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    重庆市荣昌中学校2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

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    重庆市荣昌中学校2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

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    这是一份重庆市荣昌中学校2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题,文件包含荣昌中学高2025届高三上期半期检测数学试题解析docx、荣昌中学高2025届高三上期半期检测数学试题docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共27页, 欢迎下载使用。


    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
    1.已知函数,则“是函数为偶函数”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【分析】利用充分必要条件的判定方法,结合余弦函数的奇偶性即可得解.
    【详解】当时,,故函数为偶函数,即充分性成立;
    当为偶函数时,,此时不一定成立,即必要性不成立;
    所以“是函数为偶函数”的充分不必要条件.
    故选:A.
    2.已知且,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】因为,所以,
    因为,所以,
    所以,
    所以
    .
    故选:B
    3. 已知函数恒过定点,则函数的图象不经过( )
    A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
    【答案】D
    【解析】
    【分析】利用指数函数的性质求解.
    【详解】
    ,恒过定点,
    ,,,其图象如图所示,
    因此不经过第四象限,
    故选:D.
    4.已知a=(15)14,b=lg1415,3c+c=0,则( )
    A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b
    解析:B (15)14>0,且(15)14<(15)0=1,故0<a<1,b=lg1415>lg1414=1,即b>1.因为f(x)=3x+x在R上单调递增,且f(-1)=-23<0,f(0)=1>0,所以c∈(-1,0),所以c<a<b.故选B.
    5.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日( Day).历史上,求圆周率的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数充分大时,计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形(各边均与圆相切的正边形)的周长,将它们的算术平均数作为的近似值.按照阿尔·卡西的方法,的近似值的表达式是( ).
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为,每条边长为 ,
    所以,单位圆的内接正边形的周长为,
    单位圆的外切正边形的每条边长为,其周长为,

    则.
    故选:A.
    6.设函数f(x)=sin ωx+sin(ωx+π3)(ω>0),已知f(x)在[0,π]上有且仅有3个极值点,则ω的取值范围是( )
    A.(52, 72] B. [52, 72 ) C. (73,103] D. [73,103)
    答案:C
    解析:f(x)=sin ωx+sin(ωx+π3)=sin ωx+sin ωxcs π3+cs ωxsin π3=32sin ωx+32cs ωx=3(32sin ωx+12cs ωx)=3sin(ωx+π6),当x∈[0,π]时,ωx+π6∈[π6,ωπ+π6],令t=ωx+π6,则t∈[π6,ωπ+π6],作出函数y=3sin t(π6≤t≤ωπ+π6,ω>0)的图象如图所示,
    由于函数f(x)在[0,π]上有且仅有3个极值点,
    则52π<ωπ+π6≤72π,解得73<ω≤103.
    7.已知函数xlnx-ax 在(1,+∞)上有极值,则实数a的取值范围为( )
    A.-∞,14 B.-∞,14 C.0,14 D.0,14
    解析:B f'(x)=lnx-1(lnx)2-a,设g(x)=lnx-1(lnx)2=1lnx-1(lnx)2,∵函数f(x)在区间(1,+∞)上有极值,∴f'(x)=g(x)-a在(1,+∞)上有变号零点,即g(x)=a在(1,+∞)上有解,令1lnx=t,由x>1可得ln x>0,即t>0,得到y=t-t2=-t-122+14≤14,解得a≤14.又当a=14时,f'(x)=lnx-1(lnx)2-14=-(lnx)2+4lnx-44(lnx)2=-(lnx-2)24(lnx)2≤0在(1,+∞)上恒成立,则f(x)在(1,+∞)上单调递减,无极值点,故舍去,所以a的取值范围是-∞,14.故选B.
    8.已知函数 方程有两个不同的根,分别是则 ( )
    A.B.3C.6D.9
    【答案】B
    【解析】由题意得:为R上的增函数,且
    当时,,,
    当时,,,
    方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点,
    作出函数与的图象如下图所示:
    由图可知与图象关于对称,
    则两点关于对称,中点在图象上,
    由,解得:.
    所以.
    故选:B
    二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的的6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
    9. 下列说法正确的是( )
    A. 函数与是同一个函数
    B. 若函数的定义域为,则函数的定义域为
    C. 已知命题p:,,则命题p的否定为,
    D. 定义在R上的偶函数满足,则函数的周期为2
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】A选项,两函数定义域不同;B选项,令,求出,得到函数定义域;C选项,全称量词命题的否定是特称量词命题,把任意改为存在,把结论否定;D选项,根据函数为偶函数得到f-x=fx,故,得到函数周期.
    【详解】A选项,的定义域为R,令,解得,
    故的定义域为,定义域不同,A错误;
    B选项,令,解得,故函数的定义域为,B正确;
    C选项,命题p的否定为,,C正确;
    D选项,偶函数,故f-x=fx,又,
    故,则函数的周期为2,D正确.
    故选:BCD
    10. 已知函数,则下列说法正确的是( )
    A. 是函数的周期
    B. 函数在区间上单调递增
    C. 函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到
    D. 函数的对称轴方程为
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】利用三角函数图象与性质逐一判断选项即可.
    【详解】因为,所以是函数的周期,故A正确;
    ∵,∴,又在上不单调,故B错误;
    ∵函数向左平移个单位长度得到,故C正确;
    令,得,故D正确,
    故选:ACD.
    11. 已知函数,其中实数,则下列结论正确的是( )
    A. 在上单调递增
    B. 当有且仅有3个零点时,的取值范围是
    C. 若直线与曲线有3个不同的交点,且,则
    D. 当时,过点可以作曲线的3条切线
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】选项A根据导函数及可判断单调性;选项B根据极大值极小值可得;选项C由三次函数对称中心可得;选项D,先求过点的切线方程,将切线个数转化为与图象交点个数,进而可得.
    【详解】选项A:由题意可得,
    令解得或,
    因为,所以令f'x>0解得或,令f'x<0解得,
    故在区间或上单调递增,在0,2上单调递减,故A错误,
    选项B:要使有且仅有3个零点时,只需即,解得,故B正确;
    选项C:若直线与曲线y=fx有3个不同的交点,且,
    则点是三次函数的对称中心,
    设,则,
    令,得,故的对称中心为1,f1,,故C正确;
    选项D:,设切点为,
    所以在点处的切线方程为:,
    又因为切线过点,所以,
    解得,
    令,
    过点可以作曲线y=fx的切线条数可转化为y=gx与图象交点个数,

