甘肃省兰州市第五十九中学2025届高三建档模拟考试数学试卷

这是一份甘肃省兰州市第五十九中学2025届高三建档模拟考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了 设方程的两根为，，则等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】【分析】利用复数的除法化简可得复数.
【详解】因为，则.故选：A.
2. 已知所在平面内一点，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】【分析】由已知条件结合平面向量的加法可得出关于、的表达式.
【详解】因为，即，即，
解得，故选：B.
3. （ ）
A. B. C. D.
【解析】【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式、诱导公式和倍角公式，准确化简、运算，即可求解.
【详解】由
. 故选：A．
4. 已知符号函数则函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【解析】【分析】先得到为偶函数，排除AB，再计算出，得到正确答案.
【详解】定义域为R，且为奇函数，故，
故的定义域为R，
且
，
故为偶函数，AB错误；
当时，，C错误，D正确.故选：D
5. 已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（ ）
A. B. C. D.
【解析】【分析】求出根据导函数的几何意义，分别解以及，得出切点坐标，代入点斜式方程求解，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
由导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率.
对于A、B项，由可得，，解得.
当时，切点为，此时切线方程为，
整理可得，切线方程为，故B项正确.
当时，切点为，此时切线方程为，
整理可得，切线方程为，故A项正确；
对于C、D项，由可得，，解得，切点为，
此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故C项正确，D项错误.
故选：D.
6. 为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（ ）
A. 48种B. 36种C. 24种D. 12种．
【解析】【分析】满足条件的涂色方案可分为区域同色，且和其它区域不同色和区域同色两类，且和其它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可
【详解】满足条件的摆放方案可分为两类，
第一类区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案，满足条件的方案可分四步完成，
第一步，先摆区域有种方法，第二步，摆放区域有3种方法，
第三步，摆放区域有2种方法，
第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，
由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，
第二类，区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案，满足条件的方案可分四步完成，
第一步，先摆区域有种方法，第二步，摆放区域有3种方法，
第三步，摆放区域有2种方法，
第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，
由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，
根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有种，故选：A.
7. 直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【解析】【分析】求出直线、所过定点的坐标，分析可知，即，求出点的轨迹方程，分析可知，设，可知直线与曲线有公共点，利用直线与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】直线的方程可化为，由可得，
对于直线，由可得，所以，直线过定点，直线过定点，又因为，则，即，
则，，所以，，所以，，当，，点不在直线上，所以，点的轨迹是曲线，设可得，
由题意可知，直线与曲线有公共点，
且圆的圆心为原点，半径为，所以，，解得，
当，时，；当，时，.
因此，的取值范围是.故选：B.
8. 设方程的两根为，，则（ ）
A. ， B. C. D.
【解析】【分析】由数形结合及零点的判定方法可确定出，即可判断AD，计算出，可判断BC.
【详解】由可得，
在同一直角坐标系中同时画出函数和的图象，如图所示：
由图象可知，因为，，所以，
所以故A，D错误；，
因为，所以，所以，所以，即，故B错误，C正确.故选：C
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的有（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
【解析】【分析】根据已知条件直接判断线线位置关系，可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；利用线面平行的性质结合线面平行的判定可判断C选项；利用线面、面面平行的性质可判断D选项.
【详解】因为、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，
对于A选项，若，，则、平行、相交或异面，A错；
对于B选项，若，，则，由线面垂直的性质可知，B对；
对于C选项，因为，，，如下图所示：

过直线作平面，使得，因为，，，则，则，
因为，，则，C对；
对于D选项，过直线作平面，使得，，如下图所示：

因为，，，则，因为，，，则，则，因为，，则，D对.故选：BCD.
10. 已知第一组样本数据的极差为，中位数为，平均数为，标准差为；第二组样本数据的极差为，中位数为，平均数为，标准差为．若满足，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.
