湖南省邵阳市邵东市第一中学2024-2025学年高三上学期月考（10月）数学试题

这是一份湖南省邵阳市邵东市第一中学2024-2025学年高三上学期月考（10月）数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合， 若， 则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，求出集合B，则可得，从而可求出实数的取值范围.
【详解】因为，所以．
则由，
可得，
故选：D．
2. “”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】对于，通过分类讨论判断成立，对于，通过举反例说明不成立即可.
【详解】若，则当时，；当时，；故；
当时，成立，但无意义；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 若，，，则ab的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意利用基本不等式可得，以为整体，解一元二次不等式即可.
【详解】因为，，由基本不等式可得，
即，解得或（舍去），即，
当且仅当，即时，等号成立，
故ab的取值范围是．
故选：D．
4. 设等差数列的前项和为，且满足，则当取得最小值时，的值为（ ）
A. 10B. 12C. 15D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】根据前项和的定义结合等差数列性质可得，进而分析数列an的符号性，即可得结果.
【详解】因为，则，
又因为数列an为等差数列，则，
可得，即，
且，可知，
即当时，；当时，；
所以当取得最小值时，的值为12.
故选：B.
5. 已知，则（ ）
A. 5B. C. -5D.
【答案】D
【解析】
【分析】由角的变换，利用余弦的和，差角公式和展开，从而可得答案.
【详解】，则
则，
即，所以，
∴，
故选：D
6. 已知函数与的图象恰有一个交点，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数并探讨奇偶性，由有唯一零点求出，再验证即可.
【详解】令函数，其定义域为R，
，函数为偶函数，
由函数与的图象恰有一个交点，得有唯一零点，
因此，即，解得，，
当时，，
令函数，，函数在上单调递增，
，则当时，，函数在上递增，在上递减，
所以函数有唯一零点，.
故选：A
7. 已知函数，若函数在上只有三个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用三角恒等变换化简函数，并得到函数，并求函数的零点，利用函数在上只有三个零点，列不等式求参数的取值范围.
【详解】因为，所以，
令得，
所以或，
即或，则或，
则非负根中较小的有：；
因为函数在上只有三个零点，
所以，解得.
故选:A
【点睛】方法点睛：求三角函数的值域，单调性，周期，零点等性质时，常常要通过三角恒等变换先求函数的解析式或的性质，首先将“”视为一个整体，然后结合或的图象和性质，去研究函数的性质，研究与三角函数相关零点问题时，函数图象的交点问题，方程根问题时，往往需要先画出三角函数的图象，在进行探索研究.
8. 已知函数没有极值点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】转化为恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，从而得到，故，换元后，构造函数，求导得到其单调性和最值，求出答案.
【详解】函数没有极值点，
，或恒成立，
由指数爆炸的增长性，不可能恒小于等于0，
恒成立．
令，则，
当时，恒成立，为上的增函数，
因为是增函数，也是增函数，
所以，此时，不合题意；
②当时，为增函数，由得，
令
在上单调递减，在上单调递增，
当时，依题意有，
即，
，，
令，，
则，
令，令，解得，
所以当时，取最大值
故当，，即，时，取得最大值
综上，若函数没有极值点，则的最大值为
故选：B.
【点睛】关键点睛：将函数没有极值点的问题转化为导函数恒大于等于0，通过构造函数，借助导数研究函数的最小值，从而得解.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．
9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数是偶函数
D. 将函数图象上所有点横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合函数图象依次求出,再根据选项，分别运用代入检验对称性，利用奇偶性定义判断函数奇偶性，利用伸缩变换得到新函数逐一判断即得.
【详解】由图可得，，，解得，故A正确；
又函数图象经过点，则，即，
因，故，解得，故.
对于B，当时，，此时函数取得最小值，故B正确；
对于C，，是奇函数，故C错误；
对于D，将函数图象上所有点横坐标变为原来的2倍，
将得到函数的图象，故D正确.
故选：ABD.
10. 数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则为等比数列
B. 若，则为等差数列
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】将两边同除，变形转化可求出是
等差数列，进而求出.进而分别结合等比数列、等差数列定义研究A、B项，利用求和公式研究D项.
【详解】由，，两边同除，
得：，即，且，
所以是公差为2，首项为1的等差数列，
所以，所以，则可知C错误；
因为，，所以，且，
所以是等比数列，则可知A正确；
对于B：，，
故数列为等差数列，则可知B正确；
对于D：
，则可知D正确.
故选：ABD．
11. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是
B. 当且时，
C. 对于任意满足
D. 若存在极值点，且，其中，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A,B,求导确定函数单调性，求得极值，构造不等式即可判断；对于C，代入解析式化简即可；对于D，由，得到代入化简即可.
【详解】对于A:当时，，，
由，可得或，
由，可得，
所以的增区间为和0,+∞，减区间为，
所以在处取到极大值，在处取到极小值，
若有三个零点，则解得，故正确；
对于B：当，，，同时 ，结合A函数的单调性得，故错误；
对于C：，故正确；
对于D：若，
由，得，
则，
其中代入，得，
整理得，即，
结合题设，故正确，
故选:ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设是等比数列，且，，则________．
【答案】或
【解析】
【分析】设等比数列an的公比为，则有，求出公比，即可得答案.
【详解】解：设等比数列an的公比为，
因为，，
所以，解得，或，
当时，；
当时，.
故答案为：或
13. 已知的内角、、的对边分别为、、，且，，，则_______
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理可求得的值，利用正弦定理边角互化思想结合两角和的正弦公式可求得，进而可求得的值，利用正弦定理可求得的值.
【详解】，即，，
由，解得，
，由正弦定理得，
.
，，则，，，
.
由正弦定理得，得.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角形边长的计算，涉及余弦定理和正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论a的取值范围，结合函数的单调性以及利用数形结合方法，说明零点的个数问题，即可得答案.
【详解】当时，，无零点；
当时，在上单增，至多一个零点，不合题意；
设，，
当时，与的图象大致如图1所示，

