湖南省邵阳市邵东市第一中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

邵东一中2023年下学期高一第一次月考数学试卷

时间：120分钟 满分：150分

一､选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.若集合，则（    ）

A.    B.2    C.    D.

2.设命题，则（    ）

A.命题是真命题，

B.命题是真命题，

C.命题是假命题，

D.命题是假命题，

3.不等式的解集为（    ）

A.    B.    C.    D.

4.已知函数定义域是，则的定义域是（    ）

A.    B.    C.    D.

5.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知，且，则的范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

7.关于的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为（    ）

A.1    B.    C.    D.

二､多选题（共4小题，满分20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9.下列四个命题中，正确的是（    ）

A.若，则

B.若，且，则

C.若，则

D.若，则

10.已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（    ）

A.

B.

C.的解集为

D.的解集为或

11.若，则下列说法正确的有（    ）

A.的最小值为4

B.的最大值为

C.的最小值为

D.的最大值是

12.设表示不超过的最大整数，如：又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（    ）

A.

B.，若，则

C.

D.不等式的解集为或

三､填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.设，若，则实数的值构成集合是__________.

14.设函数，若，则__________.

15.关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是__________.

16.若不等式对于任意正实数成立，则的取值范围为__________.

四､解答题（共6小题，满分70分，17题10分，18至22每题12分）

17.已知全集，集合，集合.

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

18.已知正数满足.求：

（1）的最小值；

（2）的最小值.

19.已知关于的不等式.

（1）若的解集为，求实数的值；

（2）求关于的不等式的解集.

20.已知集合.

（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；

（2）设命题，若命题为真命题，求实数的取值范围.

21.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

22.已知二次函数.

（1）若函数满足，且.求的解析式；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的最大值.

邵东一中2023年下学期高一第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

1.【解答】解：因为，

所以A={2，4，6}，则（A）∩B={2}.故选：C.

2.【解答】解：因为，

所以命题p是假命题，因为全称命题的否定为特称命题，

所以¬p：∃x>0，x2﹣3x+12≥0.故选：C.

3.【解答】解：不等式1等价于（x﹣1）（x﹣2）≤0且x﹣1≠0，

解得1<x≤2，∴不等式的解集为（1，2].故选：C.

《学法大视野》P404只一个数据不同..

4.【解答】解：∵函数y=f（x+1）定义域为[﹣2，3]，

∴x∈[﹣2，3]，则x+1∈[﹣1，4]，即函数的定义域为[﹣1，4]，

再由﹣1≤2x﹣1≤4，得：0≤x，∴函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，].故选：A.

《学法大视野》P46训练3有同类问题抽象函数定义域问题.

5.【解答】解：∵对任意的实数x，不等式kx2﹣kx+1>0恒成立，∴k=0或k>0；

∴①当k=0时，kx2﹣kx+1=1>0恒成立，即k=0适合题意；

②当k>0时，须满足Δ=（﹣k）2﹣4k<0，解得0<k<4；

综合①②，得k的取值范围是[0，4），故选：B.

《学法大视野》P42有同类问题，二次不等式在R上恒成立问题.

6.【解答】解：设2a+3b=x（a+b）+y（a﹣b），

∴解得∴（a+b），

﹣2（a﹣b）<﹣1.∴（a+b）（a﹣b），

即2a+3b.故选：D.

【点评】此题主要考查不等关系与不等式之间的关系，本题用的方法很重要，不要把a，b的范围分别求出来，那样就放大了2a+3b的范围，这是一个易错点.

《学法课时作业本》P19312有同类问题待定系数法.

7.【解答】解：原不等式可化为（x﹣2）（x﹣2m）≤0，

若m=1，则不等式的解集是[2，2]，不符合题意；

若m<1，则不等式的解集是[2m，2]，且不等式的解集中不可能有4个正整数；

若m>1，则不等式的解集是[2，2m]；

所以不等式的解集中4个正整数分别是2，3，4，5；

令5≤2m<6，解得m<3；所以m的取值范围是[，3）.故选：B.

【点评】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，是中档题.

