求出AB与平面BCD所成的角可判断③的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出AB与CD所成的角，可以判断④的真假；进而得到答案．
【详解】解：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．∴BD⊥面AEC．
∴BD⊥AC，故①正确．
设正方形边长为a，则AD＝DC＝a，AEa＝EC．
∴AC＝a．
∴△ACD为等边三角形，故②正确．
∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，故③不正确．
以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，
则A（0，0，a），B（0，a，0），D（0，a，0），C（ a，0，0）．
（0，a，a），（ a，a，0）．
cs，
∴，60°，故④正确．
故选：C．
5．如图所示，点是二面角棱上的一点，分别在、平面内引射线、，若，，那么二面角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、，则即为二面角的平面角，设，通过解三角形即可求出答案．
【详解】解：过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、，
则即为二面角的平面角，如下图所示：
设，∵，
∴，，
又∵，∴为等边三角形，则，
∴，
∴，
故选：D．
6．如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先求出 ，，，，，，再计算即可.
【详解】解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，
则 ，，，，，，
则
故选：B.
【点睛】本题考查向量的数量积，向量的模的计算公式，是中档题.
7．如图所示，在三棱柱中，已知是边长为1的正方形，四边形是矩形，平面平面．若，则直线到面的距离为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】首先证明平面，平面，即可得到直线到面的距离即为点到面的距离设为，利用等体积法计算可得.
【详解】因为四边形是矩形，所以，又平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
所以直线到面的距离即为点到面的距离设为，
又，，所以，所以，
，
又，则，即，
解得，即直线到面的距离为.
故选：A
8．已知点为直线：上的动点，过点作圆：的切线，，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解.
【详解】因为圆：可化为，
所以圆心，半径为，

因为，是圆的两条切线，则，
由圆的知识可知，四点共圆，且，，
所以，又，
所以当最小，即时，取得最小值，此时的方程为，
联立，解得，即，
故以为直径的圆的方程为，即，，
又圆，
两圆的方程相减即为直线的方程：.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将转化为，从而确定最小时的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解.
二、多选题
9．以下说法正确的是（ ）
A．空间异面直线的夹角取值范围是B．直线与平面的夹角的取值范围是
C．二面角的取值范围是D．向量与向量夹角的取值范围是
【答案】CD
【分析】根据空间中异面直线的夹角、直线与平面的夹角、二面角的定义判断即可.
【详解】对于A：空间异面直线的夹角取值范围是，故A错误；
对于B：直线与平面的夹角的取值范围是，故B错误；
对于C：二面角的取值范围是，故C正确；
对于D：向量与向量夹角的取值范围是，故D正确；
故选：CD
10．已知分别是三棱锥的棱，的中点，．若异面直线与所成角的大小为60°，则线段的长为（ ）
A．3B．6C．D．
【答案】AD
【分析】将求线段的长度问题转化为求向量的模，结合已知条件，通过向量方法即可求解.
【详解】如图，取的中点，连接，，．
设与的交角为．因为异面直线与所成的角为60°，所以或，
所以
将，，分别代入上式，得或．
故选：AD．
11．已知直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．当时，是直线的方向向量
D．原点到直线的最大距离为
【答案】AD
【分析】根据垂直关系计算得到A正确；当时，两条直线重合，B错误；计算斜率得到C错误；过定点，最大距离为，计算得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，则，解得，正确；
对选项B：当时，两条直线重合，错误；
对选项C：时，，斜率为，的方向向量是，错误；
对选项D：过定点，故原点到直线的最大距离为，正确.
故选：AD
12．如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．的最小值为
C．平面
D．异面直线与，所成角的取值范围是
【答案】ABC
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得；
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，所以，所以，故A正确；
因为是线段上一动点，所以，所以，所以，当且仅当时，故B正确；
设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，因为，即，因为平面，所以平面，故C正确；
设直线与所成的角为，因为，当在线段的端点处时，，在线段的中点时，，所以，故D错误；
故选：ABC
三、填空题
13．若圆和外切，则m的值为 .
【答案】或
【解析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系，列出方程，即可求解.
【详解】由圆和，
可得两圆的圆心坐标分别为，两圆的半径分别为，
因为两圆相外切，可得，解得或.
故答案为：或.
【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记圆与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
14．已知是空间任一点，四点满足任三点均不共线，但四点共面，且，则 .