    因为,所以得或,得,
    则在,上单调递增,在上单调递减,
    且,,图象如图所示,
    所以当时,y=gx与图象有3个交点,
    即过点可以作曲线y=fx的3条切线,故D正确,
    故选:BCD
    三、填空题;本题共3小题,每小题5分,共15分。
    12.若,则 .
    【答案】2
    【解析】因为,所以,即,即,
    因此.
    故答案为:2.
    13.定义在R上的函数f(x)满足以下两个性质:
    ①f(-x)+f(x)=0,②f(1+x)=f(2-x),则满足①②的一个函数是 .
    答案:f(x)=sin π3x(答案不唯一)
    解析:由①知f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数,由②知f(x)=f(3-x),即f(3+x)=f(-x)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),故f(x)是周期为6的周期函数,因此f(x)是定义在R上周期为6的奇函数,取f(x)=sin π3x符合要求.
    14. 在三角函数部分,我们研究过二倍角公式,我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式.根据你的研究结果解决如下问题:在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则的取值范围是________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】利用,再根据整体思想将转化为两角和的余弦值化简,再利用诱导公式可得,根据锐角三角形性质可得取值范围,从而得的取值范围,代入化简即可得出结论.
    【详解】三倍角公式:

    因为,
    所以.
    故,△ABC为锐角三角形,故解得,
    故,.
    故答案为:
    四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
    15.(13分)已知、是方程的两个实数根.
    (1)求实数的值;(2)若,求的值.
    【解析】(1)因为、是方程的两个实数根,
    由韦达定理得,
    由,
    则,
    所以;
    (2)因为,
    所以 ,
    所以,
    因为 ,
    所以,,,
    所以.
    16.(15分)已知函数fx=lnx-ax2+ax.
    (1)当时,求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程.
    (2)若函数gx=fx-ax有两个零点,求实数的取值范围.
    【答案】(1)(2)0,12e
    【分析】(1)求出f'1、f1,利用直线的点斜式方程可得答案;
    (2)转化为y=a,y=lnxx2的图象有2个交点,令hx=lnxx2x>0,利用导数求出hx值域,结合图象可得答案.
    【详解】(1)当时,fx=lnx-2x2+2x,所以f'x=1x-4x+2,
    f'1=1-4+2=-1,f1=ln1-2+2=0,
    所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y=-x-1,
    即;
    (2)gx=fx-ax=lnx-ax2x>0,
    由gx=0得,
    y=a,y=lnxx2的图象有2个交点,
    令hx=lnxx2x>0,
    h'x=1-2lnxx3,当时,h'x>0,hx单调递增,
    当时,h'x<0,hx单调递减,所以hx≤he=12e,
    且时,hx>0,h1=0,
    所以0所以若函数gx=fx-ax有两个零点,
    则0所以实数的取值范围为0,12e.
    17.(15分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足(c-2a)cs B+bcs C=0.
    (1)求角B的值;
    (2)已知D在边AC上,且AD=3DC,BD=3,求△ABC面积的最大值.
    解:(1)根据(c-2a)cs B+bcs C=0,由正弦定理可得(sin C-2sin A)cs B+sin Bcs C=0,
    sin Ccs B+sin Bcs C-2sin Acs B=0,
    又sin(B+C)=sin A,
    即sin A-2sin Acs B=0,
    又0<A<π,所以sin A>0,所以cs B=12,
    又0<B<π,所以B=π3.
    (2)由AD=3DC可得,BD=BA+AD=BA+34AC=BA+34(BC-BA)=14BA+34BC,
    所以BD2=(14BA+34BC)2=116BA2+38BA·BC+916BC2,
    由B=π3可得:9=116c2+316ac+916a2≥2116c2·916a2+316ac=916ac ,
    所以ac≤16,当且仅当c=3a时取等号,
    所以S△ABC=12acsin B≤12×16×32=43,
