陕西省四校2025届高三上学期第二次质量检测联考数学试题

这是一份陕西省四校2025届高三上学期第二次质量检测联考数学试题，共24页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：集合、逻辑用语、不等式、函数、导数、概率统计、三角函数、平面向量.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合.
【详解】依题意，集合或，
而，则或，
由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为.
故选：C.
2. 若复数z满足（i为虚数单位），则z的模（ ）
A. B. 1C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式求解即可.
【详解】由，
得，
所以.
故选：B.
3. 设等比数列前n项和为，且，，则的最大值为（ ）
A. 32B. 16C. 128D. 64
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式、前n项和公式，结合
【详解】设该等比数列的公比为，
因为，所以，
由，
，
即，
显然当，或时，最大，最大值为，
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是要根据指数复合函数的单调性进行求解.
4. 已知向量，满足，，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用投影向量的定义计算即可求得在方向上的投影向量.
【详解】因为，，，，
所以，
所以在方向上的投影向量为．
故选：C.
5. 柜子里有4双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果错误的是（ ）
A. “取出的鞋不成双”的概率等于
B. “取出的鞋都是左鞋”的概率等于
C. “取出的鞋都是一只脚的”概率等于
D. “取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的概率等于
【答案】D
【解析】
【分析】利用古典概型公式可判断A、B、D选项，根据B结论和加法公式可判断选项C.
【详解】对于A，可以先取两双鞋再各分配一只即可得到“取出的鞋不成双”的可能情况数，
所以“取出的鞋不成双”的概率为，故A正确，不符合题意；
对于B，从4只左鞋里面取两只即可得到“取出鞋都是左鞋”的可能情况数，
所以“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，故B正确，不符合题意；
对于C，由B可知，“取出鞋都是左鞋”的概率等于，同理“取出的鞋都是右鞋”的概率等于，
所以“取出的鞋都是一只脚的”概率等于，故C正确，不符合题意；
对于D，可以先取两双鞋，再分步取鞋使得它们一只是左脚，一只是右脚，
所以“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的概率为，故D错误，符合题意；
故选：D.
6. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】两圆有公共点，则两圆相交或相切，利用圆心距与半径的关系列不等式求实数的取值范围.
【详解】解法一：
圆的方程化标准方程为，所以圆是以为圆心，1为半径的圆.
设，由以为圆心，1为半径圆与圆有公共点，
得关于的不等式有解，即有解，
所以，解得或.
故选：B.
解法二：
圆的方程化标准方程为，所以圆是以为圆心，1为半径的圆.
又直线上存在点，使以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，
所以只需圆与直线有公共点即可.
由，解得或.
故选：B.
7. 已知，分别为椭圆的左右焦点，过的一条直线与交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（ ）
A. 12B. C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用椭圆的定义，结合勾股定理，利用基本不等式转化求解即可．
【详解】设，则，，，

由，得，则，有，
所以，
当且仅当，即时取等号．
所以椭圆长轴长的最小值是.
故选：D
8. 已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】问题等价于恒成立，不妨令，求出即可得实数的取值范围.
【详解】当，恒成立，
，即恒成立.
不妨令，则
设，有，，
当时，，在上单调递增，有，
所以时， ，当且仅当时等号成立.
故，
当且仅当，即时上式取得等号，
由对数函数和一次函数的图象和性质可知，方程显然有解，
所以，得.
故选：B.
【点睛】方法点睛：
问题等价于恒成立，由，利用，得到.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（ ）
A. 是互斥事件B. 是独立事件
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据互斥事件的定义可判断A；求出是否相等可判断B；计算出可判断C；计算出可判断D.
【详解】对于A，依题意，因为每次只摸出一个球，，
所以，是互斥事件，故A正确；
对于B，，，
则，
所以，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD.
10. 我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、VAR模型、队列要素法等多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法正确的有（ ）
A. 若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势
B. 若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势
C. 若在某一时期内，则这期间人口数摆动变化
D. 若在某一时期内，则这期间人口数不变
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用数列的单调性逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】由，得当时，，
因为，所以，对任意的，，
所以，，则，
此时，在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势，A对；
对于B选项，当时，，
因为，所以，对任意的，，
所以，，则，
故在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势，B对；
对于C选项，由B选项可知，在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势，C错；
对于D选项，当时，，
故在某一时期内，则这期间人口数不变，D对.
