2023-2024学年内蒙古呼和浩特市回民区高一（下）数据采集数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古呼和浩特市回民区高一（下）数据采集数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列与角2π3的终边一定相同的角是( )
A. 5π3B. kπ−4π3(k∈Z)
C. 2kπ+2π3(k∈Z)D. (2k+1)π+2π3(k∈Z)
2.已知a=−2,−1,b=λ,1，则λ>−12是“a与b的夹角为钝角”的条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
3.已知sin(α+π3)=45，则cs(α−π6)=( )
A. 45B. −45C. −35D. 35
4.函数y=tan(π4−x)的定义域是( )
A. {x|x≠π4}B. {x|x≠π4,k∈Z}
C. {x|x≠kπ+π4,k∈Z}D. {x|x≠3π4+kπ,k∈Z}
5.函数y=x−3sinxe|x|的大致图像是( )
A. B.
C. D.
6.设a，b是两个非零向量，则下列描述正确的有( )
A. 若|a+b|=|a|−|b|，则存在实数λ>0，使得a=λb．
B. 若a⊥b，则|a+b|=|a−b|．
C. 若|a+b|=|a|+|b|，则a，b反向．
D. 若a/​/b，则a，b一定同向
7.若a=tan7，b=sinπ6，c=tan100π3，则a，b，c为( )
A. a8.在△ABC中，满足AB⊥AC，M是BC的中点，若O是线段AM上任意一点，且|AB|=|AC|= 2，则OA⋅(OB+OC)的最小值为( )
A. 0B. − 32C. −12D. 2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. −7π6是第三象限角
B. 若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为3π2
C. cs(3π2−A)=sin(π−A)
D. 若角α的终边过点P(−3,4)，则csα=−35
10.已知λ，μ∈R，AB=(λ,1)，AC=(−1,1)，AD=(1,μ)，那么( )
A. CB+DC=(λ−1,1−μ)B. 若AB//AD，则λ=2，μ=12
C. 若A是BD中点，则B，C两点重合D. 若点B，C，D共线，则μ=1
11.在△ABC中，D为BC中点，且AE=2ED，则( )
A. CE=23CA+16CBB. CE=13CA+13CB
C. CE//(CA+CB)D. CE⊥(CA−CB)
12.已知函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)，其图象的两个相邻的对称中心间的距离为π4，且f(0)= 33，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π4
B. 函数f(x)的定义域{x|x≠π12+kπ4,k∈N}
C. 函数f(x)的图象的对称中心为(kπ4−π12,0)(k∈Z)
D. 函数f(x)的单调递增区间为(kπ2−π3,kπ2+π6)(k∈Z)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设e为单位向量，|a|=2，当a，e的夹角为π3时，a在e上的投影向量为______．
14.已知a，b为非零不共线向量，向量8a−kb与−ka+b共线，则k= ______．
15.已知α为第一象限角，β为第二象限角，且cs(α+π4)= 55，sinβ= 210，则tan(α+β)的值为______．
16.若函数f(x)=lg2x+2x,x>0sin(ωx+π3),−π≤x≤0有4个零点，则正数ω的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知向量a，b满足a=(1,−1)，|b|=1．
(1)若a，b的夹角为π3，求a⋅b；
(2)若(a−b)⊥b，求a与b的夹角．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(2x+π4)．
(1)利用“五点法”完成下面表格，并画出f(x)在区间[0,π]上的图象；
(2)解不等式f(x)≥ 3．
19.(本小题12分)
如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2,x∈R)的部分图象．
(1)求函数解析式和单调递增区间；
(2)若将y=f(x)的图像向右平移π12个单位，然后再将横坐标压缩为原来的12倍得到y=g(x)图像，求函数g(x)在区间x∈[−π4,π12]上的最大值和最小值．
20.(本小题12分)