时，，二者无交点，
当时，单调递增，，
则在上单增，，故至多一个零点，不合题意；
当时，与的图象大致如图2所示，此时显然有两个交点，
故有两个零点；综上，，
故答案为：
【点睛】方法点睛：结合题意采用分类讨论参数的取值范围，进而数形结合，确定函数零点个数，即可求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在平面四边形ABCD中，，．

（1）若，，求的值；
（2）若，，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）中求出，在中，由正弦定理求出的值；
（2）和中，由余弦定理求出和，得和，进而可求四边形ABCD的面积．
【小问1详解】
在中，，，则，
，
在中，由正弦定理得，
.
【小问2详解】
在和中，由余弦定理得
，
，
得，又，得，
则，，
四边形ABCD的面积
.
16. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【小问1详解】
∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
【小问2详解】

∴
17. 已知锐角中，角、、所对边为、、，且．
（1）求角；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角，再转化为关于的三角函数，根据的取值范围及正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
解：因为，所以，
所以，从而，
即，
所以，因为，所以．
【小问2详解】
解：因为，，由正弦定理，有
所以，，
所以，
又因为为锐角三角形，
所以，即，所以，
所以，从而的取值范围为．
18. 已知函数.
（1）求曲线y=fx在处的切线方程.
（2）讨论函数单调性；
（3）设函数.证明：存在实数，使得曲线y=gx 关于直线对称.
【答案】（1）；
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出，求导，得到，由导数的几何意义求出切线方程；
（2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，，和四种情况，解不等式，求出函数单调性；
（3）先求函数定义域，根据定义域的对称性得到，再求出，证明出结论.
【小问1详解】
，，
又，
故y=fx在处的切线方程为，
即；
【小问2详解】
，定义域为0,+∞，
，
当时，令得，令得，
故Fx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增；
当时，令得或，令得，
故Fx在和1,+∞上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，故Fx在0,+∞上单调递增；
当时，令得或，令得，
故Fx在0,1和上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，Fx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增；
当时，Fx在和1,+∞上单调递增，在上单调递减；
当时，Fx在0,+∞上单调递增．
当时，Fx在0,1和上单调递增，在上单调递减；
【小问3详解】
证明：函数，
函数的定义域为．
若存在，使得曲线y=gx关于直线对称，
则关于直线对称，所以
由
．
可知曲线y=gx关于直线对称．
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称，
19. 若数列an的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．
（1）已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中e为自然常数，），证明：数列an是一个“对数性凸数列”；
（2）若关于x的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”；
（3）设正项数列是一个“对数性凸数列”证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据的性质，由等量关系代换成关于的结论，紧扣定义，即可证明；
（2）由原函数有三个零点，且导函数为二次函数，分析出导函数有两个零点，判别式大于零，推得；有三个零点，得到有三个零点，再次借助导函数的零点个数，可以得到，即可得证；
（3）记，利用分析法，只需证，由数列为对数性凸数列，得到，，再用基本不等式证明即可.
【小问1详解】
）因为，所以，
因为正项数列是一个“凸数列”，
所以，所以，所以，
所以数列是一个“对数性凸数列”.
【小问2详解】
因为有三个零点，
所以有两个不等实数根，
所以，
又，所以；
时，，所以不是的零点，
又，
令，则也有三个零点，
即有三个零点，
令，则有三个零点，
所以有两个零点，
所以，
因为，
所以正项数列对任意的相邻三项，都满足，
所以数列是一个“对数性凸数列”.
【小问3详解】
记，则要证，
即证，
即，即①，
因为数列为对数性凸数列，所以，，
所以，所以，
，
而，
所以
，
当且仅当时等号成立，
故式①成立，所以原不等式成立．
【点睛】方法点睛：解决数列新定义题型，需要耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，结合所学习过的知识点，逐一分析、证明、求解.