黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2025届高三上学期10月考试数学试题

这是一份黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2025届高三上学期10月考试数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 分值：150分
命题人：王大力 校对人：王大力
一、单选题（共8小题，每题5分，共40分）
1. 已知数集满足：，，若，则一定有：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用交集、并集的概念及运算结合元素与集合的关系判定选项即可.
【详解】因为，，且，
所以必有，可能且，也可能且，
故A正确，B、C、D错误.
故选：A.
2. 已知等差数列的前项和为，若，且，则（ ）
A. 60B. 72C. 120D. 144
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式计算即得.
【详解】在等差数列中，，解得，
所以.
故选：B
3. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 若不等式的解集为，则必有
D. 命题“，使得.”的否定为“，使得.”
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分、必要条件分析判断A；若，满足，但不满足，可得结论判断B；根据分类讨论的符号，结合一元二次不等式分析判断；根据存在量词命题的否定是全称量词命题可判断D.
【详解】对于选项A：例如，则，
即，满足题意，但不成立，即充分性不成立；
例如，则，
即，满足题意，但不成立，即必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A不正确；
对于选项B：若，满足，但不满足，
故“”是“”的必要不充分条件，故B不正确；
对于选项C：若，则的解集不可能为两数之间，不合题意；
若，则的解集不可能为两数之间，不合题意；
综上所述：若不等式的解集为，则必有，故C正确；
对于选项D：命题“，使得.”的否定为“，使得.”，故D不正确.
故选：C.
4. 已知函数为上的奇函数，则实数（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数性质，解得，并代入检验即可.
【详解】因为函数为上的奇函数，
则，解得，
若，则，且定义域为，
则，
所以函数为上的奇函数，
综上所述：.
故选：A.
5. 已知向量，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示得，再应用齐次式运算，由弦化切求目标式的值.
【详解】由题设，
而.
故选：B
6. 当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（ ）
（参考数据：）
A. 0.2B. 0.18C. 0.1D. 0.14
【答案】B
【解析】
【分析】理解题意，代值后，将指数式化成对数式，取近似值计算即得.
【详解】依题意得，，
化成对数式，，解得，.
故选：B.
7. 如图，某港口某天从6h到18h的水深y（单位：m）与时间x（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天12h的水深为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象可确定周期，即可求解，根据最低点得，即可代入求解，从而根据解析式代入即可得解.
【详解】由题图可得，则，
当时，y取得最小值，为，得，
∵函数的图象过点，
∴，即，又，∴，∴.
当时，.
故选：A.
8. 设，，，则大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，x∈0,1，求导利用函数的单调性比较的大小，构造函数，，求导利用函数的单调性比较的大小，从而确定的大小关系.
详解】令，x∈0,1，
由，
∴fx在0,1上单调递增，
所以，即，x∈0,1，
，所以；
令，x∈0,1，
由，
令，x∈0,1，，
令，则，
所以在x∈0,1上单调递减，
又，，
所以存在唯一，使得，
即当x∈0,x0时，h′x>0，当时，h′x<0，
即hx在上单调递增，在上单调递减，
所以hx的最小值为，中一个，而，，
所以，即，
所以在0,1上单调递增，所以，
即，x∈0,1，所以，即.
所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查构造函数结合导数比较大小问题，解决本题的关键是构造函数，给定定义域求导确定函数单调性最后比较函数值大小即可判断，
例如比较，的大小时，转换，，可构造差函数，，
求导数f′x结合导函数的性质即可确定在的单调性，从而可得函数值大小，即可判断大小关系.
二．多选题（共3小题，每题6分，共18分，部分正确得部分，有错的得0分）
9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则向量与向量的夹角的余弦值为
D. 若，则向量在向量上的投影向量为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B；求出向量夹角的余弦判断C；求出投影向量判断D.
【详解】对于A，由，得，解得，A正确；
对于B，由，得，解得，B错误；
对于C，若，则，又，则，C正确；
对于D，若，则，又，于是，
则向量在向量上投影向量为，D错误.
故选：AC
10. 已知复数z满足，则下列说法正确的是（ ）
A. z的虚部为i
B.
C. 若复数，满足，且，则
D. 若复数满足，则在复平面内对应的点构成图形的面积为2π
【答案】BD
【解析】
【分析】由复数的计算先化简出复数的值，判断A选项；利用模长公式计算出对应复数的模长，判断BC选项；复数模长的几何意义点到点的距离，从而得出表示一个圆，计算出圆的面积判断D选项.
【详解】，虚部为1，选项A不正确；
，，∴选项B正确；
，则，设，
则，
∴，∴选项C错误；
∵，∴在复平面内对应的点是以在复平面内对应的点为圆心，半径的圆，
∴在复平面内对应的点构成图形的面积为2π，选项D正确.
故选：BD
11. 已知函数，则（ ）
A. 函数的最小正周期为π
B. 直线是函数的图象的一条对称轴
C. 若时，恒成立，则实数m的取值范围为
D. 将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数t的取值范围为．
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式对进行化简，再求最小正周期可判断A，代入检验法可判断B，利用三角函数的性质可判断C，利用三角函数的图象变换和性质可判断D.
