江苏省无锡市锡山高级中学2025届高三上学期10月阶段学情调研数学试题

这是一份江苏省无锡市锡山高级中学2025届高三上学期10月阶段学情调研数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
由可得：，即，
所以，
所以.
故选：C.
2. 复数（为虚数单位）共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的四则运算可求得，由共轭复数概念即可得出结果.
【详解】，
则，
故在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：A．
3. 若，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析： ，
且，故选D.
【考点】三角恒等变换
【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：
（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角和或差．
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．
4. 已知单位向量，满足，若向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的数量积运算以及夹角的余弦公式，可得答案.
【详解】由单位向量，则，即，，
.
故选：B.
5. 已知数列为等比数列，其前项和为，，则“对于任意，”是“公比”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式和求和公式分析充分性和必要性.
【详解】若，，则，
所以由对任意，，推不出，故充分性不成立；
若，，则，所以对任意，成立，故必要性成立，
所以对任意，是的必要不充分条件.
故选：B.
6. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用向量的数量积及运算律，结合投影向量公式计算即可得解.
【详解】因为，与的夹角为，
所以，
则，
所以在上的投影向量为．
故选：B.
7. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，，则的值为（ ）
A. 117B. 118C. 122D. 123
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性和周期性求解即可.
【详解】由解得，即是以4为周期的周期函数，所以，
因为为偶函数，所以，当时有，
又因为，所以，
所以，，
所以，
所以即，
故选：C
8. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，，则有，，，令,利用导数可得，即；令，利用导数可得，即；令，利用导数可得，即，从而可得，即可得答案.
【详解】解：因为，，
令，
因为，所以，
所以，
所以，，，
令,
则有,
所以当时，单调递减；当时，单调递增；
所以,
即有,
所以有(当时取等号)，
所以，即；
令，
则，
所以单调递减，
所以当时，，
即，
所以，
即有，
所以，
故排除A，D；
令，
则，
，
所以单调递减，
当时，，
所以单调递减，
所以当时，，
即，
所以，
所以，
即，
所以.
故选：B.
二、多选题
9. 关于复数，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则的最小值为
C.
D. 若是关于的方程：的根，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据虚数单位乘方的周期性可判断A选项，设根据复数的四则运算及模长公式可判断BC选项，再根据复数范围内二次方程的解互为共轭复数且满足根于系数关系，判断D选项.
【详解】A选项：由虚数单位的定义，，则，A选项错误；
设，
B选项：由，则，且，
则，，
又，所以当时取最小值为，B选项正确；
C选项：，，，
所以，C选项错误；
D选项：由已知复数范围内二次方程的两根满足，
且与互为共轭复数，由可知，
则，即，D选项正确；
故选：BD.
10. 已知实数x，y满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】将等式改写成关于的一元二次方程，该方程必有根即可判断A；利用不等式可判断B；根据不等式可判断C；再由不等式以及的取值范围可判断D.
【详解】对于A，由题可知，此时必有满足等式，即该方程必有实数根；
所以，即可得；所以A错误；
对于B，由于，再根据不等式，
得，所以，
当且仅当时，不等式的等号成立，
当且仅当时，不等式的等号成立；
即B正确；
对于C，，再根据不等式，
得，即可得，
当且仅当时，不等式的等号成立，
当且仅当时，不等式的等号成立；
所以C正确；
对于D，由，可知，即；
当且仅当或时，不等式的等号成立，
由得，
而，即
所以，即可得；
当且仅当或时，不等式的等号成立；
所以；即D正确.
故选：BCD.
11. 由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式，像、、、这些非特殊角我们可以通过观察发现它们之间的相互关系，进而求出各自的三角函数值.则（ ）
A
B.
C. 已知方程在上有三个根，记为，，，则
D. 对于任意的，当时一定有
【答案】ACD
【解析】
【分析】直接利用二倍角公式计算得到A正确，根据得到，解得B错误，设，得到三个根分别为，，，代入计算得到C正确，代入数据利用三角恒等变换得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：
，正确；
对选项B：，，
整理得到，，
即，解得或（舍），错误；
对选项C：，设，，，
即，，或，或，
故三个根分别为，，，
，正确；
对选项D：
，正确；
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查了三角恒等变换的应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据推导的三倍角的公式设得到方程的解，再代入计算是解题的关键.
三、填空题
12. 如图，一个半径为的半圆，、两点为直径的三等分点，、两点为弧上的三等分点，则________.

