2023届甘肃省兰州市第五十中学高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题含解析

2023届甘肃省兰州市第五十中学高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先将集合和集合中的元素表示出来，再求交集即可.

【详解】方程的两个根为和2，

，

不等式中，，

，

，

.

故选：C.

【点睛】本题考查集合的交集运算，需要先将两个集合具体表示出来，是一道基础题.

2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．

【详解】解：化简可得

，

的共轭复数，

故选：B．

3．某班有34位同学，座位号记为01至34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是

A．23 B．09 C．02 D．16

【答案】D

【详解】试题分析:从随机数表第一行的第列和第列数字开始，由左到右依次选取两个数字，不超过的依次为：，第四个志愿者的座号为，故选．

【解析】随机抽样．

4． ＝（     ）

A．  B．  C．  D．

【答案】A

【分析】利用三角函数的切化弦结合正弦二倍角以及辅助角公式对函数化简即可得答案．

【详解】解：

．

故选：A

5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为

A．2 B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：还原图形为倒放三棱柱．

详解：侧面积。选C

点睛：简单几何体还原，观察其基本结构．

6．等差数列的前n项和为，且，则数列的公差d为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．

【详解】解：设数列的公差为，，，

，，

联立解得：，．

故选：．

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7．已知向量，，且，则实数等于（    ）

A．2 B．1 C．－1 D．－2

【答案】A

【分析】先求出，然后利用向量垂直的坐标运算即可求解.

【详解】由题意可得：，又因为，

所以，解得：，

故选：A.

8．函数的大致图象是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据特殊位置的所对应的的值，排除错误选项，得到答案.

【详解】因为

所以当时，，故排除A、D选项，

而，

所以

即是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B项，

故选C项.

【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.

9．，，是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（    ）

A．若直线，异面，，异面，则，异面

B．若直线，相交，，相交，则，相交

C．若，则，与所成的角相等

D．若，，则

【答案】C

【分析】由空间中直线与直线的位置关系进行分析判断即可.

【详解】

对于A，若直线，异面，，异面，则，可能是平行、相交、异面的任意一种，

如在正方体中，与异面，与异面，，

或与异面，与异面，与相交于点，

或与异面，与异面，与异面，故选项A错误；

对于B，若直线，相交，，相交，则，可能是平行、相交、异面的任意一种，

如在正方体中，与相交于点，与相交于点，，

或与相交于点，与相交于点，与相交于点，

或与相交于点，与相交于点，与异面，故选项B错误；

对于C，由异面直线所成角的定义，选项C正确；

对于D，若，，则与可能是平行、相交、异面的任意一种，

如在正方体中，，，，

或 ，，与相交于点，

或 ，，与异面，故选项D错误.

故选：C.

10．椭圆的左右焦点分别为,过的一条直线与椭圆交于两点,若的内切圆面积为,且,则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知△ABF2内切圆半径r＝1．，从而求出△ABF2，再由ABF2面积|y1﹣y2|×2c，能求出|y1﹣y2|．

【详解】∵椭圆1的左右焦点分别为F1，F2，

过焦点F1的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，△ABF2的内切圆的面积为π，

∴△ABF2内切圆半径r＝1．

△ABF2面积S1×（AB+AF2+BF2）＝2a＝10，

∴ABF2面积|y1﹣y2|×2c＝.|y1﹣y2|×2×3＝10，

∴|y1﹣y2|．

故选B．

【点睛】本题考查两点纵坐标之差的绝对值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．

11．设是定义在上的奇函数，且当时，单调递减，若，则的值(　　)

A．恒为负值 B．恒等于零

C．恒为正值 D．无法确定正负

【答案】A

【分析】依据奇函数的性质，在上单调递减，可以判断出在上单调递减，进而根据单调性的定义和奇偶性的定义，即可判断的符号．

【详解】因为时，单调递减，而且是定义在上的奇函数，所以，在上单调递减，当时，，由减函数的定义可得，，即有，故选A．

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性应用．

12．已知关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】原不等式,可求得,则成立, 当时,构造函数,通过导数判断函数单调性,求得,代入即可解得实数的取值范围.

【详解】原不等式，

当时，令 在上单调递减；上单调递增,,所以,显然有；

当时，令，

则，

在上单调递增；上单调递减，

所以即可，因为,所以；

综上：．

故选:C．

【点睛】本题考查利用导数求函数的最值问题,考查不等式恒成立求解参数取值范围问题,难度较难.

二、填空题

13．已知函数，则__________．

【答案】

【分析】由时，得到函数是周期为1的函数，可得，即可求解．

【详解】由函数，可得当时，满足，

所以函数是周期为1的函数，所以．

【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，以及函数的周期性的应用，其中解答中得到函数的周期性，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

14．已知向量，，且，则t=____.

【答案】

【分析】由可得：，进而计算求解.

【详解】因为，所以，则有，

又，，所以，解得：，

故答案为：.

15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是__________.

【答案】

【分析】由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，再结合点又在渐近线上，故渐近线和圆要有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求得离心率的取值范围.

【详解】设，则，化简得，所以点在以为圆心，为半径的圆上，又因为点在双曲线的渐近线上，所以渐近线与圆有公共点，所以，解得，即，所以双曲线离心率的取值范围是.

【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆、直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

16．已知在正项等比数列中，存在两项满足且，则的最小值是_______

【答案】

【分析】设公比为q，根据，解得，在根据两项满足，得到，然后利用“1”的代换，利用基本不等式求解.