已的向量a=(csx2,sinx2)，b=(cs3x2,−sin3x2)，且x∈[π2,π]．
(Ⅰ)求a⋅b表达式以及|a+b|的取值范围；
(Ⅱ)记函数f(x)=a⋅b−2λ|a+b|，若f(x)的最小值为−32，求实数λ的值．
21.(本小题12分)
已知m>0，n>0，如图，在ΔABC中，点M，N满足AM=mAB，AN=nAC，D是线段BC上一点，BD=13BC，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线．
(1)若点O满足2AO=OB+OC，证明：OE/​/BC．
(2)求3m+6n的最小值．
22.(本小题12分)
某学校校园内有一个扇形空地AOB(∠AOB<π)，该扇形的周长为20+10π3，面积为50π3，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示．
(1)求扇形空地AOB的半径和圆心角；
(2)取CD的中点M，记∠MOD=θ．
(ⅰ)写出运动场馆CDEF的面积S与角θ的函数关系式；
(ⅱ)求当角θ为何值时，运动场馆CDEF的面积最大？并求出最大面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了终边相同的角的定义，属于基础题．
由终边相同的角的定义即可求解．
【解答】
解：与角2π3的终边一定相同的角是2kπ+2π3，k∈Z，A，B，D都不满足，C满足．
故选C．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量共线及向量数量积的坐标运算，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．
由a与b的夹角为钝角⇔−2λ−1<0且−2+λ≠0求解λ的范围得答案．
【解答】
解：∵a=(−2,−1),b=(λ,1)，
∴a与b的夹角为钝角⇔−2λ−1<0且−2+λ≠0，
即λ>−12且λ≠2．
∴λ>−12是“a与b的夹角为钝角”的必要不充分条件．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
由已知利用诱导公式化简所求即可得解．
本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
【解答】
解：因为sin(α+π3)=45，
所以cs(α−π6)=cs(α−π2+π3)=cs[(α+π3)−π2]=sin(α+π3)=45．
故选：A．
4.【答案】D
【解析】解：函数y=tan(π4−x)=−tan(x−π4)，
令x−π4≠π2+kπ，k∈Z，
解得x≠3π4+kπ，k∈Z，
∴函数y的定义域是{x|x≠3π4+kπ,k∈Z}．
故选：D．
根据正切函数的定义域，求函数y的定义域．
本题考查了正切函数的定义域应用问题，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：设f(x)=y=x−3sinxe|x|，x∈R，
由f(−x)=−x+3sinxe|x|=−f(x)，得f(x)为奇函数，故B，D错误；
由f(π2)=π2−3sinπ2e|π2|=π2−3eπ2<0，故A正确，C错误．
故选：A．
先由函数的奇偶性判断出B，D错误，再结合当x=π2时y<0得出答案．
本题考查了函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：A项：当|a+b|=|a|−|b|时，由向量加法的意义知a，b方向相反，且|a|≥|b|，
存在实数λ≤−1，使得a=λb，A错误；
B项：当a⊥b时，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，
且|a+b|和|a−b|是这个矩形的两条对角线长，则|a+b|=|a−b|，B正确，
另外，若将|a+b|=|a−b|两边平方，可得a⋅b=0，则a⊥b，反之成立，则B正确；
C项：当|a+b|=|a|+|b|时，由向量加法的意义知a，b方向相同，C错误；
D项：当a/​/b时，则a与b同向或反向，D错误．
故选：B．
根据向量加(减)法的意义判断A、B、C，根据共线向量的定义判断D．
本题考查向量的加法，向量的概念，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由于π6<7−2π<π4，故a=tan7=tan(7−2π)∈( 33,1)，
而 33>12=sinπ6=b，故a>b，
又c=tan100π3=tan(32π+4π3)=tan4π3= 3，
即c>a>b．
故选：B．
判断出π6<7−2π<π4，即可判断a=tan7的范围，与b可判断大小，根据诱导公式化简求得c的值，即可判断a，b，c的大小，即得答案．