    所以△ABC面积的最大值为43.
    18.(17分)在一个系统中,每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度,而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度,为了增加系统的可靠度,人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备,两台备用设备)的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉.系统就能正常工作.设三台设备的可靠度均为,它们之间相互不影响.
    (1)要使系统的可靠度不低于0.992,求的最小值;
    (2)当时,求能使系统正常工作的设备数的分布列;
    (3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7,根据以往经验可知,计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失,有以下两种方案:
    方案1:更换部分设备的硬件,使得每台设备的可靠度维持在0.8,更换设备硬件总费用为0.8万元;
    方案2:花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备,达到“一用三备”.
    请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策?并说明理由.
    【答案】(1)0.8
    (2)答案见解析
    (3)决策部门应选择方案2,理由见解析
    【分析】(1)先用表示出,结合题意即可求出的最小值;
    (2)由题意可知,满足二项分布,故易得能正常工作的设备数的分布列;
    (3)分别计算两种方案的损失期望值,即可做出决策.
    【详解】(1)要使系统的可靠度不低于0.992,设能正常工作的设备数为,
    则,
    解得,故的最小值为0.8.
    (2)设为正常工作的设备数,由题意可知,,




    从而的分布列为:
    (3)设方案1、方案2的总损失分别为,,
    采用方案1,更换部分设备的硬件,使得每台设备的可靠度维持在0.8,
    可知计算机网络断掉的概率为:,
    故万元.
    采用方案2,花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备,达到“一用三备”,
    计算机网络断掉的概率为:,
    故万元.
    因此,从经济损失期望最小的角度,决策部门应选择方案2.
    19. (17分)定义:如果函数在定义域内,存在极大值和极小值,且存在一个常数,使成立,则称函数为极值可差比函数,常数称为该函数的极值差比系数.已知函数.
    (1)当时,判断是否为极值可差比函数,并说明理由;
    (2)是否存在使的极值差比系数为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;
    (3)若,求的极值差比系数的取值范围.
    【答案】(1)是极值可差比函数,理由见解析;
    (2)不存在使的极值差比系数为,理由见解析;
    (3).
    【解析】
    【分析】(1)利用函数的导函数求出单调区间,由此得出极大值与极小值,由“极值可差比函数”的定义,求出极值差比系数的值,这样的值存在即可判断.
    (2)反证法,假设存在这样的,又“极值可差比函数”的定义列出等量关系,证明无解即可.
    (3)由(2)得到参数与极值点的关系式,对关系式进行转化,得出相应函数,利用导函数求出单调性即可得出函数取值范围.
    【小问1详解】
    当时,,
    所以,
    当时,f'x>0;当时,f'x<0,
    所以在和上单调递增,在上单调递减,
    所以极大值为,极小值为,
    所以,因此是极值可差比函数.
    【小问2详解】
    的定义域为,即,
    假设存在,使得的极值差比系数为,则是方程的两个不等正实根,
    ,解得,不妨设,则,
    由于
    所以,从而,

    令,
    所以在1,+∞上单调递增,有,
    因此式无解,即不存在使的极值差比系数为.
    【小问3详解】
    由(2)知极值差比系数为,
    即,不妨设,
    令,极值差比系数可化为,

    又,解得,
    令,

    所以在上单调递减,当时,,
    从而,
    所以在上单调递增,所以,
    即.
    故的极值差比系数的取值范围为.
    【点睛】思路点睛:合理利用导函数和“极值可差比函数”定义,在(2)利用极值点的性质找到几个变量间的基本关系,利用函数单调性判断方程无解。(3)中的需要重复利用(2)几个重要的数量关系,对变量进行转化,利用导函数求出单调区间,得出取值范围是关键。
    0
    1
    2
    3
    0.027
    0.189
    0.441
    0.343

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