2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期期末考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U=−2,−1,0,1,2，M=−2,2，N=x−1≤x≤1,x∈N，则∁UM∩N=( )
A. −1,0,1B. −1,1C. 0,1D. 0,1
2.命题“∃x>0,x2+x−1>0”的否定是( )
A. ∀x>0,x2+x−1>0B. ∀x>0,x2+x−1≤0
C. ∃x≤0,x2+x−1>0D. ∃x≤0,x2+x−1≤0
3.曲线fx=xlnx在x=1处的切线方程为( )
A. x+y+1=0B. x+y−1=0C. x−y+1=0D. x−y−1=0
4.若实数a，b满足1a+2b= ab，则ab的最小值为( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
5.函数fx=x2−8ex的极小值点为( )
A. 2B. −4e2C. −4D. 8e−4
6.今年两会期间，“新质生产力”被列为了2024年政府工作十大任务之首．某中学为了让高三同学对“新质生产力”有更多的了解，利用周五下午课外活动时间同时开设了四场有关“新质生产力”方面的公益讲座．已知甲、乙、丙、丁四位同学从中一共选择两场去学习，则甲、乙两人不参加同一个讲座的不同方法共有( )
A. 48种B. 84种C. 24种D. 12种
7.下列说法中正确的是( )
A. 一组数据3，4，2，8，1，5，8，6，9，9，的第60百分位数为6
B. 将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大
C. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为−0.91和0.89，则甲组数据的线性相关程度更强
D. 在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，则χ2的值越接近1，判断两个变量有关的把握越大
8.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：PAB=PAPBAPB.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检验者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为( )
A. 4951000B. 9951000C. 1011D. 2122
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(x−1x)4的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 二项式系数最大项为第五项B. 各项系数和为0
C. 含x4项的系数为4D. 所有项二项式系数和为16
10.若随机变量X∼B10,23，下列说法中正确的是( )
A. PX=3=C103133237B. 期望EX=203
C. 期望E3X+2=22D. 方差D3X+2=20
11.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,⋯,n，且P(X=i)=pi>0(i=1,2,⋯,n),i=1npi=1，定义X的信息熵H(X)=−i=1npilg2pi.( )
A. 若n=1，则H(X)=0
B. 若n=2，则H(X)随着p1的增大而增大
C. 若pi=1n(i=1,2,⋯,n)，则H(X)随着n的增大而增大
D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,⋯,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1−j(j=1,2,⋯,m)，则H(X)≤H(Y)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X的所有可能取值为1，2，3，其分布列为
若EX=53，则P3−P1= ．
13.已知随机变量X∼N2,σ2,P(1≤X<3)=0.76，则P(X≤1)= ．
14.从1，2，3，⋯，n这n个数中随机抽一个数记为X，再从1，2，⋯，X中随机抽一个数记为Y，则EY= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=ax2−blnx在点A(1,f(1))处的切线方程为y=1；
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的极值．
16.(本小题15分)
已知等差数列an的前n项和为Sn，且S5=45,a4+a6=26．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=1Sn−3n，求数列bn的前10项和．
17.(本小题15分)
近几年，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，我国的新能源汽车产业，经过多年的持续努力，技术水平显著提升、产业体系日趋完善、企业竞争力大幅增强，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面.某汽车厂为把好质量关，对送来的某个汽车零部件进行检测．
(1)若每个汽车零部件的合格率为0.9，从中任取3个零部件进行检测，求至少有1个零部件是合格的概率；
(2)若该批零部件共有20个，其中有4个零部件不合格，现从中任取2个零部件，求不合格零部件的产品数X的分布列及其期望值．
18.(本小题17分)
如图是我国2015年至2023年65岁及以上老人人口数(单位：亿)的折线图，
注：年份代码1∼9分别对应年份2015∼2023．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数(结果精确到0.01)加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，并预测2024年我国65岁及以上老人人口数(单位：亿)．
参考数据：i=19yi=15.41，i=19tiyi=82.57， 9i=1 (yi−y)2=0.72， 15≈3.873．
参考公式：相关系数r= ni=1 (ti−t)(yi−y) ni=1 (ti−t)2 ni=1 (yi−y)2，若r≥0.75，则y与t有较强的线性相关性．
回归方程y=a+bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b^= ni=1 (ti−t)(yi−y) ni=1 (ti−t)2，a=y−bt．
19.(本小题17分)
对于函数fx，若实数x0满足fx0=x0，则x0称为fx的不动点．已知函数fx=ex−2x+ae−xx≥0．
(1)当a=−1时，求证fx≥0；
(2)当a=0时，求函数fx的不动点的个数；
(3)设n∈N∗，证明1 12+1+1 22+2+⋯+1 n2+n>lnn+1．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.C
5.A
6.C
7.C
8.C
9.BD
10.BCD
11.AC
12.−13