本题主要考查了三个数比较大小，考查了诱导公式的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由AB⊥AC，|AB|=|AC|= 2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
以A为原点，AB，AC为x轴和y轴建立直角坐标系，如图所示，
∴A(0,0)，B( 2,0)，C(0, 2)，M( 22, 22)
∵M是BC的中点，O是线段AM上任意一点，
∴可设O(x,x)，0≤x≤ 22，
∴BO=(x− 2,x)，CO=(x,x− 2)，
∴BO+CO=(2x− 2,2x− 2)
∴OA⋅(OB+OC)=AO⋅(BO+CO)=(x,x)(2x− 2,2x− 2)=4x2− 2x=4(x− 24)2−12，
故当x= 24时，OA⋅(OB+OC)的最小值为−12，
故选：C．
由题意可得△ABC为等腰直角三角形，以A为原点，AB，AC为x轴和y轴建立直角坐标系，如图所示，
M是BC的中点，O是线段AM上任意一点，可设O(x,x)，0≤x≤ 22，根据向量的数量积和坐标运算可得关于x的二次函数，根据函数的性质求出最值即可
本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了扇形面积和诱导公式的应用，以及任意角的三角函数的定义，属于基础题．
A.利用终边相同的角判断；B.利用扇形面积公式求解判断；C.利用诱导公式求解判断；D.利用三角函数的定义求解判断．
【解答】
解：A选项，−7π6=5π6−2π是第二象限角，A错误；
B选项，扇形的半径为ππ3=3，面积为12×π×3=3π2，B正确；
C选项，cs(3π2−A)=−sinA,sin(π−A)=sinA,C错误；
D选项，csα=−3 (−3)2+42=−35，D正确．
故选BD．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了向量的运算性质，考查共线向量问题，属于基础题．
根据向量的运算性质分别判断即可．
【解答】
解：∵AB=(λ,1)，AC=(−1,1)，AD=(1,μ)，
∴CB=AB−AC=(λ,1)−(−1,1)=(λ+1,0)，
DC=AC−AD=(−1,1)−(1,μ)=(−2,1−μ)，
∴CB+DC=(λ−1,1−μ)，故A正确；
若AB//AD，则λμ=1，推不出λ=2，μ=12，故B错误；
∵BD=AD−AB=(1,μ)−(λ,1)=(1−λ,μ−1)，A是BD中点，
∴BA=12BD=(1−λ2,μ−12)=−AB=−(λ,1)，
∴1−λ2=−λμ−12=−1，解得：λ=−1，
∴AB=AC，B，C两点重合，故C正确；
若点B，C，D共线，则BC=tCD，
而BC=AC−AB=(−1−λ,0)，CD=AD−AC=(2,μ−1)，
∴(−1−λ,0)=t(2,μ−1)，
∴t(μ−1)=0，而t≠0，∴μ−1=0，μ=1，故D正确．
故选ACD．
11.【答案】BC
【解析】解：在△ABC中，D为BC中点，
对于A和B：由于AE=2ED，
则：AD=12(AB+AC)，AD=32AE，
AE=13(AB+AC)，
所以CE=AE−AC=13AB−23AC=13CB−13CA+23CA=13CB+13CA，故A错误，B正确．
对于C和D：CA+CB=2CF，点F为AB的中点，CE=13CB+13CA，
所以CE和CF共线，故C正确，D错误；
故选：BC．
直接利用向量的共线和向量的线性运算的应用求出结果．
本题考查的知识要点：向量的共线和向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
12.【答案】CD
【解析】解：由已知，函数f(x)满足T2=π4，所以函数f(x)的最小正周期为π2，所以选项A错误；
而T=π2=π|ω|，因为ω>0，所以ω=2，此时函数f(x)=tan(2x+φ)，
因为f(0)= 33，所以φ=π6+kπ(k∈Z)，
又0<φ<π2，所以φ=π6，故f(x)=tan(2x+π6)，
由2x+π6≠π2+kπ,k∈Z，得x≠π6+kπ2,k∈Z，
所以f(x)的定义域为{x|x≠π6+kπ2,k∈Z}，所以选项B错误；
由2x+π6=kπ2(k∈Z)，x=−π12+kπ4(k∈Z)，
故f(x)的图象的对称中心为(kπ4−π12,0)(k∈Z)，所以选项C正确；
由kπ−π2<2x+π6故f(x)的单调递增区间为(kπ2−π3,kπ2+π6)(k∈Z)，所以选项D正确，
故选：CD．
对于A，由题意可得T2=π4，从而可求出其最小正周期，对于B，由f(0)= 33可求出φ，从而可求出f(x)=tan(2x+π6)，由2x+π6≠π2+kπ,k∈Z可求出定义域，对于C，由2x+π6=kπ2(k∈Z)可求出对称中心的横坐标，对于D，由kπ−π2<2x+π6本题考查三角函数的据图求式问题，三角函数的图象与性质等，属于中档题．