故选：ABD.
11. 已知函数，，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 当时，函数的值域为
C. 当时，函数的单调递增区间为
D. 当时，若函数在区间内恰有个零点，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用余弦型函数和正弦函数的周期性可判断A选项；利用二次函数的值域可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；在时解方程，结合函数的周期性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
故函数的最小正周期为，A对；
对于B选项，当时，，
令，则，，
当时，；当时，；当时，.
所以，，
所以，当时，函数的值域为，B对；
对于C选项，当时，，
则，
令，则，则外层函数，
外层函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，则内层函数单调递增时，则函数为增函数，
所以，；
当时，则内层函数单调递减时，则函数为增函数，
所以，.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为、
，C错；
对于D选项，当时，，
可得或，
由于函数的最小正周期为，且，
现在考虑函数在上的零点个数，
由可得，由可得或，
所以，函数在上的零点个数为，
因为，故，D对.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：
①利用和的最值直接求；
②把形如的三角函数化为的形式求最值；
③利用和的关系转换成二次函数求最值；
④形如或转换成二次函数求最值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知x，y为正实数，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】将原式变形为，再结合基本不等式即可求解.
【详解】，
令，
所以
，当且仅当取等号.
所以的最小值为.
故答案为：
13. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.
阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得平面的法向量，同理可得平面的法向量以及的法向量，进而求得直线的一个方向向量，再利用向量的夹角公式即可得解.
【详解】平面的方程为，可得平面的法向量为，
平面的法向量为的法向量为，
设直线的方向向量为，则，即，
令，则，
设直线与平面所成角，，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
14. 已知正方体中，O为正方形的中心．M为平面上的一个动点，则下列命题正确的_______
①若，则M的轨迹是圆；②若M到直线距离相等，则M的轨迹是双曲线；③若M到直线距离相等，则M的轨迹是抛物线
【答案】②③
【解析】
【分析】根据题意，利用空间向量的坐标法或直接运用几何定义法来研究动点轨迹，然后再进行判断即可.
【详解】
对于①，建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为，
对于A，，，，则
，则，即
此时仅有，所以的轨迹是一个点，故①错误；
对于②，过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为，
过向作垂线，垂足，由于，
又因为，，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，
若到直线，距离相等，即，
因为，所以，
则，即，则的轨迹是双曲线，故②正确，
对于③，若到直线，距离相等，面， 面，
所以，所以到直线的距离为到点的距离，
则到直线，点距离相等，由抛物线定义可得，的轨迹是抛物线，故③正确；
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题重点考查立体几何中的轨迹问题，关键在于对于对圆锥曲线定义的理解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的角平分线交AB于点D，，且.
（1）求；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角可得，再由诱导公式和二倍角的正弦公式化简即可得出答案.
（2）令，利用正弦定理求出，再化简的表达式，最后再利用对勾函数单调性即可得到范围.
【小问1详解】
由正弦定理可得：，
因为，所以，即，
所以，
因为，所以，
，即，所以，即.
【小问2详解】
锐角中，令，则，则，
在中，，，
在中，，则，
所以
令，
因为，则，
则，根据对勾函数的单调性知
在上单调递减，在单调递增，
且，，
则的值域为.
即的取值范围为.
16. 如图1，平面图形由直角梯形和等腰直角拼接而成，其中，，；，，点是中点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．
（1）当二面角为直二面角时，求点到平面的距离；
（2）在（1）的条件下，设点为线段上任意一点（不与，重合），求二面角的余弦值的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面的距离.
（2）设，求得点坐标，表示出二面角余弦值，再求其范围.
【小问1详解】
∵，，∴．
点是中点，，∴，
结合折叠前后图形的关系可知，
∵二面角为直二面角，则侧面底面，
侧面底面，
∴平面，
易知，，两两垂直．
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如下图所示，
则P0,0,1，，，，D0,1,0，
∴，，PD=0,1,−1．
设平面的法向量为，
则，取，得，，
则为平面的一个法向量，
则点到平面的距离．
【小问2详解】
设点满足（）．
∵PD=0,1,−1，∴，
∴，
∴．
设平面的法向量为m=x1,y1,z1，
又∵，，
∴，
取，则，，
取为平面的一个法向量．
易知平面的一个法向量为，
二面角的余弦值为
，
由，所以，则，
所以二面角的余弦值的取值范围为.