【详解】解：因为，
对于A，设在数据中最大，最小，则，
则在数据中最大，最小，则，故A错误；
对于B，因为样本数据的中位数为，
当为偶数时，，又因为，
所以样本数据的中位数为，
当为奇数时，，又因为，
所以样本数据的中位数为，
所以样本数据的中位数为，故B正确；
对于C，因为样本数据的平均数为 ，即 ，
所以样本数据的平均数为，故C正确；
对于D，因为样本数据的标准差为，样本数据的标准差为 ，
则，
，，所以，故D错误.故选：BC.
11. 抛物线的焦点为，、是抛物线上的两个动点，是线段的中点，过作准线的垂线，垂足为，则（ ）
A. 若，则直线的斜率为或
B. 若，则
C. 若和不平行，则
D. 若，则的最大值为
【解析】【分析】设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出的值，可判断A选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B选项；利用三角形三边关系可判断C选项；利用余弦定理、基本不等式可判断D选项.
【详解】易知抛物线的焦点为，
对于A选项，若直线与轴垂直，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
因为，则在直线上，设直线的方程为，
联立可得，则，
由韦达定理可得，，
因为，即，可得，即，
所以，，可得，，解得，此时，直线的斜率为，A对；
对于B选项，当时，则在直线上，，
则，B对；
对于C选项，当和不平行时，则、、三点不共线，
所以，，C错；
对于D选项，设，，
当时，，
由C选项可得，
所以，
，
即，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，D对.故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆锥的高为，其顶点和底面圆周都在直径为的球面上，则圆锥的体积为______.
【解析】【分析】求出圆锥的底面半径，结合锥体的体积公式可求得该圆锥的体积.
【详解】取圆锥的轴截面如下图所示：
设圆锥的外接球为球，易知，且，，则，故圆锥的底面半径为，
因此，该圆锥的体积为.故答案为：.
13. 已知向量不共线，，若，则___________.
【解析】【分析】借助平面向量共线定理与平面向量基本定理计算即可得.
【详解】由，不共线，故存在实数，使，
即有，即有，解得.故答案为：.
14. 某厂家为了保证防寒服的质量，从生产的保暖絮片中随机抽取多组，得到每组纤维长度（单位：）的均值，并制成如下所示的频率分布直方图，由此估计其纤维长度均值的分位数是___________.
【解析】【分析】计算前6个以及前面7个矩形面积之和，确定纤维长度均值的分位数位于第7组内，根据分位数的含义，列式计算，即得答案.
【详解】由频率分布直方图可得从左到右前6个矩形面积之和为：，
前7个矩形面积之和为，
故纤维长度均值的分位数位于第7组内，
设纤维长度均值的分位数为x，则，
解得，即估计其纤维长度均值的分位数是36，故答案为：36
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角的对边分别为．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．
【解析】【分析】（1）根据正弦定理角化边，结合余弦定理，即可求得答案；
（2）利用正弦定理求出的表达式，根据为锐角三角形确定B的范围，求出三角形周长的表达式并化简，结合正切函数性质，即可求得答案.
【小问1详解】由题意知中，，
即，即，
故，而；
【小问2详解】由（1）知，而，
故由正弦定理得，则
，
由为锐角三角形，则，则，
故的周长
，
故的周长的取值范围为.
16. 土壤食物网对有机质的分解有两条途径，即真菌途径和细菌途径．在不同的土壤生态系统中，由于提供能源的有机物其分解的难易程度不同，这两条途径所起的作用也不同．以细菌分解途径为主导的土壤，有机质降解快，氮矿化率高，有利于养分供应，以真菌途径为主的土壤，氮和能量转化比较缓慢，有利于有机质存财和氮的固持．某生物实验小组从一种土壤数据中随机抽查并统计了8组数据，如下表所示：
其散点图如下，散点大致分布在指数型函数的图象附近．
（1）求关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；
（2）在做土壤相关的生态环境研究时，细菌与真菌的比值能够反映土壤的碳氮循环．以样本的频率估计总体分布的概率，若该实验小组随机抽查8组数据，再从中任选4组，记真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比位于区间内的组数为，求的分布列与数学期望.