13.【答案】e
【解析】解：∵a⋅e=|a||e|csπ3=2×12=1，
则a在e上的投影向量为a⋅e|e|⋅e=e．
故答案为：e．
根据投影向量的定义进行求解即可．
本题主要考查向量的基本运算，根据向量投影的定义进行求解是解决本题的关键，是基础题．
14.【答案】±2 2
【解析】解：∵a，b为非零不共线向量，向量8a−kb与−ka+b共线，
∴−k8=1−k，∴k=±2 2，
故答案为：±2 2．
由题意，利用两个向量共线的性质，求得k的值．
本题主要考查两个向量共线的性质，属于基础题．
15.【答案】211
【解析】解：因为α为第一象限角，β为第二象限角，且cs(α+π4)= 55，sinβ= 210，
则sin(α+π4)= 1−cs2(α+π4)=2 55，
所以csα=cs[(α+π4)−π4]=cs(α+π4)csπ4+sin(α+π4)sinπ4= 55× 22+2 55× 22=3 1010，
所以sinα= 1−cs2α= 1010，
所以tanα=sinαcsα=13，
由于β为第二象限角，sinβ= 210，
则csβ=− 1−sin2β=−7 210，
所以tanβ=sinβcsB=−17，
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=13−171+12=211．
故答案为：211．
由csα=cs[(α+π4)−π4]及两角差的余弦公式求出csα，即可求出tanα，再求出tanβ，最后由两角和的正切公式计算可得．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．
16.【答案】[73,103)
【解析】解：当x>0时，令lg2x+2x=0，解得x=12，
因为f(x)有4个零点，
所以当−π≤x≤0时，y=sin(ωx+π3)有3个零点，
因为−π≤x≤0，所以−πω+π3≤ωx+π3≤π3，
所以−3π<−πω+π3≤−2π，解得73≤ω<103．
故答案为：[73,103).
当x>0时，令lg2x+2x=0，解得x=12，问题转化为−π≤x≤0时，y=sin(ωx+π3)有3个零点，结合正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了正弦函数的性质在函数零点个数判断中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由a=(1,−1)，|b|=1，
又a，b的夹角为π3，
则a⋅b=|a||b|= 12+(−1)2×1×12= 22；
(2)由(a−b)⊥b，
则(a−b)⋅b=0，
则a⋅b=b2=1，
设a与b的夹角为θ，
则csθ=a⋅b|a||b|=1 2×1= 22，
又θ∈[0,π]，
则θ=π4，
即a与b的夹角为π4．
【解析】(1)由平面向量数量积运算，结合向量模的运算求解即可；
(2)由平面向量数量积运算，结合向量夹角的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量夹角的运算，属基础题．
18.【答案】解：(1)由题意，列表如下：
画出f(x)在区间[0,π]上的图象如图：

(2)不等式f(x)≥ 3，即2sin(2x+π4)≥ 3，
所以sin(2x+π4)≥ 32，
所以π3+2kπ≤2x+π4≤2π3+2kπ，k∈Z，
即π24+kπ≤x≤5π24+kπ，k∈Z，
故f(x)≥ 3的解集为{x|π24+kπ≤x≤5π24+kπ,k∈Z}．
【解析】(1)根据表格中数据直接计算可完成表格，由此可作出函数的图象；
(2)结合函数图象解三角不等式，即得答案．
本题主要考查了五点法作图，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由图象知，A=2,T4=π3−π12=π4,T=π，
又ω>0则ω=2ππ=2，可得f(x)=2sin(2x+φ)．
再将(π12,2)代入得，2sin(π6+φ)=2，解得φ=2kπ+π3,k∈Z．
由|φ|<π2，得当k=0时，φ=π3，
所以f(x)=2sin(2x+π3)．
令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z)．
(2)将f(x)=2sin(2x+π3)的图像向右平移π12个单位得到f(x−π12)=2sin[2(x−π12)+π3]=2sin(2x+π6)的图象．
然后再将横坐标压缩为原来的12倍得到g(x)=2sin(4x+π6)的图像．
已知x∈[−π4,π12]，则4x+π6∈[−56π,π2]，则−1≤sin(4x+π6)≤1．
故当4x+π6=−π2,x=−π6时，g(x)最小值为−2；
