2022-2023学年甘肃省兰州市第五十三中学高三上学期第一次模拟考试数学（理科）试卷

兰州市五十三中 2022-2023学年度第一次模拟考试

数学试卷（理科）

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合，，则真子集的个数（    ）

A．8　　 B．7　　  C．4　　 D．6

2．设i是虚数单位，若复数z＝1＋2i，则复数z的模为（    ）

A．1　　 B．　　 C．　　 D．

3．下列命题中是假命题的是（    ）

A．，　　B．，  C．，　　 D．，

4．已知为第二象限角，则的值是（    ）

A．－1　　  B．1　　  C．－3　　  D．3

5．总体由编号为01，02，…，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（    ）

附：第6行至第9行的随机数表

2 748　6 198　7 164　4 148　7 086　2 888　8 519　1 620

7 477　0 111　1 630　2 404　2 979　7 991　9 683　5 125

3 211　4 919　7 306　4 916　7 677　8 733　9 974　6 732

2 635　7 900　3 370　9 160　1 620　3 882　7 757　4 950

A．3　　 B．19　　 C．38　　 D．20

5．已知非零单位向量，满足，则与的夹角为（    ）

A．　　 B．   C．　　  D．

7．若存在x∈R，使，则实数a的取值范围是（    ）

A．（－∞，1）　　 B．（－∞，1]  C．（－1，1）　　 D．（－1，1]

8．已知数列满足，且对任意的n∈N*都有，则的前100项和为（    ）

A．　　 B．　　C．　　 D．

9．一个几何体三视图如下图所示，则该几何体体积为（    ）

A．12　　 B．8　　C．6　　 D．4

10．已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为（    ）

A．　　 B．　　C．　　 D．

11．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都——泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有（    ）

A．16种　　 B．18种　　C．20种　　 D．24种

12．已知函数，若函数f（x）在[1，e]上的最小值为，则a的值为（    ）

A．　　 B．　　C．　　 D．

第II卷（非选择题）

二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上．）

13．如图为计算y＝|x|函数值的程序框图，则此程序框图中的判断框内应填        ．

14．已知x>0，y>0，若恒成立，则实数m的取值范围是      ．

15．已知直线，则过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程为       ．

16．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：

；；；；；．

根据上述分解规律，则，若的分解中最小的数是73，则m的值为________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）在四边形ABCD中，，AD＝BD＝CD＝1．

（1）若，求BC；

（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．

18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，，AB⊥AD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．BC＝3AB＝3AD，M为线段BD的中点．

（1）求证：BD⊥平面AFM；

（2）求平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值．

19．（12分）清华大学自主招生考试题中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷如下表：

（1）负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出的多少份？

（2）测试后的统计数据显示，A题的答卷得优的有60份，若以频率作为概率，在（1）问中被抽出的选择A题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望E（X）．

20．（12分）已知椭圆的离心率为，直线l：x＝ty＋1交E于A，B两点；当t＝0时，．

（1）求E的方程；

（2）设A在直线x＝3上的射影为D，证明：直线BD过定点，并求定点坐标．

21．（12分）设函数，其中a∈R．

（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处切线的倾斜角为，求a的值；

（2）已知导函数f′（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

 [选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）已知曲线C：，直线l：（t为参数）．

（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求的最大值与最小值．

[选修4-5：不等式]

23（10分）已知a，b，c∈R，且满足a＋2b＋3c＝6，求的最小值．

参考答案

1．B

2．D

3．C

4．B

5．B

6．D

7．A

8．D

9．D

10．A

11．C

12．A

13．

14．

15．

16．

17．[解析]　（1）在△ABD中，．

∵，∴∠BDC＝∠ABD． ∴在△BCD中，

，∴．

（2）设BC＝x，则AB＝2x，．

在△BCD中，，

∴，∴，解得．

∴．

18．[解析]　（1）因为四边形ADEF为正方形，所以AF⊥AD．

又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面平面ABCD＝AD，

所以AF⊥平面ABCD．所以AF⊥BD．因为AB＝AD，M线段BD的中点，

所以BD⊥AM．又AM∩AF＝A，所以BD⊥平面AFM．

（2）由（1）知AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD，

又AB⊥AD，所以AB，AD，AF两两垂直．

分别以AB，AD，AF为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A－xyz（如图）．

设AB＝1，则A，B，C，D，E，

所以，，，

设平面ACE的一个法向量为，

则 即

令y＝1，则x＝－3，z＝－1，则．

由（1）知，为平面AFM的一个法向量．

设平面AFM与平面ACE所成的锐二面角为，

则．

所以平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为．

19．[解析]　（1）由题意可得：A，B，C答卷数的比为180300120，即为352，故应分别从B，C题的答卷中抽出5份，2份．

（2）由题意可知，A题答案得优的概率为，显然被抽出的A题的答案中得优的份数X的可能取值为0,1,2,3，且，

；；

；．

随机变量X的分布列为：

所以．另解：，∴．

20．[解析]　（1）由题意得，整理得，

由t＝0时，得，

因此，b＝1．故E的方程是．

（2）设，，则，

将x＝ty＋1代入得，

，，从而．①

直线BD：，设直线BD与x轴的交点为，

则，所以，

将①式代入上式可得，故直线BD过定点（2,0）．

21．[解析]　（1），

由题意可知，

∴，得a＝2．

（2），

设，

令h（x）＝0，得x＝1或，

∵在（1，e）上存在零点，∴，即2<a<2e．

由此可知

∴当x∈（1，e）时，．

设，则，

∵，∴，∴，∴g（a）在（2，2e）上单调递减，

∴，∴当x∈（1，e）时，．

22．[解]　（1）曲线C的参数方程为（为参数）．

直线l的普通方程为2x＋y－6＝0．

（2）曲线C上任意一点到l的距离为．

则，其中为锐角，且．

当时，|PA|取得最大值，最大值为．

当时，|PA|取得最小值，最小值为．

23．[解]　由柯西不等式，得．

得．所以．

当且仅当，即a＝b＝c＝1时，上式等号成立．

所以的最小值为6．