附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
【答案】（1）
（2）分布列见解析，2
【解析】
【分析】（1）令，将指数型回归方程转化为线性回归方程，利用最小二乘法的估计系数公式，即可求得答案；
（2）确定真菌与细菌的数值之比位于区间内的组数，即可确定X的取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，即可求得数学期望.
【小问1详解】
由于，故，
令，则，
，
则，，
故，则关于的经验回归方程为；
【小问2详解】
由已知图表可知从第1组到第8组的真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比依次为：
，，
故样本中比值位于内组数有4组，则X的可能取值为：，
则,，
故X的分布列为：
则.
17. 如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点到达点的位置，点在平面的射影落在边上.
（1）求的长度；
（2）若是边上的一个动点，是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.
【解析】【分析】（1）利用投影性质以及线面垂直性质可得，再利用三角形相似可求得；
（2）建立空间直角坐标系，设，并根据坐标分别求得平面与平面法向量，由两平面夹角的余弦值列方程解得，可得.
【小问1详解】
作，垂足为，连接，如下图所示：

由点在平面的射影落在边上可得平面，
又平面，所以，
因为，且平面，
所以平面，
又平面，所以，
又因为为矩形，，可得，
由，可得，
所以，；
由可得，即；
即的长度为1.
【小问2详解】
根据题意，以点为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则，并设，
可得，所以；
易知，，
设平面的一个法向量为，
所以，解得，取，则，
即，
设平面的一个法向量为，
所以，解得，取，则，
即，
因此可得，整理可得，
解得（舍）或；
因此，即可得.
所以的长度为.
18. 已知、是双曲线的左、右焦点，直线经过双曲线的左焦点，与双曲线左、右两支分别相交于、两点.
（1）求直线斜率的取值范围；
（2）若，求的面积.
【解析】【分析】（1）设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线的位置关系可得出关于实数的不等式组，即可解得的取值范围；
（2）设直线的方程为，设点、，由平面向量的坐标运算可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理求出的值，可得出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.
【小问1详解】
解：在双曲线中，，，则，
该双曲线的左焦点为，若直线的斜率不存在，则直线与双曲线交于左支上的两点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
因为直线与双曲线左、右两支分别相交于、两点，
所以，，解得，
因此，直线的斜率的取值范围是.
【小问2详解】
解：因为，，
由可得，则，
当直线与轴重合时，则点、，，，
此时，，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
由（1）可得，则或，
由韦达定理可得，则，
，即，解得，则，
所以，.
18. 已知函数.
（1）若函数有两个零点，求实数a的取值范围；
（2）已知，，（其中且，，成等比数列）是曲线上三个不同的点，判断直线AC与曲线在点B处的切线能否平行？请说明理由.
【答案】（1）.
（2）不能平行，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据的单调区间和极值情况，函数有两个零点，即与有两个不同的交点，得到实数a的取值范围；
（2）由已知，，，成等比数列，用和公比为表示出直线AC和点B处的切线斜率，再利用导函数得到其单调性，判断出当斜率相等时，关于的方程无解，得出结论.
【小问1详解】
令，由题设知方程有两个实数根，
因为,由，得，
所以，
当及时，，且，
当时，且时，
所以当时，与有两个不同的交点，
即有两个不同的零点.
【小问2详解】
因为且，，成等比数列，设公比为，
则，，
直线AC的斜率，
函数在点B处的切线斜率，
假设直线AC与函数在点B处的切线平行，则，整理成，
令，，则 ，
所以在单调递增，所以，
所以在时无实数解，所以直线AC与函数在点B处的切线不能平行.
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
细菌百万个
70
80
90
100
110
120
130
140
真菌百万个
8.0
10.0
12.5
15.0
17.5
21.0
27.0
39.0
X
0
1
2
3
4
P
x
0
单调递减
极小值
单调递增