【答案】-1
【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．
【详解】∵2x•3y•4z•，
∴2x•3y•4z•，
∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面
∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1
∴2x+3y+4z＝﹣1
故答案为﹣1
【点睛】本题考查空间向量基本定理，考查向量共面的条件，属于基础题．
15．如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，
（1）；
（2）；
（3）；
（4）存在实数，，使得．
则其中正确的结论是 ．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）．
【答案】（1）（3）
【分析】（1）由于是线段的中点，可得；
（2）取的中点，连接，．而，即可判断出；
（3）利用，，及（1）即可得出；
（4）由于、分别是线段、的中点，，可得与平面不平行，得出不存在实数，，使得．
【详解】解：（1）是线段的中点，，正确；
（2）取的中点，连接，．则，因此不正确；
（3），因此正确；
（4）、分别是线段、的中点，，
与平面不平行，
不存在实数，，使得．
综上可得：只有（1）（3）正确．
故答案为：（1）（3）．
四、双空题
16．如图所示，在长方体中，，，点在棱上，且，则的面积的最小值为 ，此时棱与平面所成角的正弦值为
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，设、，由可得，求得由基本不等式可求得、的坐标，再由直线的方向向量与平面法向量的数量积公式可得答案.
【详解】如图建系，则、，
设、，则，
，，
∵，∴，即，
∴
，
∴的面积的最小值为，当且仅当、时取等号，
此时，，∴，，，
∴，，，
设平面的法向量为，直线与平面所成角的平面角为，
则，即，取，则，，
∴，
∴.
故答案为：①；②.
【点睛】本题考查了立体几何，建立空间直角坐标系求得、的坐标是解题的关键，利用直线的方向向量与平面的法向量之间数量积公式进行相应的计算，就能够得到问题的解决.
五、解答题
17．在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，、分别为、的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，即可证明，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）连接，
在中，、分别为、的中点，
，
在中，且，
所以为平行四边形，则，
，
平面，平面，
平面．
（2）以为坐标轴原点，以、、分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，不妨设，
则，，，，，
可得 ，，
平面，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，得，
．
平面与平面的夹角的余弦值为．
18．按照要求计算下列各题：
(1)求经过点且平行于轴的直线方程；
(2)求过点且垂直于直线的直线方程；
(3)已知点是直线上的一点，且是直线的一个法向量，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接得到直线方程为；
（2）设所求直线方程为，代入点的坐标求出参数的值，即可得解；
（3）首先得到直线的斜率，再由点斜式计算可得.
【详解】（1）过点且平行于轴的直线方程为；
（2）设所求直线方程为，则，解得，
所以所求直线方程为；
（3）因为直线的一个法向量为，所以直线的斜率，
又直线过点，所以直线的方程为，即.
19．如图，在三棱锥中，，，，，，，分别是，的中点，点在上，且，记，，．
(1)试用基底表示向量，，；
(2)求和的值．
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）根据数量积的定义及运算律计算可得.
【详解】（1）因为，分别是，的中点，
所以，
，
，
又，所以，
则.
（2）因为，，，，，
所以，
又，
所以
.
20．设点到直线的距离，且点是直线上的任意一点，是直线的一个法向量．
(1)写出点到直线的距离公式，并要有详细推导过程；
(2)已知点关于直线的对称点为点，求点到直线的距离．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）首先得到点到直线的距离公式，再求出直线的一个单位方向向量，以及，再由计算可得.
（2）求出点到直线的距离即可得解.
【详解】（1）点到直线的距离，
直线的一个法向量，则直线的一个单位方向向量为，
又点是直线上的任意一点，
所以，则，，
所以点到直线的距离
，
又，即，所以.
（2）因为点关于直线的对称点为点，
所以点到直线的距离与点到直线的距离相等，
即为，即点到直线的距离为.
21．古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体，平面，，，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】
【分析】由题意可求出所在圆的半径为，所在圆的半径为，再以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，继而可得各点坐标，再利用空间向量求解直线与平面所成角的正弦值即可.
【详解】设所在圆的半径为，则，
则,.
设所在圆的半径为，则，
则,.
因为平面，平面，则,
由题意可以以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示，
则，，
又为的中点,则，
则，,，
设平面的法向量，
则,
令，则，则.
设直线与平面所成角为，
则
.
即直线与平面所成角的正弦值为.
22．如图，在四棱锥中，，，，，，为中点，.
（1）求点到平面的距离；
（2）点为棱上一点，求与平面所成角最大时，的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）取中点，连接、，证明出平面，分析出为等边三角形，以为原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离；
（2）设，可得出，设与平面所成角为，利用空间向量法可得出关于的表达式，利用二次函数的基本性质可求得当取得最大值时对应的的值，即可得出结论.
【详解】（1）取中点，连接、，
为等腰直角三角形，，
因为，，则，
由余弦定理可得，
，故，
又为等腰直角三角形，，为的中点，则.
、分别为、的中点，则，故，
又，平面，
又，，，所以，为等边三角形，
以为原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则、、、、、，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，，得，
所以，点到平面的距离；
（2）设，则，
则，
设与平面所成角为，
则.
所以，当时，最大，即最大.