17. 甲、乙、丙参加某竞技比赛，甲轮流与乙和丙共竞技场，每场比赛均能分出胜负，各场比赛互不影响.
（1）假设乙的技术比丙高，如果甲轮流与乙和丙竞技3场，甲只要连胜两局即可获胜，甲认为：先选择与实力弱的丙比赛有优势，判断甲猜测的正确性；
（2）假设乙与丙的技术相当，且甲与乙，甲与丙竞技甲获胜的概率都是，设为甲未获得连续3次胜利的概率.
①求，；
②证明：.
【答案】（1）甲猜测错误.
（2）①，；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）设甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，由独立事件的乘法公式分别求出若甲与丙比赛，则甲获胜的概率和甲先与乙比赛，则甲获胜的概率再比较大小即可；
（2）①为1减去甲获得连续3次胜利的概率，为1减去甲获得连续3次和4次胜利的概率；②考察，分为情形一、二、三，结合独立事件的乘法公式和全概率公式计算即可；
【小问1详解】
设甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙的技术比丙高，
若甲与丙比赛，则甲获胜的概率为：
若甲先与乙比赛，则甲获胜的概率为：
显然，故甲应先与乙比赛有优势，故甲猜测错误.
【小问2详解】
①，
②考察，
分为情形一：第局甲输；
情形二：第局甲赢，局甲输
情形三：第局甲赢，局甲赢，局甲输
由题意分为三种情形，如下：
情形一 第场输了，则前场甲未获得连续3次胜利，此时概率为.
情形二 第场赢了，第场输了，则前场甲未获得连续3次胜利，此时概率为.
情形三 第场赢了，第场赢了，第场输了，则前场甲未获得连续3次胜利，此时概率为.
由全概率公式得.①
因此.②
①②得，又因为，
所以当，时，.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是考察时能够把情况分为三种，再结合全概率计算比较大小.
18. 在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为、，其离心率为，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线．已知双曲线在其上一点处的切线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若是四边形的等线，求四边形的面积；
（3）已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）在双曲线的方程中，令，结合已知条件求出点的坐标，根据“等线”的定义可得出关于、、的方程组，解出、的值，即可得出双曲线的方程；
（2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可.
（3）利用给定条件和新定义证明即可.
【小问1详解】
解：在双曲线的方程中，令，解得，
因为直线为的等线，显然点在直线的上方，故有，
又F1−c,0、，有，，，
解得，，
所以的方程为．
【小问2详解】
解：设Px0,y0，由题意有方程为，①
渐近线方程为，联立得，，
故，
所以是线段的中点，因为、到过原点的直线距离相等，
则过原点点的等线必定满足：、到该等线距离相等，且分居两侧，
所以该等线必过点，即直线的方程为，
由，解得，故．
所以.
所以，
所以，所以．
【小问3详解】
证明：设，由，所以，，
故曲线的方程为，
由①知切线为，也为，即，即．
易知与在的右侧，在的左侧，分别记、，
到的距离为、、，
由（2）知，，
所以，
由得，
因为，
所以直线为的等线．
【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用给定定义和条件，然后结合前问结论，得到，证明即可．
19. 已知偶函数和奇函数均为幂函数.，且.
（1）若，证明：；
（2）若，，当且函数有两个零点时，求实数的取值范围；
（3）若，，，证明：在区间单调递增.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据幂函数解析式及性质可设函数解析式，再根据指数函数的单调性可证明不等式；
（2）利用导数先分析函数的单调性，进而结合函数有两个零点求解即可；
（3）由已知可得，求导，可转化为证明在恒成立，结合函数的单调性与正负情况可得证.
【小问1详解】
证明：由已知偶函数和奇函数均为幂函数，
可设和，且，，
又，即，即，
又函数单调递减，所以，
所以，
又函数单调递减，所以，
即；
【小问2详解】
由已知，得，即，
所以，
当时，的定义域为，
，令，解得或（舍去），
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
因为函数有两个零点，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
【小问3详解】
证明：由，
又已知，所以，
由（1）得，即，
所以函数的定义域为，
所以，
又恒成立，且，
所以，，
设，则，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
所以，
即当，，
所以函数在上单调递增.
【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）考查数形结合思想的应用．