14.n+34
15.解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，
f′(x)=2ax−bx，
f(1)=a=1，f′(1)=2a−b=0①，
将a=1代入2a−b=0，解得：b=2；
(2)由(1)得：f(x)=x2−2lnx，
∴f′(x)=2x−2x=2x2−2x，
令f′(x)>0，解得：x>1，
令f′(x)<0，解得：x<1，
∴f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，
∴f(x)极小值=f(1)=1．
16.解：(1)由题意，设等差数列an的公差为d，
则S5=5a1+5×42d=45a4+a6=a1+3d+a1+5d=26,
化简整理，得a1+2d=9a1+4d=13,
解得a1=5d=2,
∴an=5+2⋅n−1=2n+3,n∈N∗．
(2)由(1)可得，Sn=5n+nn−12⋅2=n2+4n，
则bn=1Sn−3n=1n2+4n−3n=1n2+n=1nn+1=1n−1n+1，
∴数列bn的前10项和为：
b1+b2+⋯+b10
=1−12+12−13+⋯+110−111
=1−111
=1011．

17.解：(1)记“检测出至少有1个零部件是合格品”为事件A，
则PA=1−PA=1−1−0.93=0.999；
(2)
由题意可知，随机变量X的可能取值为0,1,2，
PX=0=C162C202=1219；PX=1=C161C41C202=3295；PX=2=C42C202=395．
所以随机变量X的分布列为
EX=0×1219+1×3295+2×395=3895=25．

18.解：(1)由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：
因为i=19yi=15.41，i=19tiyi=82.57， i=19yi−y2=0.72，，
所以y=i=19yi9=15.419，t=1+2+3+4+5+6+7+8+99=5，
i=19ti−t2=1−52+2−52+⋯⋯+9−52=60，
所以i=19ti−tyi−y=i=19tiyi−9ty=82.57−9×5×15.419=5.52，
所以r≈5.522×3.873×0.72≈0.99，
∵0.99>0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系．
(2)由(1)，结合题中数据可得，
b=i=19ti−tyi−yi=19ti−t2=i=19tiyi−9tyi=19ti−t2=5.5260=0.092，y=i=19yi9=15.419≈1.712，
a=y−bt=1.712−0.092×5≈1.25，
∴y关于t的回归方程为y=0.09t+1.25，
2024年对应的t值为10，故y=0.09×10+1.25=2.15，
预测2024年我国65岁及以上老人人口数为2.15亿.

19.解：(1)当a=−1时，有fx=ex−2x−e−xx≥0，
所以f′x=ex+1ex−2x≥0，
所以f′x=ex+1ex−2≥2 ex⋅1ex−2=0
当且仅当ex=1ex，ex=1，即x=0时，等号成立，
所以当x∈0,+∞时，f′x≥0，fx单调递增，
所以fx≥fxmin=f0=0，所以fx≥0得证．
(2)当a=0时，fx=ex−2xx≥0，
根据题意可知：方程ex−2x=xx≥0解的个数即为函数fx的不动点的个数，
化ex−2x=xx≥0为ex−3x=0x≥0，令gx=ex−3xx≥0，
所以函数gx的零点个数，即为函数fx的不动点的个数，
g′x=ex−3x≥0，令g′x=0，即ex=3，解得x=ln3，
因为g0=1>0，gln3=3−3ln3<0，
所以gx在0,ln3上有唯一一个零点，
又g5=e5−15>25−15=17>0，
所以gx在ln3,+∞上有唯一一个零点，
综上所述，函数fx有两个不动点．
(3)由(1)知，ex−2x−e−x>0,x∈0,+∞，
令x=lns,s>1，则s−2lns−s−1>0，即s−1s>2lns,s>1，
设s= 1+1n,n∈N∗，则满足s>1，
所以 1+1n−1 1+1n>2ln 1+1n，即1n 1+1n>ln1+1n，
所以1 n2+n>lnn+1n=lnn+1−lnn，
所以1 12+1+1 22+2+⋯+1 n2+n>ln2−ln1+ln3−ln2+⋯+ln(n+1)−lnn=lnn+1，即1 12+1+1 22+2+⋯+1 n2+n>lnn+1．
X
1
2
3
P
P1
P2
P3
X
0
1
2
P
1219
3295
395
x
0,ln3
ln3
ln3,+∞
g′x
−
0
+
gx
单调递减
3−3ln3
单调递增