当4x+π6=π2,x=π12时，g(x)的最大值为2．
【解析】(1)由图象，先求A，T，再求出ω，然后代入最值点求φ即可得f(x)的解析式，最后整体代入法解出递增区间即可．
(2)由题意图象变换得到g(x)=2sin(4x+π6)，求出整体角4x+π6的范围，转化为求正弦函数的最值即可．
本题主要考查根据函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)a⋅b=csx2cs3x2−sinx2sin3x2=cs2x，
∵(a+b)2=a2+b2+2a⋅b=2+2cs2x=4cs2x，
∵x∈[π2,π]，
∴csx∈[−1,0]，且|a+b|=−2csx
∴|a+b|∈[0,2]；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
f(x)=cs2x+2λcsx
=2cs2x+2λcsx−1
令t=csx，则t∈[−1,0]，
g(t)=2t2+2λt−1
=2(t+λ2)2−λ22−1，
其对称轴方程为t=−λ2，
当−λ2≤−1即λ≥2时，
最小值为g(−1)=2−2λ−1=−32，
解得λ=54(舍)；
当−1<−λ2<0即0<λ<2时，
最小值为−λ22−1=−32，
解得λ=±1(舍负)；
当−λ2≥0即λ<0时，
最小值为g(0)=−1≠−32，
综上可知，λ=1．
【解析】(Ⅰ)利用数量积结合两角和的余弦公式易得a⋅b，通过平方再开方，结合角的范围可得|a+b|的范围；(Ⅱ)把(Ⅰ)结果代入可得f(x)，换元后得二次函数，利用对称轴与所得区间的关系讨论得解．
此题考查了向量的数量积，向量的模，三角函数变换，二次函数最值等，难度适中．
21.【答案】解：(1)证明：因为AD=23AB+13AC，AE=13AB+16AC，且2AO=OB+OC，即2AO=(OA+AB)+(OA+AC)，
即AO=14(AB+AC)，
所以OE=AE−AO=(13AB+16AC)−14(AB+AC)=112AB−112AC=112CB，所以OE/​/BC；
(2)ΔABC中，AM=mAB，AN=nAC，BD=13BC，
所以AD=AB+BD=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC，
因为AE=12AD，所以AE=12(23AB+13AC)=12(23mAM+13nAN)=13mAM+16nAN，
因为M，N，E三点共线，所以13m+16n=1，
所以3m+6n=(3m+6n)(13m+16n)=2+2nm+m2n≥2+2 2nm⋅m2n=4，
当且仅当2nm=m2n13m+16n=1，即m=23，n=13时等号成立，
所以3m+6n的最小值为4．
【解析】(1)根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解；
(2)结合向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，以及基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于中档题．
22.【答案】解：(1)设扇形的半径为r，圆心角为θ，
则扇形的周长为2r+παr=20+10π3，
面积为12αr2=50π3，
解得r=10，α=π3；
所以扇形空地AOB的半径为10，圆心角为π3；
(2)(ⅰ)由题可知，θ∈(0,π6)，
在Rt△MOD中，OM=10csθ，MD=10sinθ，
所以EN=DM=10sinθ，
在Rt△EON中，ON=ENtan∠EON=10sinθ 33=10 3sinθ，
所以MN=OM−ON=10csθ−10 3sinθ，
所以矩形CDEF的面积为S=2DM⋅MN
=2×10sinθ×(10csθ−10 3sinθ)
=200(sinθcsθ− 3sin2θ)
=100(sin2θ+ 3cs2θ− 3)
=200sin(2θ+π3)−100 3，θ∈(0,π6).
(ii)因为θ∈(0,π6)，所以2θ+π3∈(π3,2π3)，
所以当2θ+π3=π2，即θ=π12时，S取得最大值为Smax=200−100 3，
所以θ=π12时，矩形CDEF的面积最大，最大值为200−100 3．
【解析】(1)根据扇形的周长与面积列方程组，即可求出半径和圆心角；
(2)(ⅰ)由题意求出OM，MD和ON，MN，计算矩形CDEF的面积S．
(ii)根据三角恒等变换以及三角函数的图象与性质，即可求出S的最大值以及对应θ的值．
本题考查了函数的实际应用问题，也考查了转化能力，是中档题．2x+π4
π2
π
3π2
2π
x
0
π
f(x)
2x+π4
π4
π2
π
3π2
2π
9π4
x
0
π8
3π8
5π8
7π8
π
f(x)
2
2
0
−2
0
2