8.【考点】函数的值域.版权所有

【解答】解：根据定义作出函数的图象如图：（蓝色曲线），

其中A（1，1），B（3，3），

即，

当时，当x≥3或x≤1时，由3﹣|x﹣3|，得|x﹣3|，

即xC或xG，

当时，当1<x<3时，由x2﹣3x+3，得xE，

当x≥3，由3﹣|x﹣3|，得，

由图象知若在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为xE﹣xC，故选：B.

【点评】本题主要考查函数新定义的应用以及函数值域的求解，利用数形结合是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度.

9.【解答】解：对于A，举例a=1，b=2，c=0，满足ac2≥bc2，但是a≥b不成立，故A错误；

对于B，∵a>b，，∴b﹣a<0，

又0，∴ab<0，故B正确；

对于C，∵a>b>0，c>0，∴a﹣b>0，

∴0，∴，故C正确；

对于D，∵c>a>b>0，∴c﹣b>c﹣a>0，∴0，

又∵a>b>0，∴，故D正确.故选：BCD.

【点评】本题主要考查了不等式的性质，考查了作差法比较大小.

10.网版权所有【解答】解：因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|m<x<n}，

所以m，n是方程ax2+bx+c=0的两个根，且a<0，故A正确；

则，即b=﹣（m+n）a，c=mna，因为m>0，则n>0，所以c=mna<0，故B错误；不等式cx2+bx+a<0化为mnax2﹣（m+n）ax+a<0，

即mnx2﹣（m+n）x+1>0，即（mx﹣1）（nx﹣1）>0，

因为0<m<n，所以，则不等式的解集为或，故C错误，D正确.

故选：AD.

【点评】本题考查了一元二次不等式的解与二次方程根的关系以及一元二次不等式的解法，属于中档题.

11.【解答】解：因为a>0，b>0，且a+b=1，则0<a<1，0<b<1，

A：因为a，当且仅当a=1时取等号，所以a2，

同理b2，则（a）（b）>4，故A错误，

B：因为（）2=2+a+b+23+1+a+1+b=6，

当且仅当a=b时取得最大值为6，所以取得最大值为，故B正确，

C：（a+b）（）=1+23+2，当且仅当a时取得最小值为3+2，故C正确，

D：因为

，当且仅当a时取得最大值为，故D正确，故选：BCD.

【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题.

12.【解答】解：对于A，x=﹣1.5，则[2x]=[﹣3]=﹣3，2[x]=2×（﹣2）=﹣4，故[2x]≠2[x]，故A不成立；

对于B，设[x]=[y]=m，则m≤x<m+1，m≤y<m+1，

故﹣m﹣1<﹣y≤﹣m，所以x﹣y>﹣1，故B成立；

对于C，设x=m+r，其中m∈Z，r∈[0，1），

则[x]+[x]=2m+[r]，[2x]=2m+[2r]，

若0≤r，则[r]=0，[2r]=0，故[x]+[x]=[2x]；

若r<1，则[r]=1，[2r]=1，故[x]+[x]=[2x]，故C成立；

对于D，由不等式2[x]2﹣[x]﹣3≥0，即（2[x]﹣3）（[x]+1）≥0，

可得[x]≤﹣1或[x]，由题意，则x<0或x≥2，故D不正确.故选：BC.

【点评】本题是新定义题型，考查函数的综合应用，判断命题的真假，解不含参数的一元二次不等式，考查学生综合运用的能力，属于难题.

13.【解答】解：∵A={x|x2﹣8x+15=0}，

∴A={3，5}又∵B={x|ax﹣1=0}，

∴①B=∅时，a=0，显然B⊆A

②B≠∅时，B={}，由于B⊆A∴∴故答案为：{}

注：第一次周考考过的题型

14.【解答】解：设t=f（a），则f（t）=2，

若t>0，则f（t）=﹣t2=2，此时不成立，

若t≤0，由f（t）=2得，t2+2t+2=2，

即t2+2t=0，解得t=0或t=﹣2，

即f（a）=0或f（a）=﹣2，

若a>0，则f（a）=﹣a2=0，此时不成立；或f（a）=﹣a2=﹣2，即a2=2，解得a.

若a≤0，由f（a）=0得，a2+2a+2=0，此时无解；或f（a）=﹣2，即a2+2a+4=0，此时无解，综上：a，故答案为：.