【答案】##
【解析】
【分析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.
【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，
过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，连接、，

由题意可知，，，
则、、、，
所以，，，故.
故答案为：.
13. 如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF拼成的一个较大的等边三角形，若，，则的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理以及余弦定理求得钝角三角形的三边长，根据等边三角形的性质以及面积公式，可得答案.
【详解】因为等边三角形，所以，则，
在中，由正弦定理，则，
解得，
由余弦定理，则，
整理可得：，则，
解得或（舍去），
等边边长为，其面积为.
故答案为：.
14. 在数列中，且，当时，，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由数列的递推式可得，求和后结合条件可得，求出即可.
【详解】因为，，所以，
当时，，所以，所以，
所以
，
因为，
所以，所以，解得.
所以实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由数列的递推式可得，然后利用累加法求和求解范围即可.
四、解答题
15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的外接圆直径为，求的周长.
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）借助向量垂直数量积为零结合余弦定理即可得解；
（2）借助正弦定理计算可得，再利用余弦定理计算可得，即可得其周长.
【小问1详解】
由，得，
整理得，所以由余弦定理，得，
因为，所以；
【小问2详解】
由（1）根据正弦定理，得，解得，
由余弦定理，得，
解得，所以的周长为.
16. 已知函数
（1）若，求的值；
（2）证明：函数的图象关于对称；
（3）现在已经得知函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，关于的不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）代入数据直接计算即可；
（2）计算得到证明；
（3）根据单调性和对称性得到恒成立，考虑x=0和两种情况，利用均值不等式计算最值得到答案.
小问1详解】
由题设，解得；
【小问2详解】
，
，
故，即函数的图象关于对称；
【小问3详解】
函数的图象关于对称，
函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，
不等式恒成立，等价于，整理得
当时，不等式成立，此时；
当时，，而，当时等号成立，
故，即；
综上所述：的取值范围为.
17. 中，内角所对的边分别为，．
（1）求；
（2）如图，点为边上一点，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合二倍角公式，化简整理，可求得，的值，即可求得答案.
（2）根据（1）可求得，进而可求得，根据余弦定理，可求得，进而可求得，代入面积公式，即可求得答案.
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，
由正弦定理，可得，
∵，
∴，，
∵，
∴，则，
∴＝．
【小问2详解】
，
又，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∴sin＝＝，
又，
∴在中，由正弦定理，可得，
∴，，
∴＝
＝＝．
18. 已知为数列的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）法一：根据得到，从而得到，可得的奇数项和偶数项分别为等差数列，求出奇数项和偶数项的通项公式，得到答案；
法二：变形得到，结合，得到，利用求出答案；
（2）变形得到，当为奇数时，，当为偶数时，，分为奇数和偶数两种情况，求和，得到答案.
【小问1详解】
法一: 当时，，即，由，得，
由，得，
两式相减得：．又，满足上式．
所以当时，，
又当时，，
两式相减得：，
所以数列的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，
所以 （n为奇数），
数列的偶数项是以为首项，4为公差的等差数列，
所以 （n为偶数），
所以，即的通项公式是．
法二：因为，
所以，
同理可得，
故，
因为，所以，即，
当时，，
当时，适合上式，所以的通项公式是.
【小问2详解】
因为，
故当时，①，
当时，②，
①、②两式相减得：，
因为，，所以，
因为，所以当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以，
所以；
当n为偶数时，
,
当n为奇数时，
，
综上，.
19. 若实数集对，均有，则称具有Bernulli型关系．
（1）若集合，判断是否具有Bernulli型关系，并说明理由；
（2）设集合，若具有Bernulli型关系，求非负实数的取值范围；
（3）当时，证明：．
【答案】（1）具有Bernulli型关系，理由见解析；
（2）,
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义判断是否满足即可；
（2）令，，，再对其求导，分，，三种情况分析单调性及最值，即可求解；
（3）化简，可得且，根据（2）中的结论，可得，再根据的范围求出的范围，进而可求出的范围，最后可得的范围．
【小问1详解】
依题意，是否具有型关系，等价于判定以下两个不等式对于是否均成立：
①，②，
，，
具有型关系．
【小问2详解】
令，，，
则，
①当时，显然有，成立；
②当时，
若，则，即，在区间上单调递减，
若，则，即，
若，则，即，在区间上单调递增，
的最小值为，，，
成立；
③当时，
若，则，即，在区间上单调递增，
若，则，即，
若，则，即，在区间上单调递减，
的最大值为，，
，即
当，且时，不能恒成立，
综上所述，可知若具有型关系，则，
非负实数的取值范围为,．
【小问3详解】
证明：，
显然且，
由（2）中的结论：当时，，可知，
当时，，
，，
当时，显然成立；
当时，
，
综上所述，当时，．
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数单调性证明与数列有关的不等式，关键是利用（2）的结论得，并适当的放缩裂项求和.