【详解】在正项等比数列中，设公比为q，

因为，

所以，

或（舍去），

因为存在两项满足，

所以，

所以，

因为都是正整数，

所以，共三种情况，

分别代入，其值分别为，

所以的最小值是.

故答案为：

【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和性质以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

三、解答题

17．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.若指针恰好停在各区域的分界线上，则这次转动作废，重新转动转盘.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下:

①若，则奖励玩具一个;

②若，则奖励水杯一个;

③其余情况奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.

(1)求小亮获得玩具的概率;

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】(1)根据题意先求出总的基本事件的个数，再求出事件的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可求解；

(2)分别求出每种事件的概率，然后比较大小，即可得出结论.

【详解】（1）用数对（x,y）表示小亮参加活动先后记录的数，则基本事件构成的集合是.

因为S中元素的个数是4×4=16，所以基本事件总数.

记“”为事件A，则事件A包含的基本事件共5个，

即（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（3,1），

所以，即小亮获得玩具的概率为.

（2）记“”为事件B，“”为事件C.

则事件B包含的基本事件共6个，即（2,4）,（3,3）,（3,4）,（4,2）,（4,3）,（4,4）.

所以.

事件C包含的基本事件共5个，即（1,4）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（4,1）.

所以.

因为，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

18．如图，四棱锥中，，，，，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析（2）

【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，由线面垂直的性质定理可得，由线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直的判定定理证明平面平面即可.

（2）由，利用等体积法，即可求出点到平面的距离.

【详解】（1）解：取、的中点分别为、，连结，，，

因为，，

所以四边形为梯形，

又、为、的中点，

所以为梯形的中位线，

所以，

又，

所以，

因为，为的中点

所以，

又，平面，平面，

所以平面，

又平面，

故，

因为，为中点，

所以，

又，不平行，必相交于某一点，且，都在平面上，

所以平面，

又平面，

则平面平面.

（2）由（1）及题意知，为三棱锥的高，

，，，

故，

，

而，

设点到平面的距离为，

由等体积法知：，

解得，

所以点到平面的距离为.

【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、性质定理和面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式以及利用等体积法求点到面的距离，考查了转化能力与推理能力，属于中档题.

19．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求角C的值；

(2)若2a+b=6，且的面积为，求的周长.

【答案】(1)

(2)6或

【分析】（1）利用正弦定理结合，代换整理得，再结合倍角公式整理；（2）根据面积公式代入整理得，结合题意可得或，分情况讨论处理．

【详解】（1）∵，则

∵

∴，即

∵，则

∴

（2）∵△ABC的面积为，则

∴

根据题意得，则或

若，则△ABC为等边三角形，的周长为6；

若，则，即，的周长为

∴的周长为6或

20．已知椭圆，、是左右焦点，且，P在椭圆C上且．

（1）求椭圆C的方程：

（2）过右焦点直线交椭圆于点B，C两点，A为椭圆的左顶点，若，求直线AB的斜率k的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）易得，，再根据a，b，c的关系求得b，最后写出椭圆的方程即可；

（2）设直线AB的方程，与椭圆的方程联立可得：

，由韦达定理得，进而可得，直线的方程，直线的方程，

可求得，又点C在椭圆上，得，解方程即可得解.

【详解】（1），所以椭圆的，，

根据椭圆的定义：，

所以，，∴．

又∵，∴．

∴椭圆C的方程为；

（2）设直线AB的方程，

由，得：，

∴，

∴，∴，

∴，

若，则，，

，

∴，则与AB不垂直；

同理也不成立，∴，

∵，，，

∴直线的方程，

直线的方程

由，解得，

∴，

又点C在椭圆上，得，

即，

即，．

【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.

21．已知函数f （x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）．

（Ⅰ）若函数f （x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；

（Ⅱ）若曲线y＝f （x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．

【答案】（I）；（II）.

【详解】试题分析：（I）由函数的图象过原点可求得，由在原点处的切线斜率为可得进而可求得；（II）由曲线存在两条垂直于轴的切线得有两个不同的根，即，可解得的取值范围.

试题解析：．

（Ⅰ）由题意得，解得．

（Ⅱ）∵曲线存在两条垂直于轴的切线，

∴关于的方程有两个不相等的实数根，

∴即

∴

∴a的取值范围是

【解析】导数的几何意义.

22．在平面直角坐标内，直线过点，且倾斜角.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为.

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）设直线与圆交于两点，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据，，，将极坐标方程化为直角坐标方程即可；

（2）由题意得到直线的参数方程，代入圆的直角坐标方程，得到关于t的一元二次方程，根据韦达定理，可得、的值，代入所求，即可得答案.

【详解】（1）由，得

从而有，即：

（2）由题意设直线的参数方程为（t为参数），即：（t为参数）

代入圆的方程得，

整理得：，

，，

因为，

所以.

【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及直线参数方程中参数t的几何意义的应用，属基础题.

23．已知函数，a∈R.

(1)当时，解不等式;

(2)若存在满足，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)分段讨论，去绝对值，解对应的不等式即可求解；

(2)将不等式等价转化为，求出左端函数的最小值即可.

【详解】（1）当时，，由得.

当时，不等式等价于，解得；

当时，不等式等价于，即，不等式无解;

当时，不等式等价于，解得.

所以原不等式的解集为.

（2）.当且仅当等号成立

因为等价于，

所以，所以，

故所求实数a的取值范围为.