【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用换元法分别进行讨论即可.

15.【解答】解：由题得

因为﹣2≤x≤0，∴﹣3≤x﹣1≤﹣1

所以[]+2

当x=﹣1时得到等号.所以a≥﹣2.故答案为：a≥﹣2

【点评】本题主要考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

《学法大视野》P41例2-2二次不等式在给定范围内恒成立问题，采用分离参数法.

16.【解答】解：显然k>0，故k2.

令t0，则k2

令u=4t+1>1，则t.

可转化为：s（u），

于是，（1+2）.

∴k2，即k时，不等式恒成立（当x=4y>0时等号成立）.

故答案为：

【点评】本题考查将不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，需用到比值换元，再用基本不等式，有一定的难度.

17.【解答】解：（1）当a=0时，A={x|﹣1<x<1}，∴A={x|x≤﹣1，或x≥1}，

∴（A）∩B={x|1≤x<4}.

（2）∵A⊆B，∴集合A可以分为A=∅或A≠∅两种情况讨论.

当A=∅时，2a﹣1≥3a+1，即a≤﹣2；

当A≠∅时，得即0≤a≤1.

综上，a∈（﹣∞，﹣2]∪[0，1].

【点评】本题考查了不等式的解法､集合运算性质､分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

18.【解答】解：（1）由题意知，x，y为正数，，

当且仅当4x=y，即时等号成立，

则，解得或（舍去），

所以，即xy的最小值为；

（2）由题意知，x，y为正数，，

因为x>0，y>0，所以y>4，

则，

因为y>4，，，即，

当且仅当，即时等号成立，

所以x+y的最小值为.

（2）法二：变形：原式可化成：（x-1）（y-4）=12x+y=x-1+y-4+5

【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，属于中档题.

19.【解答】解：（1）因为ax2+3x+2>0的解集为{x|b<x<1}，

所以x=b，x=1是方程ax2+3x+2=0的根，

故1+b，1×b解得a=﹣5；b；

（2）由ax2﹣3x+2>ax﹣1得ax2﹣（3+a）x+3>0，

即（ax﹣3）（x﹣1）>0，

当a=0时，解集为{x|x<1}当a<0时，解集为{x|}.

当a=3时，解集为{x|x≠1}；当a>3时，解集为{x|x或x>1}；

当0<a<3时，解集为{x|x<1或x}；

【点评】本题主要考查了二次方程与二次不等式关系的应用，还考查了含参数二次不等式的求法，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题.

《学法大视野》P38例2有同类问题，解含参数的一元二次不等式.

20.【解答】解：（1），是的充分不必要条件，

A⫋B，可得且，解得-，所以；

（2）命题为假命题，

为真命题，

设，则在上恒成立，

∴，即，即，

可得，解得﹣1≤m≤2，即m的取值范围是[﹣1，2].

【点评】本题主要考查了不等式的解法､充要条件的判断及其应用等知识，属于中档题.

《学法课时作业本》P20010有同类问题，二次函数在给定区间小于0恒成立问题，有些可以分离参数，不能分离参数考虑对应二次函数的图像.

21.【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，

∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，

①当0<x<80时，根据年利润=销售收入﹣成本，

∴L（x）=（0.05×1000x）x2﹣10x﹣250x2+40x﹣250；

②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，

∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x1450﹣250=1200﹣（x）.

综合①②可得，L（x）；

（2）①当0<x<80时，L（x）x2+40x﹣250（x﹣60）2+950，

∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；

②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x）≤1200﹣21200﹣200=1000，

当且仅当x，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元.

综合①②，由于950<1000，

∴年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.

【点评】本题考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力.

22.【解答】解：（1），且；

又，

，解得，

；

（2）恒成立，

∴，即，

∴0≤b2≤4a（c﹣a），①

∴，令t1，则由①知t≥0，

∴，

令g（t）（t≥0），

当t=0时，g（0）=0；

当t>0时，g（t）（当且仅当t，即t时取等号），

∴的最大值为.

【点评】本题考查函数恒成立问题，考查二次函数解析式的确定及应用，考查转化与化归思想及运算求解能力.