【详解】因为，
所以的最小正周期为，故A正确；
又由，故B错误；
当时，可得，
当，即时，取得最小值，
因为，恒成立，所以，
即实数的取值范围为，故C正确；
由题意得函数，因为，
所以，又因为函数有且仅有5个零点，
则满足，解得，
所以实数的取值范围是，故D正确.
故选：ACD.
三.填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，，，求的值________.
【答案】
【解析】
【分析】注意到，从而直接代入求解即可.
【详解】.
故答案为：.
13 化简：____.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用辅助角公式、平方关系及正弦和余弦倍角公式，即可求出结果.
【详解】原式，
故答案为：.
14. 某公司购置了一台价值220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的，设备将报废，但若每年花费1万元进行设备维护，则可使设备的使用年限提升至20年，每经过一年其价值就会减少万元，超过20年，它的价值将低于所有花费的，设备将报废，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知设等差数列及公差，基本量运算得出通项公式，再应用列不等式组计算即可
【详解】设该设备使用年后，设备的价值为万元，
则可得数列an，由已知可得，即公差为，
因为购进价格为220万元，所以，
所以，
由题可知
即
解得．
故答案为：．
四．解答题（共5小题，共77分）
15. 在中，若．
（1）求角B的大小；
（2）若不是钝角三角形，且，求a、c的值．
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角求解即得.
（2）根据给定条件，利用（1）的结论及余弦定理求解即得.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理，得，而，
解得，又，
所以或.
【小问2详解】
由（1）及不是钝角三角形，得，
由余弦定理，得，即，
而，则，又，
所以.
16. 已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间；
（2）由伸缩变换与平移变换得解析式，得，根据整体角范围求余弦值，再由角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得.
【小问1详解】
.
由，
解得
即时，函数单调递减，
所以函数的单调递减区间为；
【小问2详解】
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象，
所以.
若，则， .
由，得，又，
所以，则，
故
.
故的值为.
17. 一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．

（1）设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．
【答案】（1）；
（2）详见解析；元.
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出边长，即可写出的周长表达式，在使实际问题有意义的基础上可求得定义域.
（2）根据题意可知即求函数的最小值，利用换元法将函数化简，结合的范围，即可求出函数的最小值和最低总费用.
【小问1详解】
在Rt 中，，，所以 ，
在Rt 中，，即 ，又 ，
所以 ，
所以 的周长，
即;
当点 在点 时，角 最小，此时 ;
当点 在点 时，角 最大，此时 ;
故此函数的定义域是
【小问2详解】
由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可
设 ，则 ，
则原函数可化简为 ，
因为 ，所以 ，，
则 ，
则
从而
则当时，即时，；
即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元.
18. 设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
（1）若，
（ⅰ）求的通项公式；
（ⅱ）若数列的前项和为，求．
（2）若为等差数列，且，求．
【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等差数列基本量的计算以及的定义即可求解；
（2）由等差数列前n项和基本量的计算结合分类讨论即可求解.
【小问1详解】
（ⅰ）由，得，解得，
则，又，
有，即，解得或（舍去），
所以.
（ⅱ），则，
则
.
【小问2详解】
若bn为等差数列，则有，即，
得，即，解得或，
由，则，
又，，由等差数列性质知，，
即，得，
即，解得或（舍去），
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
时，，，符合题意，
所以等差数列an的公差.
19. 设为的导函数，若在区间D上单调递减，则称为D上的“凸函数”．已知函数．
（1）若为上的“凸函数”，求a的取值范围；
（2）证明：当时，有且仅有两个零点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由“凸函数”定义可得f′x在区间D上单调递减，令，则问题转化为在恒成立，分离参数后转化为求函数最值可得；
（2）令，结合的单调性与三角函数的有界性，分区间讨论的单调性与函数值的符号变化即可.
【小问1详解】
由，则.
由题意可知，为上的“凸函数”，
则f′x在区间上单调递减，设，
则，所以在恒成立，
则在恒成立，
又当时，函数取最小值，且最小值为，
所以有，解得，
即a的取值范围为.
【小问2详解】
当时，由得
.
令，其中，
则，其中.
①当时，则，，
所以，则在单调递增，
则恒成立，即在无零点；
②当时，令，其中，
由在单调递增，
又，
故存在，使得，
故当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
由，
故存在，使，即，
故当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
又，
故当时，，即无零点；
③当时，由，则，
故故在单调递增，
，且，
故由零点存性定理可知在有且仅有一个零点；
④当时，，
故在无零点；
综上所述，有且仅有两个零点，其中，而另一个零点在内.
由，即将图象向左移1个单位可得的图象.
故也有两个零点，一个零点为，另一个零点在内.
故有且仅有两个零点，命题得证.
【点睛】关键点点睛：该题目属三角函数与导函数综合题型，解决本题目的关键在于利用导函数与三角函数的有界性分区间讨论函数值的符号变化.当时，，单调递增，而，无零点；当时，通过二次求导与零点存在性定理可得先减后增，而，也无零点；当时，，单调递增，而，有且仅一个零点；当，由三角函数有界性，恒有故无零点.